Factorización
La factorización es la descomposición de un polinomio en el producto de varias expresiones algebraicas. Es una de las transformaciones de identidad más importantes en las matemáticas de la escuela secundaria. Se usa ampliamente en matemáticas elementales y es una herramienta poderosa para resolver muchos problemas matemáticos. El método de factorización es flexible y altamente calificado. Aprender estos métodos y técnicas no solo es necesario para dominar el contenido de la factorización, sino también para cultivar las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes y desarrollar sus habilidades de pensamiento. Todos ellos tienen características muy singulares. En los libros de texto de matemáticas de la escuela secundaria, se introducen principalmente los métodos de extracción de factores comunes, uso de fórmulas, descomposición de grupos y multiplicación cruzada. La competencia también incluye suma parcial, método de coeficiente indeterminado, multiplicación cruzada doble, método de simetría rotacional, etc.
(1) Método del factor común
(1) Factor común: El factor común de cada término se llama ~ de este término polinómico.
②Cómo extraer factores comunes: en términos generales, si cada término de un polinomio tiene un factor común, puedes poner el factor común fuera de los paréntesis y escribir el polinomio en forma de producto de factores. Este método de descomposición de factores se llama extracción de factores comunes.
am bm cm=m(a b c)
③ Método específico: cuando todos los coeficientes son números enteros, los coeficientes de la fórmula del factor común deben ser el máximo común divisor de todos los coeficientes; las letras son Para cada término de la misma letra, el índice de cada letra toma el grado más bajo. Si el primer término del polinomio es negativo, generalmente se propone un signo "-", lo que hace que el coeficiente del primer término entre paréntesis sea positivo.
⑵Utiliza el método de la fórmula.
①Fórmula de variación:. a 2-b 2 = (a b) (a-b)
②Fórmula del cuadrado perfecto: a 2 2ab b 2 = (a b) 2.
Los polinomios que se pueden descomponer en factores usando la fórmula del cuadrado perfecto deben ser trinomios, dos de los cuales se pueden escribir como la suma de los cuadrados de dos números (o fórmulas), y el otro es la suma de los cuadrados de estos dos números (o fórmulas) son el doble del producto. ※.
③Fórmula de suma de cubos: A 3 B 3 = (A B) (A 2-AB B 2).
Fórmula de diferencia cúbica: a 3-b 3 = (a-b) (a 2 ab b 2).
④Fórmula cúbica perfecta: a 3 3a 2b 3ab 2 b 3 = (a b) 3.
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1) a^(n-2)b …… b^(n-2)a b^(n-1)]
a m b m =(a b)[a(m-1)-a(m-2)b ...-b (m-2) a b (m-1)] (m es un número impar) .
⑶Método de descomposición de grupos
Descomposición de grupos: método para agrupar polinomios y luego factorizarlos.
El método de descomposición de agrupaciones debe tener un propósito claro, es decir, los factores comunes se pueden extraer directamente o se puede utilizar la fórmula después de la agrupación.
(4) Métodos para dividir y complementar elementos
Método de descomposición y suplementación: descomponer un término del polinomio o completar dos términos (o varios términos) inversamente entre sí para que la fórmula original es aplicable método de factor común, método de fórmula o método de descomposición de grupos; cabe señalar que la deformación debe realizarse bajo el principio de igualdad con el polinomio original;
5] Multiplicación cruzada.
①x2 (p q)x Factorización de fórmula tipo pq.
Las características de este tipo de trinomio cuadrático son: el coeficiente del término cuadrático es 1; el término constante es el producto de dos números; el coeficiente del término lineal es la suma de los dos factores de; el término constante. Entonces podemos factorizar directamente algunos trinomios cuadráticos con coeficientes 1: x 2 (p q) x PQ = (x p) (x q).
②Factorización de la fórmula tipo n kx2 MX
Si se puede descomponer en k = AC, n = BD, AD BC = M, entonces
kx ^ 2 mx n=(ax b)(cx d)
a \ - /b ac=k bd=n
c / - \d ad bc=m
Pasos generales para la descomposición polinomial. ※:
(1) Si los términos polinomiales tienen factores comunes, mencione primero los factores comunes.
