Un enfoque más seguro es utilizar la recursividad.
Supongamos que el número de situaciones en las que N personas responden incorrectamente a la pregunta es una(n).
Es fácil ver que a(1) = 0, a(2) = 1.
N personas dividen las situaciones equivocadas en dos categorías:
El propietario del arma que sostiene la enésima persona acaba de obtener la enésima arma.
Existen n-1 posibilidades para el propietario del arma.
Las n-2 personas restantes pueden responder a a(n-2) incorrectamente.
El número total de casos de este tipo es (n-1) a (n-2).
El dueño del arma que sostenía la enésima persona no obtuvo la enésima arma.
La enésima persona obtiene la k-ésima pistola, y la n-ésima pistola la obtiene la j-ésima persona, j ≠ K.
K tiene n-1 posibilidades. El siguiente es un análisis del número de situaciones en las que se determina K.
Considere una operación: entregue la k-ésima pistola a la j-ésima persona y retire a la enésima persona y la enésima pistola al mismo tiempo.
Esta operación establece una correspondencia uno a uno entre la situación después de que se determina K y la situación en la que n-1 personas están equivocadas.
Hay una operación inversa: suma la enésima persona y la enésima pistola, intercambia la enésima pistola por la k-ésima y entrega la k-ésima pistola a la enésima persona.
Entonces el número total de tales casos es (n-1) a (n-1).
Por lo tanto a(n)=(n-1)a(n-1) (n-1)a(n-2).
Esta pregunta requiere que al menos una persona responda correctamente: p(n) = 1-a(n)/n! .
Es decir, a(n) = n! -¡No! p(norte).
Colóquelo en la fórmula recursiva para obtener n! -¡No! p(n) = (n-1) (n-1)! -(n-1) (n-1)! p(n-1) (n-1)! -(n-1)! p(n-2).
Organizar n p(n)=(n-1)p(n-1) p(n-2), es decir, p (n-1) =-(p (n-65438)
p(1)= 1-A(1)/1! = 1, p(2) = 1-a(2)/2 = 1/2, donde p(2)-p( 1) = -1/2
obtener p(n)-p(n-1)=(-1)(n 1)/n
Entonces p(n! ) = 1/1! -1/2! 1/3!-... (-1)^(n 1)/n!