Las raíces de los números son del 10 al 12.

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Factorización

La factorización es la descomposición de un polinomio en el producto de varias expresiones algebraicas. Es una de las transformaciones de identidad más importantes en las matemáticas de la escuela secundaria. Se usa ampliamente en matemáticas elementales y es una herramienta poderosa para resolver muchos problemas matemáticos. El método de factorización es flexible y altamente calificado. Aprender estos métodos y técnicas no solo es necesario para dominar el contenido de la factorización, sino también para cultivar las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes y desarrollar sus habilidades de pensamiento. Todos ellos tienen características muy singulares. En los libros de texto de matemáticas de la escuela secundaria, se introducen principalmente los métodos de extracción de factores comunes, uso de fórmulas, descomposición de grupos y multiplicación cruzada. La competencia también incluye suma parcial, método de coeficiente indeterminado, multiplicación cruzada doble, método de simetría rotacional, etc.

(1) Método del factor común

(1) Factor común: El factor común de cada término se llama ~ de este término polinómico.

②Cómo extraer factores comunes: en términos generales, si cada término de un polinomio tiene un factor común, puedes poner el factor común fuera de los paréntesis y escribir el polinomio en forma de producto de factores. Este método de descomposición de factores se llama extracción de factores comunes.

am bm cm=m(a b c)

③ Método específico: cuando todos los coeficientes son números enteros, los coeficientes de la fórmula del factor común deben ser el máximo común divisor de todos los coeficientes; las letras son Para cada término de la misma letra, el índice de cada letra toma el grado más bajo. Si el primer término del polinomio es negativo, generalmente se propone un signo "-", lo que hace que el coeficiente del primer término entre paréntesis sea positivo.

⑵Utiliza el método de la fórmula.

①Fórmula de variación:. a 2-b 2 = (a b) (a-b)

②Fórmula del cuadrado perfecto: a 2 2ab b 2 = (a b) 2.

Los polinomios que se pueden descomponer en factores usando la fórmula del cuadrado perfecto deben ser trinomios, dos de los cuales se pueden escribir como la suma de los cuadrados de dos números (o fórmulas), y el otro es la suma de los cuadrados de estos dos números (o fórmulas) son el doble del producto. ※.

③Fórmula de suma de cubos: A 3 B 3 = (A B) (A 2-AB B 2).

Fórmula de diferencia cúbica: a 3-b 3 = (a-b) (a 2 ab b 2).

④Fórmula cúbica perfecta: a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 = (a b) 3.

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1) a^(n-2)b …… b^(n-2)a b^(n-1)]

a m b m =(a b)[a(m-1)-a(m-2)b ...-b (m-2) a b (m-1)] (m es un número impar) .

⑶Método de descomposición de grupos

Descomposición de grupos: método para agrupar polinomios y luego factorizarlos.

El método de descomposición de agrupaciones debe tener un propósito claro, es decir, los factores comunes se pueden extraer directamente o se puede utilizar la fórmula después de la agrupación.

(4) Métodos para dividir y complementar elementos

Método de descomposición y suplementación: descomponer un término del polinomio o completar dos términos (o varios términos) inversamente entre sí para que la fórmula original es aplicable método de factor común, método de fórmula o método de descomposición de grupos; cabe señalar que la deformación debe realizarse bajo el principio de igualdad con el polinomio original;

5] Multiplicación cruzada.

①x2 (p q)x Factorización de fórmula tipo pq.

Las características de este tipo de trinomio cuadrático son: el coeficiente del término cuadrático es 1; el término constante es el producto de dos números; el coeficiente del término lineal es la suma de los dos factores de; el término constante. Entonces podemos factorizar directamente algunos trinomios cuadráticos con coeficientes 1: x 2 (p q) x PQ = (x p) (x q).

②Factorización de la fórmula tipo n kx2 MX

Si se puede descomponer en k = AC, n = BD, AD BC = M, entonces

kx ^ 2 mx n=(ax b)(cx d)

a \ - /b ac=k bd=n

c / - \d ad bc=m

Pasos generales para la descomposición polinomial. ※:

(1) Si los términos polinomiales tienen factores comunes, mencione primero los factores comunes.

(2) Si no hay factores comunes, intente usar fórmulas y; multiplicación cruzada para descomponer;

(3) Si el método anterior no se puede descomponer, puede intentar descomponerlo agrupando, dividiendo y sumando entradas.

