Debido a que amaba las matemáticas desde niño, Riemann tomó algunas clases de matemáticas mientras estudiaba filosofía y teología. En aquella época, la Universidad de Göttingen era uno de los centros matemáticos del mundo, y algunos matemáticos famosos como Gauss, Weber y Steyer habían enseñado allí. Riemann se contagió del ambiente de enseñanza e investigación de las matemáticas aquí y decidió abandonar la teología y especializarse en matemáticas.
Del 65438 al 0847, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín para estudiar y se convirtió en alumno de Jacobi, Dirichlet, Steiner y Eisenstein. En 1849, regresó a la Universidad Golding para estudiar un doctorado y se convirtió en alumno de Gauss en sus últimos años.
En 1851, Riemann recibió un doctorado en matemáticas; en 1854, fue contratado como profesor distinguido en la Universidad de Göttingen; en 1857 fue ascendido a profesor asociado; en 1859, Dirichlet fue contratado como profesor asociado; un profesor para reemplazar su muerte.
Debido a años de pobreza y fatiga, Riemann comenzó a sufrir pleuresía y tuberculosis menos de un mes después de su matrimonio en 1862, y pasó la mayor parte de los siguientes cuatro años en Italia recibiendo tratamiento y recuperación. Murió en Italia el 20 de julio de 1866 a la edad de 39 años.
Riemann es uno de los matemáticos más originales de la historia de las matemáticas mundiales. Las obras de Riemann no son muchas, pero son sumamente profundas y llenas de creación conceptual e imaginación. Durante su corta vida, Riemann realizó un gran trabajo fundamental y creativo en muchos campos de las matemáticas e hizo grandes contribuciones a las matemáticas mundiales.
Riemann es el fundador de la teoría de funciones variables complejas.
La creación más singular de las matemáticas en el siglo XIX fue la creación de la teoría de funciones de variables complejas, que fue una continuación de la investigación sobre números complejos y la teoría de funciones de variables complejas en el siglo XVIII. Antes de 1850, Cauchy, Jacobi, Gauss, Abel, Weierstrass, etc. habían estudiado sistemáticamente la teoría de funciones analíticas univaluadas, pero para las funciones multivaluadas, sólo Cauchy y Pisser llegaron a alguna conclusión aislada.
En 1851, bajo la dirección de Gauss, Riemann completó su tesis doctoral titulada "La base teórica general de las funciones complejas simples" y posteriormente publicó cuatro importantes artículos en el "Journal of Mathematics". Las tesis doctorales se elaboran más a fondo. Por un lado, resumió los logros anteriores sobre funciones analíticas de un solo valor, los procesó con nuevas herramientas y estableció la base teórica de las funciones analíticas de múltiples valores.
Cauchy, Riemann y Weierstrass son reconocidos como los principales fundadores de la teoría de funciones de variables complejas, y posteriormente demostraron que el método riemanniano es indispensable para abordar la teoría de funciones de variables complejas. Las ideas de Cauchy y Riemann se fusionaron y las ideas de Weierstrass pudieron derivarse de las ideas de Cauchy-Riemann.
En el tratamiento que hace Riemann de las funciones multivaluadas, lo más importante es que introdujo el concepto de "superficie de Riemann". Las funciones de valores múltiples son geométricamente intuitivas a través de superficies de Riemann, y las funciones de valores múltiples expresadas en superficies de Riemann son de un solo valor. Introdujo puntos de apoyo y secciones en la superficie de Riemann, definió la conectividad, estudió las propiedades de las funciones y obtuvo una serie de resultados.
Las funciones complejas tratadas por Riemann, las funciones univaluadas son un ejemplo de funciones multivaluadas. Extendió algunas conclusiones conocidas de funciones de un solo valor a funciones de múltiples valores, especialmente el método que propuso para clasificar funciones por conectividad, lo que contribuyó en gran medida al desarrollo inicial de la topología. Estudió funciones abelianas, integrales abelianas y la inversión de integrales abelianas, y derivó el famoso teorema de Riemann-Roche. La primera transformación biracional formó el contenido principal de la geometría algebraica desarrollada a finales del siglo XIX.
Para mejorar su tesis doctoral, Riemann dio varias aplicaciones de su teoría de funciones en el mapeo conforme al final del artículo, combinando la conclusión de Gauss de 1825 sobre el mapeo conforme de plano a plano. cualquier superficie de Riemann, y el famoso teorema de mapeo de Riemann se proporciona al final del artículo.
