Este es el primer campo de investigación del lagrangiano. Se basa en las ideas y resultados de Euler, pero a partir de métodos analíticos puros se obtienen resultados más completos. Su primer artículo, "Investigación sobre métodos máximos y mínimos", fue un preludio a su estudio del cálculo de variaciones. "Un nuevo método de valores máximos y mínimos de fórmulas integrales definidas" publicado en 1760 es una obra maestra que utiliza métodos analíticos para establecer el cálculo de variaciones. Cuando le escribí a Euler antes de que se publicara el artículo, llamé al método del artículo "el método de las variaciones". Euler afirmó este método en su artículo y lo llamó oficialmente "método variacional". La rama del cálculo de variaciones quedó realmente establecida.
El método lagrangiano es la maximización integral y se debe determinar la función y=y(x). A diferencia de Euler y sus predecesores que cambiaron las coordenadas individuales de la curva máxima o mínima, introdujo una nueva curva y(x) δY(x) que pasa por los puntos finales (x1, y1) y (x2, y2), δY(x ) se llama variación de la curva Y(x). Los términos de primer y segundo orden del incremento correspondiente δj ampliado por δy y δy’ se denominan variación de primer orden δj y variación de segundo orden δ2j. Usó métodos analíticos para demostrar que la condición necesaria para que δJ sea cero es la ecuación de Euler.
Tada continuó discutiendo la situación cuando el punto final cambia y la situación de la integral doble de dos variables independientes, por lo que esta rama continúa desarrollándose. Después de 1770, Lagrange estudió la situación cuando el integrando f contiene integrales simples y múltiples de derivadas de orden superior, lo que se convirtió en el contenido estándar del cálculo de variaciones.
2. Ecuaciones diferenciales
Ya en Turín, Lagrange logró grandes logros en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes variables. En el proceso de reducción de orden, propuso una ecuación adjunta y demostró que la ecuación adjunta de la ecuación de coeficiente variable lineal no homogénea es una ecuación homogénea de la ecuación original. También amplió los resultados de Euler sobre ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes al caso de coeficientes variables, demostrando que la solución general de una ecuación homogénea con coeficientes variables se puede formar multiplicando algunas soluciones especiales independientes por cualquier constante. Además, después de conocer m soluciones especiales de la ecuación, la ecuación se puede simplificar en m costos.
Mientras estuvo en Berlín, hizo contribuciones históricas a las soluciones singulares y especiales de ecuaciones diferenciales ordinarias. En "Surles integrales particuleriers des Equations Differentierelles" completado en 1774, estudió sistemáticamente la relación entre soluciones impares y soluciones generales, y propuso claramente un método para encontrar soluciones impares a partir de soluciones generales y sus derivadas parciales de constantes integrales. También se señala que la solución singular es la envolvente de la familia de curvas integrales de la ecuación original. Por supuesto, su teoría de las soluciones singulares no es perfecta. La forma de la teoría moderna de las soluciones singulares fue completada por G. Dabu y otros.
El estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias se compaginaba en aquella época con la disciplina de la mecánica celeste. En el artículo "Investigación sobre el problema de los tres cuerpos" completado por Lagrange en 1772, descubrió cinco soluciones especiales a la ecuación diferencial ordinaria del movimiento de tres cuerpos: tres son líneas * * * de tres cuerpos, dos son equiláteras de tres cuerpos; Triángulo; llamada solución de traducción lagrangiana en mecánica celeste. El método de variación constante arbitraria que perfeccionó junto con Laplace jugó un papel importante en la solución aproximada de ecuaciones de problemas de múltiples cuerpos y promovió el establecimiento de la teoría de la perturbación.
Lagrange es el fundador de la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, completada en 1772. En 1997 y 1998-0785, completó "La integración de ecuaciones en diferencias de primer orden" y "La integración de Ecuaciones en diferencias de primer orden". Métodos generales", completando sistemáticamente la teoría y solución de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden.
