(1) Si eliges cualquiera de estos libros, ¿cuántas formas diferentes hay?
(2) Si tomas un libro de matemáticas, un libro chino y un libro en inglés de estos libros, ¿cuántas formas diferentes hay?
(3) Si de estos libros se sacan dos libros con diferentes temas, ¿cuántas formas diferentes hay?
Solución: (1) Como puedes conseguir un libro de la estantería, debes clasificarlo. Como hay tres tipos de libros, puedes dividirlos en tres categorías. Luego, según el principio de la suma, el número de libros que obtienes es: 3+5+6=14.
(2) Sacar 1 libro de matemáticas, un libro chino y un libro en inglés de la estantería debe completarse en tres pasos. Según el principio de multiplicación, el número de métodos diferentes es 3×5×6=90 (tipos).
(3) Si tomas dos libros de diferente temática de la estantería, hay tres situaciones (1 libro en varios idiomas, 1 libro en varios ingleses y 1 libro en inglés. Cada situación requiere dos). Pasos. Entonces tenemos que calcular el número de métodos diferentes basándonos en los dos principios de la suma y la multiplicación:
3×5+3×6+5×6=63 (tipos).
Ejemplo 2. Dados dos conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, B, c, d, e}, ¿cuántas asignaciones diferentes se pueden establecer de A a B?
Análisis: Primero que nada es necesario aclarar “esto se refiere a mapeo, ¿qué es mapeo?” Es decir, para cada elemento en A, existe un elemento único en b. ”
Dado que hay tres elementos en A, necesitas encontrar una casa en B, y los tres elementos deben completarse, por lo que debe hacerse en tres pasos. establecer Según el principio de multiplicación, el número de mapas diferentes que se pueden crear es: 5×5×5=53 (tipos)
2 Dos fórmulas para el número de permutaciones y el número de combinaciones<. /p> p>
Hay dos formas de fórmulas de números de permutación y combinación, una es la forma de producto continuo, que se usa principalmente para el cálculo; la segunda es la forma factorial, que se usa principalmente para la simplificación y la prueba. /p>
La forma del producto continuo es factorial
La ecuación está establecida
Comentario: Este es un problema de prueba de ecuación de permutación, usando la forma de cociente factorial. , usando las propiedades del factorial: n! (n+1)=(n+1)! El proceso de deformación se puede simplificar
Ejemplo 4. Solución: La ecuación original se puede simplificar a:
La solución es x=3.
Comentario: Al resolver la ecuación dada por el número de permutación y el número de combinación, preste atención a la relación entre los elementos extraídos y los elementos extraídos en el La definición del número de permutación y el número de combinación y la eliminación de los elementos son restricciones importantes sobre los números naturales.
3. Cuestiones de aplicación de permutación y combinación.
En las anteriores. Las preguntas de matemáticas del examen de ingreso a la universidad, las preguntas de permutación y combinación fueron principalmente preguntas de aplicación. El contenido y los escenarios de estas preguntas de aplicación son diversos y los métodos para resolverlas siguen siendo regulares.
Los métodos generales son: método directo. y método indirecto.
(1) En el método directo, se divide en dos categorías. Si el problema se puede dividir en categorías mutuamente excluyentes, se puede utilizar la clasificación de acuerdo con el principio de suma. ; si el problema considera el orden, de acuerdo con el principio de multiplicación, se puede utilizar el método de ocupación
(2) El método indirecto generalmente resuelve el problema eliminando el lado opuesto del problema. >
Método especial:
(1) Posición de elemento especial: dé prioridad a elementos o posiciones con requisitos especiales y luego considere otros elementos o posiciones.
(2) Encuadernación. método: ciertos elementos deben organizarse juntos y combinarse estrechamente en un grupo utilizando el "método de vinculación". Organícelos por separado dentro y fuera del grupo
(3) Método de interpolación: algunos elementos deben estar separados. y ordenados juntos mediante el "método de interpolación", y aquellos que no necesitan ser separados deben ordenarse en la posición vacante
(4) Otros métodos
Ejemplo 5.7 personas. forme una línea, encuentre el número de arreglos diferentes que cumplan los siguientes requisitos
(1) La sección central de la fila A. ;(2) A no está arreglado en ambos extremos; (3) A y B; son adyacentes;
(4) A está a la izquierda de B (no es necesario que sean adyacentes; (5) A, B y C;
(6) Parte A); , B y C no son adyacentes.
Solución: (1) El centro de la fila A es una "ubicación especial" y se le dará prioridad a la ubicación.