El fundador de la geometría riemanniana
La contribución más importante de Riemann a las matemáticas radica en la geometría. La investigación sobre la geometría abstracta de alta dimensión y los métodos y medios para abordar los problemas geométricos de la que fue pionero supusieron una profunda revolución en la historia de la geometría. Estableció un nuevo sistema geométrico que lleva su nombre y que tuvo un gran impacto en el desarrollo de la geometría moderna e incluso en ramas de las matemáticas y las ciencias.
En 1854, para obtener el título de profesor adicional en la Universidad de Göttingen, Riemann dio una conferencia a todo el profesorado y al personal. Esta conferencia se publicó dos años después de su muerte (1868) y se tituló "Supuestos como base de la geometría". En su conferencia, ofreció una breve descripción de todas las geometrías conocidas, incluida la geometría hiperbólica, una de las recién nacidas geometrías no euclidianas, y propuso un nuevo sistema geométrico que más tarde se conoció como geometría de Riemann.
Para competir por un premio de la Academia de Ciencias de París, Riemann escribió en 1861 un artículo sobre la conducción del calor, que más tarde se conoció como su "Obra de París". Este artículo proporciona un tratamiento técnico de su artículo de 1854 para aclarar aún más sus ideas geométricas. Este artículo se incluyó en sus obras completas después de su muerte en 1876.
Riemann estudió principalmente las propiedades locales del espacio geométrico. Utilizó la geometría diferencial, que era diferente de la geometría euclidiana o no euclidiana de Gauss, Borgyo y Lobachevsky, viendo el espacio como un. el todo es relativo. Riemann se deshizo de las limitaciones de Gauss y otros predecesores que limitaban los objetos geométricos a curvas y superficies en el espacio euclidiano tridimensional, y estableció un espacio geométrico abstracto más general desde una perspectiva dimensional.
Riemann introdujo los conceptos de variedad y variedad diferencial, y llamó variedad al espacio dimensional. Un punto en una variedad dimensional puede representarse mediante un valor específico de un conjunto de parámetros variables, todos los cuales constituyen la variedad misma. Este parámetro variable se llama coordenada de la variedad y es diferenciable. Cuando las coordenadas cambian continuamente, los puntos correspondientes atraviesan la variedad.
Riemann utilizó la geometría diferencial tradicional como modelo para definir la distancia entre dos puntos de la variedad, las curvas de la variedad y el ángulo entre las curvas. Con base en estos conceptos, se estudian las propiedades geométricas de las variedades dimensionales. En variedades dimensionales, también definió una curvatura similar a la gaussiana al estudiar superficies generales. Demostró que cuando la dimensión de su variedad dimensional es igual a 3, la situación en el espacio euclidiano es consistente con los resultados obtenidos por Gauss y otros, por lo que la geometría de Riemann es una extensión de la geometría diferencial tradicional.
Riemann desarrolló la idea geométrica de Gauss de que la superficie misma es espacio y estudió las propiedades intrínsecas de las variedades dimensionales. La investigación de Riemann condujo al nacimiento de otra geometría no euclidiana: la geometría elíptica.
En opinión de Riemann, existen tres geometrías diferentes. La diferencia entre los dos es el número de líneas paralelas trazadas alrededor de una línea recta fija desde un punto determinado. Si sólo puedes hacer una línea paralela, se llama geometría euclidiana; si no puedes hacer ninguna de ellas, es geometría elíptica; si tienes un conjunto de líneas paralelas, obtienes la tercera geometría, la geometría de Lobachevsky. Por lo tanto, Riemann desarrolló la teoría del espacio después de Lobachevsky, poniendo fin a más de 1.000 años de discusión sobre el axioma de las paralelas de Euclides. Afirmó que el espacio objetivo es un tipo especial de variedad y previó la existencia de variedades con ciertas propiedades. Estas fueron confirmadas gradualmente por las generaciones posteriores.
Dado que Riemann considera espacios geométricos de dimensiones arbitrarias, tiene un valor práctico más profundo para espacios objetivos complejos. Por lo tanto, en geometría de alta dimensión, debido a la complejidad de los diferenciales multivariables, Riemann adoptó algunos métodos diferentes a los de sus predecesores para hacer las expresiones más concisas, lo que finalmente condujo al nacimiento de herramientas geométricas modernas como los tensores, diferenciales externos. y conexiones. Einstein utilizó con éxito la geometría de Riemann como herramienta para explicar la relatividad general. La geometría de Riemann se ha convertido ahora en una base matemática esencial para la física teórica moderna.