Primero propuso que las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales no lineales de primer orden se pueden dividir en soluciones completas, soluciones singulares, integrales generalizadas, etc., y dio la relación entre ellas. También convierte ecuaciones no lineales en ecuaciones lineales para la forma de
.
Más tarde, se demostró además que comprender la ecuación lineal Pp Qq=R (P, Q, R son funciones de X, Y, Z) es equivalente a la solución, y la solución es equivalente a resolver la ecuación diferencial ordinaria. Todavía se llama ecuación de Lagrange. Curiosamente, de lo anterior se puede ver que las ecuaciones diferenciales parciales no lineales de primer orden se reducen a resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Pero el propio Lagrange no lo sabía. Cuando resolvió una ecuación diferencial parcial especial de primer orden en 1785, también dijo que este método no se puede utilizar.
Quizás olvidó la partitura de 1772. En los tiempos modernos, este método a veces se denomina método lagrangiano, también conocido como método de la línea característica de Cauchy. Dado que Lagrange sólo discutió el caso de dos variables independientes, encontró dificultades al generalizar a n variables independientes, lo que luego fue superado por Cauchy en 1819.
3. Teoría de ecuaciones
El álgebra en el siglo XVIII estaba subordinada al análisis, y la teoría de ecuaciones era un campo activo. Durante los primeros diez años de Lagrange en Berlín, pasó gran parte de su tiempo resolviendo ecuaciones algebraicas y trascendentales.
Hizo contribuciones históricas a la solución de ecuaciones algebraicas. En el artículo extenso "rérefions sur lesolving algébrique des ecuaciónes" (Colección ⅲ, páginas 205-421), se resumen varias soluciones previas a ecuaciones algebraicas cúbicas y cuárticas en un conjunto de métodos estándar, y también se analizan y analizan ecuaciones cúbicas ordinarias. Razones por las que las ecuaciones de cuarto grado se pueden resolver algebraicamente. La ecuación cúbica tiene una ecuación auxiliar cuadrática, su solución es función de las raíces de la ecuación cúbica, y bajo la sustitución de las raíces solo hay dos valores la solución de la ecuación auxiliar de la ecuación cuártica tiene solo tres; diferentes valores bajo la sustitución de las raíces, por lo que la ecuación auxiliar es una ecuación cúbica. Lagrange llamó a la solución de la ecuación auxiliar la función previa a la solución (función racional) de las raíces de la ecuación original. Continuó buscando la función previa a la solución de la ecuación quíntica, con la esperanza de que esta función fuera la solución de la ecuación menor que la quíntica, pero fracasó. A pesar de esto, el pensamiento de Lagrange ya incluye el concepto de grupos de permutaciones. Las permutaciones cuyos valores de función preresueltos (racionales) son constantes constituyen un subgrupo, y el orden del subgrupo es un factor del orden del grupo de permutaciones original. Así, Lagrange es el pionero de la teoría de grupos. Sus ideas fueron posteriormente adoptadas y desarrolladas por N.H. Abel y E. Galois, y finalmente resolvieron el problema de por qué las ecuaciones generales con cuarto grado superior no pueden resolverse mediante métodos algebraicos.
Lagrange también propuso una solución en serie a la ecuación trascendental en 1770. Sea p una ecuación, que es la serie lagrangiana comúnmente utilizada en mecánica celeste más adelante. Él mismo no discutió la convergencia, y luego Cauchy encontró el rango de convergencia de esta serie.
4. Teoría de números
Lagrange comenzó a estudiar teoría de números en sus inicios en Berlín. En sus primeros artículos "Sobre la solución de problemas aritméticos de segunda generación" y "Sobre la solución de problemas aritméticos de segunda generación" enviados a Lun Cong en Turín, analizó la ecuación de Fermat x2-Ay2= en la que Euler había estado trabajando durante muchos años. 1 (x, y, a son números enteros), y en el nuevo método para resolver el problema, se obtiene la ecuación de Fermat más general x2-Ay2=B (B también es un número entero) La ecuación de coeficiente entero cuadrático más extensa ax2. También se analiza 2bxy cy2 2dx 2ey f = 0(11), resolviendo el problema de solución entera.
