Ejercicio 1-1 (solución de referencia)
1 (1) Relación de hermanas
(2)()() , ¿PD?
(3)(), {1}, 1abZab∈? Por ejemplo, (2, 6 ) 2, (3, 6 ) 3, == pero () 2, 365, 438 0 =.
2. Si B no existe, el razonamiento anterior es incorrecto. Por ejemplo, {} {~ ~} sabcrbccbbbcc =,,:,,. (1)Reflexividad:,(),,nAMEGLRAEAE? ∈?∈=~AA∴ Simetría:
1111,,~,,(),,,().~.nnABMABPQGLRAPBQBPAQPQGLRBA? ∈?∑=∈∴ Transitividad:
12211221212,,,~,~,,,,,,(),,,nABCMABBCPQPQGLRAPBQBPCQAPPCQQ? ∈?∈===1212, (), ~.nPPQQGLRAC∈∴
(2) Reflexividad: 1, (), ~. nombregraaaa∈? ∈ =∴ Simetría:
()11,,~,(),,,(),~.T
TnnABMifABTGLRATBTBTBTTGLRBA? ∈?∈=∴=∈∴
Transitividad: 121122,,~,~,,,(),,ttnabcmifabbcttglratbtct? ∈?∈==
()12211221, T
∴ = = 12(),~. nttglrac ∈ ∴ (3) Reflexividad: ()1,,~. nagleglreaaa∈? ∈ =∴ Simetría:
1, (), ~, (),, nnABGLRifABTGLRATBT∈? ∈= ()
1
1
111, (), ~nBTATT
ATTGLRBA? ∴==∈∴.
Transitividad:
11121122,, (), ~, ~,, (),, nnABCGLRABBCTTGLRATBTBTCT? ∈?∈== ()()1
1112212121,ATTCTTTTCTT? ∴==21(),~.nTTGLRAC∈∴ 4. Prueba: (1) Reflexividad:, () (), ~aAaaaaφφ? ∈=∴Q
(2) Simetría: ,~, () (), (),. abaifababababaφφφφ∈= =
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(3) Transitividad:,,~,~,(),(),(),~. abcaabbcabbcacac φ φ φ φ φ? ∈==∴=∴
{}[]|()().axAxaφφ=∈=
5.(1)()SPA? ∑, entonces S=S
~SS∴, ~ ∴ es reflexivo.
(2) Supongamos 12, ()SSPA∈, si 12~SS, entonces 12SS=, 21SS∴=
21~SS, ~ ∴ tiene simetría.
(3)Supongamos 123, ()SSSPA ∈ Si 12~SS, 23~SS, entonces 12SS=, 23SS=
13SS=, 13~SS, ~ ∴ pueden ser migrado ~ ∴ es la relación equivalente en ()PA.
[] {} {} {}
()
, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4~
PAφ=
[]{}φφ=
{}{}{}{}{}{}11, 2, 3, 4=
{}{}{}{}{}{}{}{}1, 21, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4= {}{}{}{ }{}{}1,2,31,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4= {}{}{}1,2,3,41,2,3 , 4=
6. Prueba: (1) Reflexividad:, 0, ~. aQaaZaa? ∈?=∈∴
(2) Simetría: Supongamos, abQ∈ si ~ab, es decir, abZ? ∈ Entonces (), baabZ? =∈ ~ba∴ (3) Transitividad: Supongamos,, abcQ∈ Si ~, ~abbc, es decir, abZbcZ? ∈?Por lo tanto...
()(), acabbcZ? =? ?∈~ac∴
∴ ~ es la relación de equivalencia en q, y todas las clases de equivalencia son: []{}|[0, 1). ~
Q
AaQa=∈∈y
7. Prueba: (1) Reflexividad: ~aCaaaa? ∈=∴Q,,
(2) Simetría: abC? ∈, si ~ab, entonces de ab=, obtenemos ~baba=∴,.
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(3) Transitividad: abcC? ∈,, si ~~abbc,, entonces abbcac==∴= ∴ =,, entonces es ~. ac, entonces ~ son relaciones equivalentes. El conjunto de negocios es [] {}
{0}~
C
aaR =∈U
8. () {}, /, 0 sababzb =∈≦, especifica la relación "~" en el conjunto S: (), ~, abcdabc? =
Demuestra que ~ es una relación de equivalencia.
Prueba: Reflexividad: (), ¿abdominales? ∈, entonces abba=, entonces()(),~,. simetría abab: si () (),, abscs∈∈, y ()(), ABCD, entonces adbc=
Entonces cbda=, es decir () (), ~, transitividad cdab: si ( )(),~,abcd y()(),~,cdef.
Por()(), ~, abcd tiene adbc=, por lo que ad
Bonos convertibles
= by()(), ~, cdef Hay cfde=, entonces ad
fdeb
= entonces adfbde=,
so afbe=, es decir, () (), ~, abef. Entonces ~ es una relación equivalente.
9. Supongamos {},,,Aabcd=intenta escribir todas las diferentes relaciones de equivalencia del conjunto a.
Solución: { } { } { } { } { } { } { } { } 1,,,2,,,3,,,4,,,PABCDPBCBDBC = = =
{}{}{}{}{}{}{}{} {}{}{}5,,,6,,,7,,,8,,,pabcdpaccda = = = = { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } 9,,,10,,,11,,,pabcdpacd = = = { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } 12.,,,65438
10. El número de categorías diferentes del conjunto {}1, 2, 3, 4A= se puede calcular directamente sin la fórmula (1.1).
Solución: 12122121135554254331()(/)(/)65438.