Sólo hay una forma de pararse, y las otras seis personas están dispuestas al azar, por lo que hay: 1×=720 disposiciones diferentes.
(2) Si la Parte A no arregla ambos extremos, también es una cuestión de "posición especial". El grupo de colocación prioritaria A tiene semillas en cualquiera de las cinco posiciones intermedias, y las seis personas restantes pueden colocar las semillas a voluntad, por lo que * * * hay = 3600 arreglos diferentes.
(3) La Parte A y la Parte B son adyacentes y pertenecen al "método de agrupación". A y B se combinan para formar un "elemento", y las otras 5 personas organizan aleatoriamente los 6 elementos y luego los organizan en los grupos A y B, por lo que hay = 1400 arreglos diferentes.
(4) A está a la izquierda de B.. Considerando todos los arreglos formados por una fila de 7 personas, los arreglos de "A está a la izquierda de B" y "A está a la derecha de B" son correspondencia uno a uno, cuando no se requiere adyacencia, cada arreglo representa la mitad de todos los arreglos, por lo que hay = 2520 arreglos diferentes de A a la izquierda de B.
(5) La yuxtaposición de A, B y C es también una disposición en la que ciertos elementos deben estar juntos. Usando el "método de unión", primero combine A, B y C en un "elemento", y los otros 4 a 5 "elementos" se organizan al azar. Ahora las partes A, B y C intercambian lugares, por lo que hay = 720 arreglos diferentes.
(6) Las partes A, B y C no son adyacentes y son acuerdos separados en los que algunos elementos no pueden estar juntos. Utilice el método de "insertar agujeros" para alinear a cuatro personas que no sean los Partidos A, B y C en una fila, formando cinco "vacíos" entre cada dos personas a la izquierda y a la derecha. Luego inserte A, B y C en los tres "espacios" y luego * * * estará allí.
=1440 arreglos diferentes.
Ejemplo 6. Utilice los seis números 0, 1, 2, 3, 4 y 5 para formar un número no repetido de cinco dígitos y calcule los siguientes tipos de números respectivamente:
(1) Números impares ( 2) 5 Múltiplos; (3) Números mayores que 20300; (4) Los números que no contienen el número 0 no son adyacentes a 1 y 2.
Solución: (1) Número impar: Para obtener un número impar de 5 dígitos, hay tres pasos. El primer paso es seleccionar un número entre 1, 3 y 5 para ordenar los dígitos, considerando que la cantidad de dígitos debe ser un número impar. En el segundo paso, considere que el primer número no puede ser 0 y elija uno de los cuatro números restantes que no sea 0 para ocupar el primer lugar.
Paso 3: Elige 3 números de los 4 números restantes y clasifícalos en el medio de los 3 números. Según el principio de multiplicación, * * * hay = 388 (números).
(2) Se utilizan múltiplos de 5:0 para la clasificación.
Categoría 1: Si 0 fuera un bit, tendría =120.
La segunda categoría: 0 no es un bit, o 5 es un bit, entonces =96.
Entonces * * * existe tal número: = 216 (piezas).
(3) Los números de cinco dígitos mayores que 20300 se pueden dividir en tres categorías:
La primera categoría: 3 xxxx, 4 xxxx, 5 xxxx
La segunda categoría Categoría: 21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx
La tercera categoría: 203xx, 204xx, 205xx, con uno,
Entonces, el número de cinco dígitos mayor que 20300 * * * es: = 474(piezas).
(4) Los números que no contienen el número 0 no son adyacentes al 1 y al 2: Completar en dos pasos. En el primer paso, los tres números 3, 4 y 5 se organizan en una fila; en el segundo paso, 1 y 2 se insertan en dos posiciones de los cuatro "espacios en blanco", por lo que * * * hay = 72 cinco sin ellos. el número 0 Número de dígitos, 1 y 2 no son adyacentes.
Ejemplo 7. Una línea recta separa un círculo. Los seis puntos de la recta son A1, A2, A3, A4, A5, A6 y los cuatro puntos del círculo son B1, B2, B3 y B4. ¿Cuántas líneas rectas se pueden obtener como máximo? ¿Cuántas personas hay por lo menos?