(4) La factorización debe ser; se realiza hasta que cada factorización polinómica ya no se pueda factorizar.

(6) Aplicar el teorema factorial: si f(a)=0, entonces f(x) debe contener el factorial (x-a). Si f (x) = x 2 5x 6, f(-2)=0, entonces se puede determinar que (x 2) es un factor de x 2 5x 6.

Ejemplo clásico:

1. Factoriza (1 y)2-2x 2(1 y 2) x 4(1-y)2.

Solución: Fórmula original = (1 y)2 2(1 y)x2(1 y) x4(1-y)2-2(1 y).

=[(1 y) x^2(1-y)]^2-2(1 y)x^2(1-y)-2x^2(1 y^2)

=[(1 y) x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1 y) x^2(1-y) 2x ][(1 y) x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y 2x y 1)(x^2-x^2y-2x y 1)

=[(x 1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x 1)(x 1-xy y)(x-1)(x-1-xy-y)

2. No lo hará. Son 33.

x^5 3x^4y-5x^3y^2 4xy^4 12y^5

Solución: Fórmula original = (x ^ 5 3x ^ 4y)-(5x ^ 3y ^ 2 15x ^ 2y ^ 3) (4xy ^ 4 12y ^ 5)

=x^4(x 3y)-5x^2y^2(x 3y) 4y^4(x 3y)

=(x 3y)(x^4-5x^2y^2 4y^4)

=(x 3y)(x^2-4y^2)(x^2- y^2)

=(x 3y)(x y)(x-y)(x 2y)(x-2y)

Cuando y=0, la fórmula original = x 5 es no es igual a 33; cuando y no es igual a 0, x 3y, x y, x-y, x 2y, x-2y son diferentes entre sí y 33 no se puede dividir en el producto de más de cuatro factores diferentes, por lo que el original la proposición se mantiene.

Doce métodos de factorización

La transformación de un polinomio en el producto de varias expresiones algebraicas se denomina factorización de este polinomio. Existen muchos métodos de factorización, que se resumen a continuación:

1. Método de bienestar público

Si cada término del polinomio contiene un factor común, entonces se puede proponer este factor común, por lo que Un polinomio se puede convertir en el producto de dos factores.

Ejemplo 1, factorización x 3-2x 2-x (examen de ingreso a la escuela secundaria de la ciudad de Huaian de 2003)

x^3 -2x^2 -x=x(x^2 - 2x-1)

2. Aplicación del método de fórmula

Debido a que existe una relación recíproca entre la factorización y la multiplicación de expresiones algebraicas, si la fórmula de multiplicación se invierte, se puede utilizar para descomponerlo ciertos polinomios.

Ejemplo 2, factorización A 2 4A B 4B 2 (Ciudad de Nantong, 2003)

Solución: A 2 4A B 4B 2 = (A 2B)

3. Método de descomposición por agrupaciones

Para factorizar el polinomio am an bm bn, primero puedes dividir los dos primeros términos en un grupo y proponer el factor común A, y luego dividir los dos términos siguientes en un grupo. Proponga el factor común B para obtener a (m n) b (m n). También podemos presentar el factor común m n para obtener (a b) (m).

Ejemplo 3: Factor de descomposición M 2 5N-Mn-5M

Solución: m 2 5n-Mn-5m = m 2-5m-Mn 5n.

= (m^2 -5m ) (-mn 5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=( m-5)(m-n)

4. Multiplicación cruzada

Para polinomios en forma de MX 2 PX Q, si a×b=m, c×d=q, ac bd= p, entonces el polinomio se puede factorizar en (ax d)(bx c).

Ejemplo 4, factorizando 7x 2-19x-6

Análisis:

1 -3

7 2

p >

2-21=-19

Solución: 7x 2-19x-6 = (7x 2) (x-3)

5. p>

Para aquellos polinomios que no se pueden usar con el método de fórmula, se pueden usar algunos para hacer un método completamente plano y luego usar la fórmula de diferencia al cuadrado para factorizar.

Ejemplo 5, factorizar x 2 3x-40

Solución x 2 3x-40

=x^2 3x 2.25-42.25

=(x 1.5)^2-(6.5)^2

=(x 8)(x-5)

6. Métodos de desmontaje y adición

Los polinomios se pueden dividir en partes y luego factorizar.