Lagrange también escribió "Demostración de un teorema aritmético" (páginas 189-201 de "Obras seleccionadas III"), que demostró otra conjetura de Fermat que Euler no había resuelto durante más de 40 años: "una An positiva Un número entero se puede expresar como la suma de hasta cuatro cuadrados". En "démon Station d'un theorem Nouveau Concertles Nombres Premiers" publicado en 1773, se demostró el famoso teorema: ¡la condición necesaria y suficiente para que n sea un número primo es (n-1)! 1 es divisible por n.
Lagrange no sólo tuvo muchos logros, sino que también fue innovador en sus métodos. Como en "Recherches d'arithmétiques" (Recherches d'arithmétiques, Obras completas ⅲ, págs. 695-795), los métodos y resultados utilizados para estudiar las soluciones de fórmulas son los documentos básicos de la teoría cuadrática.
5. Funciones y series infinitas
Al igual que otros matemáticos del siglo XVIII, Lagrange también creía que las funciones se pueden expandir a series infinitas, y las series infinitas son polinomios. También intentó utilizar el álgebra para establecer los fundamentos del cálculo. En su "Teoría de las funciones analíticas" (Obras completas IX), el subtítulo "contiene los principales teoremas del cálculo diferencial, reducidos al arte del análisis algebraico sin los conceptos de infinitesimales, cantidades evanescentes, límites, flujos, etc.", indicando que su punto de vista.
Debido a que se evitan los problemas de límites y convergencia de series, la teoría de series reales y la teoría de funciones son, por supuesto, imposibles de establecer, pero algunos de sus métodos de procesamiento y resultados siguen siendo útiles, y sus puntos de vista también se están desarrollando.
Lagrange obtuvo el teorema del valor medio diferencial por primera vez en la teoría analítica de funciones (Capítulo 6) f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)(a≤ c≤ b), y luego utilícelo para derivar la serie de Taylor y dar la expresión específica del término restante Rn (Capítulo 20). También enfatizó que las series de Taylor no se pueden utilizar sin tener en cuenta el resto. Aunque no tuvo en cuenta la convergencia ni siquiera la existencia de derivadas, enfatizó que Rn debería tender a cero. Muestra que ha notado el problema de convergencia.
Su largo debate con Euler y d'Alembert sobre si alguna función puede expresarse como una serie trigonométrica no se ha resuelto, pero sentó las bases para el establecimiento de la teoría de series trigonométricas en el futuro.
Finalmente me gustaría mencionar que propuso la famosa fórmula de interpolación lagrangiana en el curso de matemáticas básicas de la escuela normal.
Todavía se utiliza hoy en día cuando los ordenadores calculan un gran número de interpolaciones de puntos medios. Además, el método del multiplicador arbitrario de Lagrangiano todavía se utiliza para resolver los máximos y mínimos relativos de funciones multivariadas y ecuaciones diferenciales.
Además de sus contribuciones fundamentales a las principales ramas del análisis matemático establecidas en el siglo XVIII, también comenzó a prestar atención a cuestiones de rigor. Aunque evitó el concepto de límites, aún admitió que el cálculo podía basarse en límites ("Obras completas I", p. 325). Pero es la falta de énfasis en el rigor lo que dificulta la profundización de las ramas establecidas en una determinada etapa. Ésta puede ser la razón de su falta de trabajo de investigación en sus últimos años. Dijo en una carta a D'Alembert el 21 de septiembre de 1781: "En mi opinión, esta mina parece haber sido excavada muy profundamente. A menos que se encuentre una nueva veta, será abandonada..." (Seleccionado Xⅲ368) Este dijo por los sentimientos de él y de otros colegas. Los hechos muestran que después de que se establecieron las bases rigurosas del análisis matemático en el siglo XIX, las matemáticas se desarrollaron aún más rápidamente.
