1. (1) Conecte PD, CP y D1C, como PM⊥CD1, suponiendo PD=m, la longitud de una arista del cubo es a,
CD1=. √2a, PD =√(m^2+a^2),C1P=√(m^2+a^2)=PD, △D1PC es un triángulo isósceles, M es el punto medio de CD1, PM=√(PC ^2-CM ^2)=√(m^2+a^2-a^2/2)= √(m^2+a^2/2),
S△PCD1=CD1 *PM/2 =√2a* √(m^2+a^2/2)/2= [a√(2m^2+a^2)]/2,
S△PDC= CD*PD/ 2=a*m/2,DD1⊥Plano ABCD, D es la proyección de D1 en el plano ABCD, S△PDC es el valor del coseno del ángulo diédrico de S△PCD1, sea el valor del coseno cosα,
cosα= (a*m/2)/[a√(2m^2+a^2)]/2=cos60°=1/2, m=√2a/2,,PD/ AD=√2/2 Cuando , el ángulo diédrico D1-PC-D es de 60 grados.
(2) De lo anterior se sabe que PD=√2a/2,
El volumen de la pirámide triangular P-CDD1 V=S△CDD1*PD/3=( a^2/2 )* √2a/2,/3=√2a^3/12, suponiendo que la distancia desde el punto D al plano PCD1 es d, CP=√6a/2, PM=a, S△PCD1=CD1 *PM/2=√2a ^2/2, volumen de la pirámide triangular D-CPD1 V= S△PCD1*d/3=√2a^2/2*d/3, volumen de la pirámide triangular P-CDD1=volumen de pirámide triangular D-CPD1, d=a/ 2. Construya el plano DH⊥ PCD a partir de D, interseque el plano en H y conecte CH es la proyección de la línea recta DC en el plano PCD1 2. (1) AE⊥A1B, BC⊥Plano ABB1A1, AE∈Plano ABB1A1, AE⊥BC, A1B∩BC=B, AE⊥Plano A1BC, A1C∈Plano A1BC, AE⊥A1C, De la misma manera se puede demostrar que A1C⊥AF, AE∩AF=A, ∴ A1C⊥ plano AEF, la prueba está completa. (2). Basado en el plano AEF A1C⊥ previamente probado, se establece un sistema de coordenadas espaciales con el punto A como origen, A (0, 0, 0), B (3, 0, 0). ), C (3, 4, 0), A1 (0, 0, 5), M (3, 2, 5), el vector A1C es perpendicular al plano AEF, y el ángulo entre el vector AM y el plano AEF es el ángulo entre vector AM y vector A1C (la suma de los dos es 90 grados), solo necesitas encontrar el coseno del ángulo entre el vector AM y el vector A1C para encontrar el ángulo entre AM y el plano AEF. Lo siguiente representa los vectores, AM={3, 2, 5}, A1C={(3-0), (4-0), (0-5}}={3, 4, - 5 }, suponiendo que el ángulo entre AM y A1C es α, AM?A1C=|AM|*|A1C|*cosα,|AM|=√(3^2+2^2+5^2)=√38,< / p> |A1C|=√(3^2+4^2+5^2)= 5√2, los tres componentes de x, y y z son perpendiculares entre sí y el producto escalar en diferentes direcciones es 0, AM?A1C=3*3+2*4+5*(-5)=-8, cosα=-8/[(√38* )*(5√2) ]=-4√19/ 95, Este es un ángulo obtuso, y la otra dirección es un ángulo agudo β, cosβ=4√19/95, suponiendo el ángulo θ entre el vector AM y el plano AEF, sinθ= cosβ= 4√19/95, θ=arcsin(4√19/95). El ángulo entre AM y el plano AEF es arcsin(4√ 19/95). (3) AD=4, DF=16/5, el volumen de la pirámide triangular D-AEF es V=S△ADF*AB/3=32/5.