(2) Si no hay factores comunes, intente usar fórmulas y; multiplicación cruzada para descomponer;
(3) Si el método anterior no se puede descomponer, puede intentar descomponerlo agrupando, dividiendo y sumando entradas.
(4) La factorización debe ser; se realiza hasta que cada factorización polinómica ya no se pueda factorizar.
(6) Aplicar el teorema factorial: si f(a)=0, entonces f(x) debe contener el factorial (x-a). Si f (x) = x 2 5x 6, f(-2)=0, entonces se puede determinar que (x 2) es un factor de x 2 5x 6.
Ejemplo clásico:
1. Factoriza (1 y)2-2x 2(1 y 2) x 4(1-y)2.
Solución: Fórmula original = (1 y)2 2(1 y)x2(1 y) x4(1-y)2-2(1 y).
=[(1 y) x^2(1-y)]^2-2(1 y)x^2(1-y)-2x^2(1 y^2)
=[(1 y) x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1 y) x^2(1-y) 2x ][(1 y) x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y 2x y 1)(x^2-x^2y-2x y 1)
=[(x 1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x 1)(x 1-xy y)(x-1)(x-1-xy-y)
2. No lo hará. Son 33.
x^5 3x^4y-5x^3y^2 4xy^4 12y^5
Solución: Fórmula original = (x ^ 5 3x ^ 4y)-(5x ^ 3y ^ 2 15x ^ 2y ^ 3) (4xy ^ 4 12y ^ 5)
=x^4(x 3y)-5x^2y^2(x 3y) 4y^4(x 3y)
=(x 3y)(x^4-5x^2y^2 4y^4)
=(x 3y)(x^2-4y^2)(x^2- y^2)
=(x 3y)(x y)(x-y)(x 2y)(x-2y)
Cuando y=0, la fórmula original = x 5 es no es igual a 33; cuando y no es igual a 0, x 3y, x y, x-y, x 2y, x-2y son diferentes entre sí y 33 no se puede dividir en el producto de más de cuatro factores diferentes, por lo que el original la proposición se mantiene.
Doce métodos de factorización
La transformación de un polinomio en el producto de varias expresiones algebraicas se denomina factorización de este polinomio. Existen muchos métodos de factorización, que se resumen a continuación:
1. Método de bienestar público
Si cada término del polinomio contiene un factor común, entonces se puede proponer este factor común, por lo que Un polinomio se puede convertir en el producto de dos factores.
Ejemplo 1, factorización x 3-2x 2-x (examen de ingreso a la escuela secundaria de la ciudad de Huaian de 2003)
x^3 -2x^2 -x=x(x^2 - 2x-1)
2. Aplicación del método de fórmula
Debido a que existe una relación recíproca entre la factorización y la multiplicación de expresiones algebraicas, si la fórmula de multiplicación se invierte, se puede utilizar para descomponerlo ciertos polinomios.
Ejemplo 2, factorización A 2 4A B 4B 2 (Ciudad de Nantong, 2003)
Solución: A 2 4A B 4B 2 = (A 2B)
3. Método de descomposición por agrupaciones
Para factorizar el polinomio am an bm bn, primero puedes dividir los dos primeros términos en un grupo y proponer el factor común A, y luego dividir los dos términos siguientes en un grupo. Proponga el factor común B para obtener a (m n) b (m n). También podemos presentar el factor común m n para obtener (a b) (m).
Ejemplo 3: Factor de descomposición M 2 5N-Mn-5M
Solución: m 2 5n-Mn-5m = m 2-5m-Mn 5n.
= (m^2 -5m ) (-mn 5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=( m-5)(m-n)
4. Multiplicación cruzada
Para polinomios en forma de MX 2 PX Q, si a×b=m, c×d=q, ac bd= p, entonces el polinomio se puede factorizar en (ax d)(bx c).
Ejemplo 4, factorizando 7x 2-19x-6
Análisis:
1 -3
7 2
p >2-21=-19
Solución: 7x 2-19x-6 = (7x 2) (x-3)
5. p>
Para aquellos polinomios que no se pueden usar con el método de fórmula, se pueden usar algunos para hacer un método completamente plano y luego usar la fórmula de diferencia al cuadrado para factorizar.