Ejemplo 6: Factor de descomposición bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)

Solución: BC(B C) CA(C-A)-AB(A B)= BC( C-A A B) CA(C-A)-AB(A B).

= BC(c-a) ca(c-a) BC(a b)-ab(a b)

=c(c-a)(b a) b(a b)(c-a)

=(c b)(c-a)(a b)

7. Método alternativo

A veces, al factorizar, puedes elegir la misma parte del polinomio y usar otra incógnita. se sustituye, luego se factoriza y finalmente se vuelve a convertir.

Ejemplo 7, factorizar 2x^4 -x^3 -6x^2 -x 2 2-x 2

8. Método radical

Supongamos el polinomio. f(x)=0 y encuentra sus raíces como x1, x2, x3,...xn,...xn, entonces el polinomio se puede factorizar como f (x) = (x-x1) (x-x2) ( x-x3)...(x-xn).

Ejemplo 8, factorizando 2x 4 7x 3-2x 2-13x 6

Solución: Sea f (x) = 2x 4 7x 3-2x 2-13x 6 = 0.

Según la división integral, las raíces de f(x)=0 son 1/2, -3, -2 y 1.

Entonces 2x 4 7x 3-2x 2-13x 6 =(2x-1)(x 3)(x 2)(x-1).

9. Método espejo

Supongamos que y=f(x), haga la imagen de la función y=f(x) y encuentre el punto de intersección de la imagen de la función y la Eje X, x1, x2, x3,...xn,...Xn, entonces el polinomio se puede factorizar como f (x) = f (x) = (X-X1) (X-X2).

Ejemplo 9, factorizar X 3 2x 2-5x-6

Solución: Sea y y= x^3 2x^2 -5x-6 5x-6.

Como muestra la imagen, los puntos de intersección con el eje X son -3, -1 y 2.

Entonces x3 2x 2-5x-6 =(x 1)(x 3)(x-2).

10. Método del componente principal

Primero seleccione una letra como elemento principal, luego organice los elementos de mayor a menor según el número de letras y luego factorice.

Ejemplo 10, factorización de factores a (b-c) b (c-a) c (a-b)

Análisis: para esta pregunta, puedes elegir A como elemento principal y ordenarlo desde arriba a bajo.

Solución: a(b-c) b(c-a) c(a-b)= a(b-c)-a(b-c) (b c-c b)

=(b-c) [a - a(b c) bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11, usa el método de valor especial

Pon 2 o 10 en X , Encuentre el número P, descomponga el número P en factores primos, combine los factores primos apropiadamente, escriba los factores combinados como la suma y diferencia de 2 o 10, simplifique 2 o 10 a X y obtenga la factorización.

Ejemplo 11, factorizando X 3 9X 2 23x 15.

Solución: Supongamos x=2, entonces x3 9x 2 23x 15 = 8 36 46 15 = 105.

105 se descompone en el producto de tres factores primos, es decir, 105=3×5×7.

Tenga en cuenta que el coeficiente del término más alto del polinomio es 1, y 3, 5 y 7 son x 1, x 3 y x 5 respectivamente, cuando x=2.

Entonces x 3 9x 2 23x 15 puede ser =(x 1)(x 3)(x 5), lo cual es cierto después de la verificación.

12. Método de coeficiente indeterminado

Primero determine la forma de los factores de factorización, luego establezca los coeficientes de letras de la expresión algebraica correspondiente, encuentre los coeficientes de letras y luego descomponga los factores polinomiales.

Ejemplo 12, factorizar x 4-x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4-4

Análisis: Es fácil saber que este polinomio no tiene factores de grado, por lo que solo se puede descomponer en dos factores cuadráticos.

Solución: Sea x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2 ax b)(x2 CX d).

= x^4 (a c)x^3 (ac b d)x^2 (AD BC)x bd

Entonces la solución es

Entonces x4 -x3-5x 2-6x-4 =(x x 1)(x-2x-4).

"Cuatro notas" sobre factorización para principiantes

La factorización apareció por primera vez en el segundo volumen del libro de texto de tres años de educación secundaria obligatoria de nueve años "Álgebra", en el segundo grado de secundaria Se imparte al inicio del semestre, pero su contenido impregna todo el libro de texto de matemáticas de secundaria. Aprenderlo no solo puede repasar las cuatro operaciones aritméticas de expresiones algebraicas avanzadas, sino que también sienta una buena base para el próximo capítulo de este libro. Aprenderlo bien no solo puede cultivar las habilidades de observación, atención y cálculo de los estudiantes, sino también mejorar sus habilidades de análisis integral y resolución de problemas. Cuatro de ellos deben atraer la gran atención de profesores y alumnos.