Solución: Cuando se obtienen las líneas más rectas, es decir, las líneas rectas sin tres puntos se pueden dividir en tres categorías:
La primera categoría es conectar un punto en un punto conocido línea recta y un círculo El número de líneas rectas en un punto = 24;
La segunda categoría es el número de líneas rectas trazadas desde dos puntos cualesquiera del círculo = 6;
Se sabe que la tercera categoría tiene 1 línea recta, por lo que el mayor número de líneas rectas es n 1 = +++1 = 31 (líneas).
Cuando el número de líneas rectas obtenidas es menor, es decir, el número de líneas rectas superpuestas es mayor, es más conveniente utilizar el método de eliminación para restar el número de palabras superpuestas. Las líneas rectas son las líneas rectas que conectan dos puntos en el círculo.
La eliminación de duplicados es el número mínimo de líneas rectas: N2 = n 1-2 = 31-12 = 19 (líneas).
Ejercicios de permutación y combinación de matemáticas de secundaria.
Li Gang
Ejercicios de disposición
1. Coloca tres bolas diferentes en cuatro cajas. El número de diferentes tipos de bolas es ().
a, 81 B, 64 C, 12 D, 14
2, n∈N y N
A, B, C, D,
p>
3. Se pueden utilizar cuatro números (1, 2, 3, 4) para formar el número de números naturales no repetidos ().
a, 64 B, 60 C, 24 D, 256
4. Se asignan tres entradas de cine diferentes a 10 personas, con un máximo de una por persona, por lo que se pueden realizar diferentes tipos de entradas. El número de billetes es ().
a, 2160 B, 120 C, 240 D, 720
5. Organizar un programa con 5 solos y 3 estribillos. Si el programa de coro no puede clasificarse en primer lugar y
los programas de coro no pueden ser adyacentes, entonces el número de arreglos diferentes es ()
A, B, C, D,
p>
6. Hay 5 personas en fila, con al menos uno del Partido A y el Partido B en ambos extremos. El número de filas es ()
A, B, C, D,
7 Usa los números 1, 2, 3, 4 y 5 para formar un número de cinco dígitos. número sin repetir el número, donde el número par menor que 50000 es ().
A, B, C, D, sesenta años
8. Un comité de clase se divide en cinco personas, que actúan como líder de escuadrón y líder adjunto de escuadrón, miembro del comité de estudio. , miembro del comité laboral y miembro del comité deportivo.
Entre ellos, A no puede ser el monitor y B no puede ser el miembro del comité de estudio. El número de planes de división diferentes es ().
A, B,
C, D,
Respuesta:
1-8 BBADCCBA
一, completa los espacios en blanco
1, (1)(4p 84+2p 85)÷(P86-P95)×0! =____________
(2) Si P2n3=10Pn3, entonces N = _ _ _ _ _ _ _ _ _
2 A partir de cuatro elementos diferentes A, B, C y D. Del arreglo, el arreglo de los tres elementos diferentes es el siguiente
______________________________________________________________
3. 4 niños y 4 niñas seguidos no deben estar dispuestos en ambos extremos. son _ _ _ _ _ _ arreglos diferentes.
4. Hay 3 monedas de diez centavos de RMB, 1 moneda de diez centavos de RMB y 4 de 1 yuan de RMB, que pueden estar compuestas por estos RMB.
_ _ _ _ _ _ _Diferentes monedas.
En segundo lugar, responde las preguntas
5. Usa los seis números 0, 1, 2, 3, 4 y 5 para formar un número de cinco dígitos sin números repetidos.
(1) ¿Cuántas de las siguientes situaciones existen?
①Número impar
②Puede ser divisible por 5.
③ Se puede dividir uniformemente entre 15.
④Menos de 35142
⑤Menos de 50000 y no múltiplo de 5.
6. Si estos cinco dígitos se ordenan de pequeño a grande, ¿cuál es el número 100?
1 × × × ×
1 0 × × ×
1 2 × × ×
1 3 × × ×
1 4 × × ×
1 5 0 2 ×
1 5 0 3 2
1 5 0 3 4
7. ¿Cuántas formas diferentes hay para 7 personas seguidas en la siguiente situación?
(1)Agrega la cabeza de la carta
(2) A no ocupa la cabeza ni la cola.
(3) Los partidos A, B y C deben estar juntos.
(4) Sólo hay dos personas en el Partido A y el Partido B.
(5) Las partes A, B y C no son adyacentes.
(6) A está a la izquierda de B (no necesariamente adyacente)
(7) Los partidos A, B y C están en orden de mayor a menor y de izquierda a derecha. bien.
(8) El partido A no toma la delantera y el partido B no está en el medio.