Ejemplo 5, factorizar x 2 3x-40
Solución x 2 3x-40
=x^2 3x 2.25-42.25
=(x 1.5)^2-(6.5)^2
=(x 8)(x-5)
6. Métodos de desmontaje y adición
Los polinomios se pueden dividir en partes y luego factorizar.
Ejemplo 6: Factor de descomposición bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)
Solución: BC(B C) CA(C-A)-AB(A B)= BC( C-A A B) CA(C-A)-AB(A B).
= BC(c-a) ca(c-a) BC(a b)-ab(a b)
=c(c-a)(b a) b(a b)(c-a)
=(c b)(c-a)(a b)
7. Método alternativo
A veces, al factorizar, puedes elegir la misma parte del polinomio y usar otra incógnita. se sustituye, luego se factoriza y finalmente se vuelve a convertir.
Ejemplo 7, factorizar 2x^4 -x^3 -6x^2 -x 2 2-x 2
8. Método radical
Supongamos el polinomio. f(x)=0 y encuentra sus raíces como x1, x2, x3,...xn,...xn, entonces el polinomio se puede factorizar como f (x) = (x-x1) (x-x2) ( x-x3)...(x-xn).
Ejemplo 8, factorizando 2x 4 7x 3-2x 2-13x 6
Solución: Sea f (x) = 2x 4 7x 3-2x 2-13x 6 = 0.
Según la división integral, las raíces de f(x)=0 son 1/2, -3, -2 y 1.
Entonces 2x 4 7x 3-2x 2-13x 6 =(2x-1)(x 3)(x 2)(x-1).
9. Método espejo
Supongamos que y=f(x), haga la imagen de la función y=f(x) y encuentre el punto de intersección de la imagen de la función y la Eje X, x1, x2, x3,...xn,...Xn, entonces el polinomio se puede factorizar como f (x) = f (x) = (X-X1) (X-X2).
Ejemplo 9, factorizar X 3 2x 2-5x-6
Solución: Sea y y= x^3 2x^2 -5x-6 5x-6.
Como muestra la imagen, los puntos de intersección con el eje X son -3, -1 y 2.
Entonces x3 2x 2-5x-6 =(x 1)(x 3)(x-2).
10. Método del componente principal
Primero seleccione una letra como elemento principal, luego organice los elementos de mayor a menor según el número de letras y luego factorice.
Ejemplo 10, factorización de factores a (b-c) b (c-a) c (a-b)
Análisis: para esta pregunta, puedes elegir A como elemento principal y ordenarlo desde arriba a bajo.
Solución: a(b-c) b(c-a) c(a-b)= a(b-c)-a(b-c) (b c-c b)
=(b-c) [a - a(b c) bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11, usa el método de valor especial
Pon 2 o 10 en X , Encuentre el número P, descomponga el número P en factores primos, combine los factores primos apropiadamente, escriba los factores combinados como la suma y diferencia de 2 o 10, simplifique 2 o 10 a X y obtenga la factorización.
Ejemplo 11, factorizando X 3 9X 2 23x 15.
Solución: Supongamos x=2, entonces x3 9x 2 23x 15 = 8 36 46 15 = 105.
105 se descompone en el producto de tres factores primos, es decir, 105=3×5×7.
Tenga en cuenta que el coeficiente del término más alto del polinomio es 1, y 3, 5 y 7 son x 1, x 3 y x 5 respectivamente, cuando x=2.
Entonces x 3 9x 2 23x 15 puede ser =(x 1)(x 3)(x 5), lo cual es cierto después de la verificación.
12. Método de coeficiente indeterminado
Primero determine la forma de los factores de factorización, luego establezca los coeficientes de letras de la expresión algebraica correspondiente, encuentre los coeficientes de letras y luego descomponga los factores polinomiales.
Ejemplo 12, factorizar x 4-x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4-4
Análisis: Es fácil saber que este polinomio no tiene factores de grado, por lo que solo se puede descomponer en dos factores cuadráticos.