Los cuatro puntos de la factorización se encuentran dispersos en las páginas 5 y 15 del libro de texto. Se pueden resumir en cuatro oraciones de la siguiente manera: el primer término es siempre un número negativo, el primer término es "común". y el primer término es "común" es "público" y el último elemento es 1. Aquí hay algunos ejemplos para su referencia.

Ejemplo 1 Factorización-A2-B2 2AB 4.

Solución: -A2-B2 2AB 4 =-(A2-2AB B2-4)=-(A-B 2)(A-B-2)

El "negativo" aquí es " "signo menos" significa. Si el primer término del polinomio es negativo, generalmente es necesario proporcionar un signo negativo para que el coeficiente del primer término entre paréntesis sea positivo. ¿Evitar que los estudiantes cometan errores como -9 x2 4 y2 =(-3x)2-(2Y)2 =(-3x 2Y)(-3x-2Y)=(3x-2Y)?

Por ejemplo, en el Ejemplo 2, los tres lados A, B y C de △ ABC tienen la siguiente relación: -C2 A2 2ab-2bc = 0, lo que demuestra que este triángulo es un triángulo isósceles.

Análisis: esta pregunta trata esencialmente sobre factorizar el polinomio en el lado izquierdo del signo igual.

Demuestre: ∫-C2 a2 2ab-2bc = 0, ∴ (A C) (A-C) 2B (A-C) = 0, ∴ (A-C) (A 2B C) = 0.

∵a, b, c son los tres lados de △abc, ∴ A 2B C > 0, ∴ A-C = 0

Es decir, a = c y △abc es un triángulo isósceles.

Ejemplo 3 Factorización-12 x2 nyn 18xn 2yn 1-6 xnyn-1. Solución: -12 x2 nyn 18xn 2yn 1-6 xnyn-1 =-6 xnyn-1(2 xny3 x2 y2 1).

"Común" aquí significa "factor común". Si cada término del polinomio contiene un factor común, primero extraiga el factor común y luego descomponga aún más el factor. "1" aquí significa que cuando todo el término del polinomio es un factor común, primero proponga el factor común; No te pierdas el 1 entre paréntesis. Evite que aparezcan estudiantes como 6p(x-1)3-8p 2(x-1)2 2p(1-x)2 = 2p(x-1)2[3(x-1)-4p.

Ejemplo 4 Factorizar X4-5x2-6 en el rango de números reales.

Solución: x4-5x 2-6 =(x2 1)(x2-6)=(x2 1)(x 6)(x-6).

La "base" aquí se refiere a la factorización, que debe llevarse a cabo hasta que cada factor polinómico ya no pueda factorizarse. Eso es dividirlo hasta el final en lugar de darse por vencido a mitad de camino. Los factores comunes contenidos en él deben "limpiarse" de inmediato, sin dejar "colas", y los polinomios en cada paréntesis ya no se pueden descomponer. Evite que los estudiantes cometan errores como 4x4y 2-5x2y 2-9 Y2 = Y2(4x 4-5x 2-9)= Y2(x2 1)(4x 2-9).