Contribuciones creativas a la teoría del cálculo
Además de su trabajo pionero en geometría y funciones complejas, Riemann también fue conocido por su contribución a la teoría del cálculo que surgió a principios del siglo XIX. Su destacada contribución a la mejora de la tecnología pasará a la historia.
Desde finales de 2018 hasta principios de 2019, la comunidad matemática comenzó a preocuparse por la imprecisión en conceptos y demostraciones del cálculo, la rama más grande de las matemáticas. Bolzano, Cauchy, Abel, Dirichlet y más tarde Wells se dedicaron a un análisis riguroso. Riemann estudió matemáticas con Dirichlet en la Universidad de Berlín. Tenía un profundo conocimiento del trabajo de Cauchy y Abel y, por lo tanto, tenía sus puntos de vista únicos sobre la teoría del cálculo.
En 1854, Riemann necesitaba presentar un trabajo que reflejara su nivel académico para obtener el título de profesor adicional en la Universidad de Göttingen. Su presentación fue un artículo sobre la posibilidad de representar funciones utilizando series trigonométricas. Esta es una obra maestra con rico contenido y pensamientos profundos, y tiene una profunda influencia en la mejora de la teoría del análisis.
Cauchy demostró una vez que las funciones continuas deben ser integrables, y Riemann señaló que las funciones integrables no son necesariamente continuas. Cauchy y casi todos los matemáticos de su generación creían en la relación entre continuidad y diferenciabilidad, y durante los siguientes 50 años muchos libros de texto "probaron" que las funciones continuas deben ser diferenciables.
Riemann dio un famoso contraejemplo de continuidad y diferenciabilidad y finalmente aclaró la relación entre continuidad y diferenciabilidad.
Riemann estableció el concepto de integral de Riemann descrito en los libros de texto de cálculo, y dio las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de esta integral.
Riemann utilizó su propio método único para estudiar las series de Fourier y generalizó la condición de Dirichlet, es decir, la condición de Riemann sobre la convergencia de series trigonométricas, y obtuvo una serie de resultados sobre la convergencia de series trigonométricas. y teorema de integrabilidad. También demostró que los términos de cualquier serie condicionalmente convergente se pueden reordenar apropiadamente de modo que la nueva serie converja a cualquier suma o divergencia especificada.
Logros de la teoría analítica de números a lo largo de los siglos
Un avance importante en la teoría de números en el siglo XIX fue la introducción de los métodos y resultados analíticos de los que fue pionero Dirichlet, mientras que Riemann fue pionero en el uso. de números complejos. Fue pionero en el estudio de funciones analíticas en teoría de números y logró resultados que se extendieron a lo largo del siglo.
En 1859, Riemann publicó el artículo "El número de números primos de un tamaño determinado". Este es un artículo extremadamente profundo, de menos de diez páginas. Redujo la distribución de números primos al problema de una función, ahora llamada función de Riemann. Riemann demostró algunas propiedades importantes de las funciones y simplemente afirmó otras sin pruebas.
Durante más de cien años después de la muerte de Riemann, muchos de los mejores matemáticos del mundo trabajaron duro para probar sus afirmaciones y crearon nuevas y ricas ramas en el proceso de estos esfuerzos. Ahora, salvo una de sus afirmaciones, el resto está solucionado como esperaba Riemann.
Ese problema no resuelto ahora se conoce como la "Hipótesis de Riemann", es decir, todos los puntos cero del área de la franja están en línea recta (el octavo de los 23 problemas de Hilbert), que aún no ha sido resuelto Estar probado. Para algunos otros campos, los miembros de la escuela Bourbaki han demostrado la correspondiente hipótesis de Riemann. Las soluciones a muchos problemas de teoría de números dependen de la solución de esta conjetura. El trabajo de Riemann no sólo contribuyó a la teoría analítica de números, sino que también enriqueció enormemente el contenido de la teoría de funciones variables complejas.