Solución: Sea x4-x3-5x 2-6x-4 =(x2 ax b)(x2 CX d).
= x^4 (a c)x^3 (ac b d)x^2 (AD BC)x bd
Entonces la solución es
Entonces x4 -x3-5x 2-6x-4 =(x x 1)(x-2x-4).
"Cuatro notas" sobre factorización para principiantes
La factorización apareció por primera vez en el segundo volumen del libro de texto de tres años de educación secundaria obligatoria de nueve años "Álgebra", en el segundo grado de secundaria Se imparte al inicio del semestre, pero su contenido impregna todo el libro de texto de matemáticas de secundaria. Aprenderlo no solo puede repasar las cuatro operaciones aritméticas de expresiones algebraicas avanzadas, sino que también sienta una buena base para el próximo capítulo de este libro. Aprenderlo bien no solo puede cultivar las habilidades de observación, atención y cálculo de los estudiantes, sino también mejorar sus habilidades de análisis integral y resolución de problemas. Cuatro de ellos deben atraer la gran atención de profesores y alumnos.
Los cuatro puntos de la factorización se encuentran dispersos en las páginas 5 y 15 del libro de texto. Se pueden resumir en cuatro oraciones de la siguiente manera: el primer término es siempre un número negativo, el primer término es "común". y el primer término es "común" es "público" y el último elemento es 1. Aquí hay algunos ejemplos para su referencia.
Ejemplo 1 Factorización-A2-B2 2AB 4.
Solución: -A2-B2 2AB 4 =-(A2-2AB B2-4)=-(A-B 2)(A-B-2)
El "negativo" aquí es " "signo menos" significa. Si el primer término del polinomio es negativo, generalmente es necesario proporcionar un signo negativo para que el coeficiente del primer término entre paréntesis sea positivo. ¿Evitar que los estudiantes cometan errores como -9 x2 4 y2 =(-3x)2-(2Y)2 =(-3x 2Y)(-3x-2Y)=(3x-2Y)?
Por ejemplo, en el Ejemplo 2, los tres lados A, B y C de △ ABC tienen la siguiente relación: -C2 A2 2ab-2bc = 0, lo que demuestra que este triángulo es un triángulo isósceles.
Análisis: esta pregunta trata esencialmente sobre factorizar el polinomio en el lado izquierdo del signo igual.
Demuestre: ∫-C2 a2 2ab-2bc = 0, ∴ (A C) (A-C) 2B (A-C) = 0, ∴ (A-C) (A 2B C) = 0.
∵a, b, c son los tres lados de △abc, ∴ A 2B C > 0, ∴ A-C = 0
Es decir, a = c y △abc es un triángulo isósceles.
Ejemplo 3 Factorización-12 x2 nyn 18xn 2yn 1-6 xnyn-1. Solución: -12 x2 nyn 18xn 2yn 1-6 xnyn-1 =-6 xnyn-1(2 xny3 x2 y2 1).
"Común" aquí significa "factor común". Si cada término del polinomio contiene un factor común, primero extraiga el factor común y luego descomponga aún más el factor. "1" aquí significa que cuando todo el término del polinomio es un factor común, primero proponga el factor común; No te pierdas el 1 entre paréntesis. Evite que aparezcan estudiantes como 6p(x-1)3-8p 2(x-1)2 2p(1-x)2 = 2p(x-1)2[3(x-1)-4p.
Ejemplo 4 Factorizar X4-5x2-6 en el rango de números reales.
Solución: x4-5x 2-6 =(x2 1)(x2-6)=(x2 1)(x 6)(x-6).
La "base" aquí se refiere a la factorización, que debe llevarse a cabo hasta que cada factor polinómico ya no pueda factorizarse. Eso es dividirlo hasta el final en lugar de darse por vencido a mitad de camino. Los factores comunes contenidos en él deben "limpiarse" de inmediato, sin dejar "colas", y los polinomios en cada paréntesis ya no se pueden descomponer. Evite que los estudiantes cometan errores como 4x4y 2-5x2y 2-9 Y2 = Y2(4x 4-5x 2-9)= Y2(x2 1)(4x 2-9).