la historia de lucha épica de los científicos y educadores de nuestro país. Toda la obra está llena del sentimiento del pueblo chino que lucha por servir al país de principio a fin. Esto es particularmente prominente en la trama de Fang superando numerosos obstáculos de las autoridades estadounidenses para regresar al país. Entrenamiento de expresión del lenguaje. ¿Puedes encontrar "mitos" y "secretos" de la infancia similares a los de la "Tarjeta de felicitación con copos de nieve" del artículo "Del jardín de Baicao a tres piscinas que reflejan la luna"? 7. ¿Debo responderle a Li Xiaoyi? Si sigo escribiendo respuestas, ¿hay una mejor manera de manejarlo? 8. Lo siguiente es lo que le dijo el compañero de clase de Xiao Ming por teléfono. Algunas de las partes subrayadas fueron mal elegidas y otras mal expresadas. Por favor corríjalos. Xiao Ming, ¡deberías escribir para nuestra "Sociedad Literaria Youlin" para dar la bienvenida al próximo aniversario escolar! No hay restricciones en cuanto al género, incluidos poesía, prosa y ensayos. Movilice también a más estudiantes para que contribuyan en clase. Verá, diez estudiantes de nuestra clase ya han enviado sus manuscritos, incluido yo. Puedes darme tu manuscrito terminado directamente y te daré algunas sugerencias. Tenga en cuenta que la fecha de envío es a finales de este mes. ① _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _Los estudiantes cantaron 10 en la fiesta. Combine el significado del texto e imite el tono del autor y continúe escribiendo un fragmento para la tarjeta de felicitación del copo de nieve, de aproximadamente 100 palabras. Lea el siguiente texto simultáneamente durante la clase y responda las preguntas 11-14. Este año nevó intensamente en Shenyang, hasta las rodillas, y había muñecos de nieve regordetes por todas partes. ②Cuando pasé junto al muñeco de nieve en el jardín después de salir del trabajo, noté una señal extraña: parecía haber un trozo de papel debajo de la barbilla del muñeco de nieve. Soy una persona curiosa. Si miro con atención, parece una tarjeta de felicitación pegada en los brazos de un muñeco de nieve. ③ Sácala, es una tarjeta de felicitación, la foto es de un niño con pecas, vestido con jeans de adulto, limpiándose la nariz. Hay palabras adentro, torcidas y torcidas, escritas por un niño. Muñeco de nieve: Eres blanca y gorda, y tus labios de piel de naranja son tan hermosos. No debes tener miedo al frío. ¿Tienes miedo en medio de la noche? Come nieve cuando tengas hambre. ¡Seamos amigos! Te deseo: ¡Feliz año nuevo! Li Xiaoyi, clase 4, grado 2, escuela secundaria Qishan No. 3, Shenyang (4) He enviado y recibido algunas tarjetas de felicitación, pero esta es muy emocionante. Estoy un poco celoso de Snowman por poder recibir una atención tan sincera por parte de Li Xiaoyi. ⑤Vuelvo a poner la tarjeta de felicitación en los brazos del muñeco de nieve, dejando solo una pequeña esquina expuesta. Cuando llegué a casa, no podía dejarlo pasar. Le escribí una tarjeta de felicitación a Li Xiaoyi en nombre de Snowman. No sé si esto es lo correcto y espero que no hiera los sentimientos del niño. Li Xiaoyi: Estoy muy feliz de recibir su tarjeta de felicitación. En innumerables inviernos, nadie me envió una tarjeta. ¡Eres mi buen amigo! Te deseo: ¡obtén el doble de cien en el examen y sé feliz para siempre! Envié el muñeco de nieve a la puerta de la Unidad 3, No. 10, Qishan Middle Road. La portada de la tarjeta muestra a Papá Noel conduciendo su trineo. Durante los últimos días he estado mirando muñecos de nieve de vez en cuando. ¿Vendrá Li Xiaoyi? Fue genial conocernos. Al tercer día, vi otra tarjeta de felicitación en el hombro del muñeco de nieve. La saqué y la miré. Muñeco de nieve: Salté de alegría cuando recibí tu tarjeta de felicitación. ¿Aún no hemos estado a la altura del mito? Pero mis compañeros dijeron que era falso. ¿Es falso? Mi papá dijo que fue escrito por un adulto. Tampoco creo que puedas escribir tarjetas de felicitación. ¿Quién es tu señor? ¡Dímelo urgentemente! (15 signos de exclamación) Si no te conviene, también puedes notificar a mi compañero Wang Yang a través del 621x10. El número de teléfono de Zhang Nu es 684 x ​​​​x 77. ¡Te deseo lo mejor! Li Xiaoyi ⑦ Devolví la tarjeta de felicitación y sentí un estado de ánimo diferente. Li Xiaoyi es un niño que cree en los mitos. Qué feliz está. He tenido momentos como este. En este juego debo tener cuidado y detenerme. Aunque Li Xiaoyi esperaba ansiosamente la respuesta. Ayer, domingo por la tarde, una niña se paró frente al muñeco de nieve, de espaldas a mi ventana. Su disfraz es voluminoso. No podía bajar los brazos. Este debe ser Li Xiaoyi. Se paró junto al muñeco de nieve y de vez en cuando le daba palmaditas con nieve. La piel y los labios anaranjados del muñeco de nieve todavía son muy brillantes.
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