La teoría mecánica de Newton, el fundador de la mecánica analítica, todavía se discute utilizando métodos geométricos. A mediados del siglo XVIII, Euler y d'Alembert comenzaron a utilizar métodos analíticos, y el lagrangiano fue el mejor en hacer analítica la mecánica. Su libro "Mecánica analítica" publicado en 1788 es una obra representativa del establecimiento de esta disciplina. Todos los tratados mecánicos de su vida y las contribuciones mecánicas de sus contemporáneos se resumen en este libro. Su investigación tuvo como objetivo hacer de la mecánica una rama del análisis matemático. En el prefacio de "Mecánica analítica", dijo: "...el método que expuse allí no requiere ni dibujo ni razonamiento geométrico o mecánico, sino sólo algo de álgebra siguiendo un procedimiento (analítico) consistente y regular. Las personas a las que les gusta el análisis Estaré feliz de ver que la mecánica se convierte en una nueva rama y me agradeceré que expanda su campo. "Esto es lo que pasó.
La mayor aportación del lagrangiano en este sentido es concretar el principio de variación y el principio de acción mínima, y utilizar métodos puramente analíticos para el razonamiento, que pasa a ser el método lagrangiano.
Introdujo por primera vez el concepto de coordenadas generalizadas, por lo que las coordenadas generalizadas también se denominan coordenadas lagrangianas. Un sistema mecánico se puede representar mediante coordenadas finitas QJ (j = 1, 2,..., n); Qj= dqj/dt es la velocidad generalizada correspondiente. Después de que la energía cinética total T del sistema mecánico (Lagrangiano la llama vitalidad) se expresa como una función de qj qj y el tiempo T, se define como la cantidad de acción, y el principio de la cantidad mínima de acción se convierte en δI=0 . Cuando Lagrange utilizó el método variacional para analizar δI=0, derivó la ecuación de movimiento del sistema mecánico, donde Qj es la expresión de la fuerza que actúa sobre el sistema mecánico en coordenadas generalizadas, lo que se denomina fuerza generalizada. Si la fuerza se conserva, existe una función potencial v, que es una ecuación lagrangiana de segundo tipo. Posteriormente, la función L introducida por S.D. Poisson recibió el nombre de función lagrangiana.
Lagrangiano también utilizó estos métodos para estudiar grupos de partículas, cuerpos rígidos y fluidos. En mecánica de fluidos, el método para analizar el movimiento de puntos en un fluido todavía se llama método lagrangiano.
Finalmente, “Mecánica Analítica” en “Obras Completas” es la segunda edición, dividida en dos volúmenes, con un total de 785 páginas. La mitad del primer volumen trata sobre "Estática", que analiza principalmente el equilibrio entre grupos de partículas y fluidos.
A partir del análisis de los principios de la estática, se discuten y utilizan las condiciones de equilibrio de grupos de partículas y fluidos para estudiar la forma del planeta. La segunda mitad del Volumen 1 y el Volumen 2 tratan sobre "Dinámica".
La parte de dinámica se divide en trece capítulos. Los primeros cuatro capítulos describen los principios dinámicos y el método lagrangiano para establecer las ecuaciones de movimiento del sistema de partículas, incluida la derivación de las ecuaciones (16) y (17) y las propiedades generales del movimiento. En el Capítulo 5 "Métodos de aproximación general para resolver problemas dinámicos con variación constante arbitraria", su método de variación constante arbitraria para resolver ecuaciones diferenciales se utiliza para resolver ecuaciones dinámicas. El método de cuadratura de aproximación de primer orden se analizará más adelante. El capítulo 7, "Sobre el movimiento de un sistema de cuerpo libre que puede considerarse como una partícula bajo la acción de la gravedad", trata principalmente de las cuestiones básicas de la mecánica celeste. Los capítulos 8 y 9 analizan el problema de la atracción de centros fijos y la dinámica de cuerpos rígidos. El capítulo 10 analiza la rotación de la Tierra y la libración de la Luna. Los últimos tres capítulos analizan problemas fundamentales de la mecánica de fluidos como aplicaciones de los métodos lagrangianos.