8. Elige tres números cualesquiera de los cinco números 2, 3, 4, 7 y 9 para formar un número de tres dígitos sin números repetidos.
(1)¿Cuántos números de tres cifras hay?
(2)¿Cuál es la suma de los dígitos de los tres números?
(3)¿Cuál es la suma de estos tres dígitos?
Respuesta:
Uno,
1, (1)5
(2)8
No
abc, abd, acd, bac, bad, bcd, cab, cad, CBD, dab, dac, dbc
3, 8640
. 4 , 39
5,
①3× =288
②
③
④
⑤
6,
=120 〉100
=24
=24
= 24
=24
=2
7, (1) =720
(2)5 =3600
(3) =720
(4) =960
(5) =1440
(6) =2520
(7) =840
(8)
8, (1)
(2)
(3)300 × (1011)=33300
Ejercicios de permutación y combinación
1, si, entonces el valor de n es ()
a, 6 B, 7 C, 8 D, 9
2 Hay 30 niños y 20 niñas en una clase. Ahora tenemos que seleccionar a 5 personas de ellos para formar un equipo de publicidad, incluidos niños y niñas.
El método de selección para alumnos con no menos de 2 alumnos es ()
A, B,
C, D,
3. Hay 10 puntos en el espacio, 5 de los cuales están en el mismo plano y el resto no tiene * * * plano, por lo que se pueden determinar 10 puntos.
El número de planos coplanares es ()
a, 206 B, 205 C, 111 D, 110
4 Se distribuyen seis libros diferentes al Partido. A, Partido B y Partido C, dos ejemplares cada uno. El número de diferentes tipos de libros es ().
A, B, C, D,
5. Cinco 1 y dos 2 están organizados en una secuencia que contiene siete elementos, entonces el número de secuencias diferentes es ( ).
a, 21 B, 25 C, 32 D, 42
6 Sean P1, P2..., P20 las 20 raíces complejas correspondientes de la ecuación z20=1 en. los puntos del plano complejo, con estos puntos como cima.
El número de puntos de un triángulo rectángulo es ()
a, 360 B, 180 C, 90 D, 45
Si, entonces el. rango de valores de k es ()
a, [5,11] B, [4,11] C, [4,12] D, 4,15]
8 Hay 4 en la tronera, 2 bolas rojas diferentes y 6 bolas blancas diferentes. Saque 4 bolas a la vez y saque un ovillo de hilo.
Para puntuar, saca una bola blanca y suma 1 punto, por lo que la puntuación total no será inferior a 5 puntos.
A, B,
C, D,
Respuesta:
1, B 2, D 3, C 4, A 5. A 6, B
7, B 8, C
1, cálculo: (1) = _ _ _ _ _
(2) = _______
2. Coloca siete bolas idénticas en 10 cajas diferentes. Si no hay más de 1 bola en cada caja, entonces hay _ _ _ _ _ _ _ _ _
. Diferentes declaraciones.
3.∠AOB tiene 5 puntos en el lado OA y 6 puntos en el lado OB Sumando el punto O a 12 puntos, estos 12 puntos se utilizan como la parte superior.
Hay _ _ _ _ _ _ puntos del triángulo.
4. Toma cuatro números cualesquiera de los números 1, 2, 3,...,9 para que su suma sea un número impar, entonces * * * tenemos _ _ _ _ _.
Los métodos son diferentes.
5. Conocido
6. (1) ¿Cuántas pirámides triangulares hay con el vértice del cubo?
(2) ¿Cuántas cuatro pirámides hay con los vértices del cubo como vértices?
(3) ¿Cuántas pirámides hay con el vértice del cubo como vértice?
7. El conjunto A tiene 7 elementos, el conjunto B tiene 10 elementos, el conjunto A∩B tiene 4 elementos, el conjunto C satisface
(1) C tiene tres elementos; C A∪B; (3)C∩B≠φ, C∩A≠φ, encuentre uno de esos conjuntos C.
Cuenta.
8. De 1, 2, 3,...30, toma tres números desiguales cada vez para que su suma sea múltiplo de 3.
* * *¿Cuántas formas diferentes hay?
Respuesta:
1, 490
2, 31
3, 165
4, 60
5. Solución:
6. /p>
7. Solución: Hay elementos 7+10-4=13 en A ∪ B.
8. Solución: Divide estos 30 números en tres categorías según el resto después de dividir por 3:
A={3, 6, 9,…, 30}
p>
B={1, 4, 7,…, 28}
C={2, 5, 8,…, 29}
( 1)