Lagrange fundó la mecánica analítica y la llevó a una nueva etapa. La ecuación de Lagrange generaliza la segunda ley del movimiento de Newton; da a las ecuaciones de movimiento en cualquier sistema de coordenadas una forma unificada y facilita el manejo de diversas restricciones. Sigue siendo la ecuación más importante en dinámica. Poco después de que se publicara la segunda edición de "Mecánica Analítica" (Volumen 2: 1816), W.R. Hamilton propuso el impulso generalizado en 1834 y estableció la ecuación canónica de Hamilton, también conocida como K.G Jacobi estableció el Método Hamilton-Jacobi (1837), la mecánica analítica fue formalmente Estableció y rápidamente se aplicó a diversas disciplinas.
El fundador de la mecánica celeste nació cuando Newton publicó la ley de la gravitación universal (1687) y pronto se convirtió en la corriente principal de la astronomía. Su contenido temático y teorías básicas se establecieron a finales del siglo XVIII. Los principales fundadores son Euler, Clairo, d'Alembert, Lagrange y Laplace. Finalmente, Laplace estableció formalmente la mecánica celeste clásica. Aproximadamente la mitad del trabajo de investigación de Lagrange durante su vida estuvo relacionado con la mecánica celeste, pero él era principalmente un matemático. Quería considerar la mecánica como una rama del análisis matemático y la mecánica celeste como una rama de la mecánica. A pesar de esto, hizo una enorme contribución histórica al colocar la piedra angular de la mecánica celeste.
Primero, al establecer las ecuaciones de movimiento de los cuerpos celestes, Lagrange utilizó sus principios y fórmulas en mecánica analítica para establecer las ecuaciones de movimiento de varios cuerpos celestes. En particular, basándose en el método de variación constante arbitraria en su solución de ecuaciones diferenciales, estableció una ecuación de movimiento con el número de órbitas elípticas de los cuerpos celestes como variable básica. Todavía se llama ecuación lagrangiana del movimiento planetario y se usa ampliamente. . Esta ecuación jugó un papel importante en el establecimiento y mejora de la teoría de la perturbación. Esta ecuación se presentó en el artículo "Investigación sobre la teoría de las perturbaciones" que ganó el Premio de la Academia de Ciencias de París en 1780 y fue muy elogiado por d'Alembert y Laplace. Además, en un artículo premiado sobre sistemas de tres cuerpos se simplificaron por primera vez las ecuaciones de movimiento de un sistema de tres cuerpos al séptimo orden.
Punto lagrangiano En la solución de las ecuaciones de movimiento de los cuerpos celestes, la gran contribución histórica del lagrangiano es el descubrimiento de cinco soluciones especiales para las ecuaciones de movimiento de tres cuerpos, a saber, las soluciones de traslación lagrangiana. Dos de las soluciones son que el cuerpo de tres cuerpos siempre mantenga un triángulo equilátero durante su movimiento elíptico alrededor del centro de masa. Los resultados de su teoría fueron confirmados más de 100 años después. El 22 de febrero de 1907, el Observatorio de Heidelberg en Alemania descubrió un asteroide [más tarde llamado Aquiles en la mitología griega, número 588], que casualmente formaba un triángulo equilátero con el Sol y Júpiter. En 1970, se habían descubierto 15 asteroides de este tipo, todos con el nombre de los generales de la Guerra de Troya en la mitología griega. Nueve de ellos están situados cerca de la solución lagrangiana, a 60 grados por delante de la órbita de Júpiter, y se denominan grupo griego. Hay seis soluciones cerca de 60° detrás de la órbita de Júpiter, que se denominan grupo troyano. Después de 1970, se descubrieron más de 40 asteroides en estos dos grupos, 4 de los cuales fueron descubiertos por el Observatorio de la Montaña Púrpura de mi país pero aún no han sido nombrados. En cuanto a por qué hay asteroides cerca de las soluciones especiales, es porque estas dos soluciones especiales son estables. En 1961, se descubrió material meteórico acumulado en la solución de un triángulo equilátero entre la Tierra y la Luna antes y después de la órbita de la Luna. Esta fue otra prueba de la solución lagrangiana.
Hasta ahora no hemos encontrado ningún cuerpo celeste que esté definitivamente cerca de los tres grupos de líneas lagrangianas * * (situación de líneas de tres cuerpos * * *), porque estas tres soluciones especiales son inestables. Además, el lagrangiano también hizo importantes contribuciones a la teoría de la perturbación de primer orden. Propuso un método para calcular perturbaciones a largo plazo (páginas 125-414 de "Obras completas V") y, junto con Laplace, propuso el teorema de estabilidad del sistema solar bajo perturbaciones de primer orden (ver "Científicos y astrónomos mundialmente famosos "Laplace " en Biografía I). Además, la serie lagrangiana (8) se utiliza ampliamente en la teoría de perturbaciones.
Punto de Lagrange En el estudio del movimiento de cuerpos celestes específicos, Lagrange también hizo muchas contribuciones importantes, la mayoría de las cuales fueron premiadas por la Academia de Ciencias de París. Sus trabajos de investigación sobre la teoría del movimiento lunar ganaron numerosos premios. La investigación sobre el movimiento del equilibrio lunar, completada en 1763, ganó el premio anual de 1764. Este artículo explica muy bien la diferencia en la velocidad angular entre la rotación y la revolución de la luna, pero no explica suficientemente bien las leyes de rotación del ecuador y el plano orbital de la luna. Posteriormente, el trabajo completado en 1780 fue más fácil de resolver. El ganador en 1772 fue el famoso artículo de tres cuerpos, escrito también para estudiar el movimiento de la luna. El artículo que ganó el gran premio en 1774 fue "Las ecuaciones lunares", que proporcionó la primera discusión sobre la forma de la Tierra y las perturbaciones de la Luna en todos los planetas. Los artículos sobre los movimientos de planetas y cometas también ganaron dos premios. En 1776, ganó el premio por tres artículos que había completado en 1775, en los que analizaba los efectos de los cambios a largo plazo en las intersecciones e inclinaciones de las órbitas planetarias sobre el movimiento de los cometas. El artículo ganador en 1780 fue el que proponía la famosa ecuación lagrangiana del movimiento planetario. El artículo que ganó el Gran Premio de 1766 fue "Recherches sur les inégualités des Satellites de Jupiter...", en el que se discutía por primera vez la influencia de la gravedad del Sol sobre el movimiento de los cuatro satélites de Júpiter, y los resultados fueron mejores. que los de d'Alembert.
Lagrange trabajó en muchos temas de mecánica celeste. Por ejemplo, en la primera mitad del período de Berlín, también estudió el método de cálculo de las órbitas de los cometas utilizando tres datos de observación, y los resultados se convirtieron en la base para los cálculos de las órbitas. Además, también obtuvo un modelo mecánico: soluciones a dos problemas de centrado que Euler había discutido, también llamado problema de Euler. El lagrangiano se extendió al caso de la fuerza centrífuga, por lo que más tarde se le llamó problema lagrangiano. Estos modelos todavía están en uso. Algunas personas lo utilizan como modelo mecánico aproximado del movimiento de un satélite. Además, los resultados de la hidrostática que proporcionó en mecánica analítica se convirtieron más tarde en la base para la discusión de la teoría de las formas celestes.
En general, entre los cinco fundadores de la mecánica celeste, la contribución histórica de Lagrange ocupa el segundo lugar después de Laplace. La "mecánica analítica" que fundó tuvo una profunda influencia en el futuro desarrollo de la mecánica celeste.