Pionero de la topología combinatoria
Antes de que se publicara el artículo del Dr. Riemann, la topología combinatoria ya había producido algunos resultados dispersos, el más famoso de los cuales trataba sobre los vértices y aristas de poliedros convexos cerrados. Teorema de Euler sobre la relación entre superficies. También hay algunos problemas aparentemente simples que no se han resuelto durante mucho tiempo, como el problema de los siete puentes de Königsberg, el problema de los cuatro colores, etc., que llevaron a la gente a estudiar la topología combinatoria (llamada geometría de posición o análisis de posición en el tiempo). Sin embargo, el mayor impulso para la investigación en topología proviene de la teoría de variables complejas de Riemann.
En su tesis doctoral de 1851 y en su investigación sobre las funciones abelianas, Riemann enfatizó algunos teoremas de que el estudio de funciones debe requerir un análisis de posición. En términos topológicos modernos, Riemann había clasificado las superficies cerradas en términos de género. Vale la pena mencionar que dijo en su disertación que la idea de que todas las funciones están compuestas de regiones cerradas conectadas (en puntos del espacio) es la idea funcional más antigua.
Betty, profesora de matemáticas en la Universidad de Pisa, conoció una vez a Riemann en Italia. Riemann estaba enfermo en ese momento y no podía seguir desarrollando sus ideas, por lo que le enseñó el método. Betty amplió la clasificación topológica de las superficies de Riemann a la conectividad de gráficos de alta dimensión e hizo contribuciones destacadas en otros campos de la topología. Riemann es el pionero indiscutible de la topología combinatoria.
Contribuciones de código abierto a la geometría algebraica
En la segunda mitad del siglo XIX, la gente se interesó mucho en el método de Riemann para estudiar las transformaciones birracionales creadas por las integrales y funciones abelianas. En aquella época llamaron geometría algebraica al estudio de las invariantes algebraicas y de las transformaciones birracionales.
En su artículo de 1857, Riemann creía que todas las ecuaciones (o superficies) que pueden transformarse entre sí son del mismo tipo y tienen el mismo género. Riemann llamó "simulaciones" al número de constantes, y las constantes son invariantes bajo transformaciones biracionales. El concepto de "cuasi módulo" es un caso especial del actual "módulo paramétrico". El estudio de la estructura de los módulos paramétricos es uno de los campos más populares en los tiempos modernos.
El famoso geómetra algebraico Claybush se convirtió más tarde en profesor de matemáticas en la Universidad de Göttingen. Se familiarizó más con la obra de Riemann y desarrolló nuevos desarrollos en ella. Aunque Riemann murió joven, es universalmente reconocido que el primer gran paso en el estudio de las transformaciones biracionales de curvas fue causado por el trabajo de Riemann.
Riemann también logró resultados fructíferos en otros campos como la física matemática y las ecuaciones diferenciales.
Riemann no sólo hizo contribuciones trascendentales a las matemáticas puras, sino que también se preocupó por la física y la relación entre las matemáticas y el mundo físico. Escribió artículos sobre calor, luz, magnetismo, teoría de los gases, mecánica de fluidos y acústica.
Fue el primero en abordar matemáticamente las ondas de choque. Intentó unificar la gravedad y la luz y estudió la estructura matemática del oído humano. Resumió ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales parciales abstraídas de problemas físicos y logró una serie de resultados fructíferos.
En 1857, se incluyeron en su colección completa el artículo de Riemann "Suplemento a la teoría de funciones representadas por series gaussianas" y un fragmento inédito escrito en el mismo año. Trataba de ecuaciones diferenciales hipergeométricas, de orden diferencial lineal. Se analizan ecuaciones con coeficientes algebraicos. Este es un documento importante sobre la teoría de singularidades en ecuaciones diferenciales.
En la segunda mitad del siglo XIX, muchos matemáticos dedicaron mucha energía al problema de Riemann, pero todos fracasaron. No fue hasta 1905 que Hilbert y Kellogg proporcionaron por primera vez una solución completa con la ayuda de la teoría de ecuaciones integrales que habían desarrollado.
Riemann también logró logros considerables en el estudio de funciones automórficas en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. En sus conferencias sobre series hipergeométricas de 1858 a 1859 y su trabajo póstumo sobre superficies regulares mínimas publicado en 1867, estableció la teoría de funciones automórficas para estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, que ahora se conoce comúnmente como teoría de Leigh. Teorema de Schwarz.
En la teoría y aplicación de ecuaciones diferenciales parciales, Riemann propuso creativamente un nuevo método para resolver el problema del valor inicial de la ecuación de onda en sus artículos de 1858 a 1859, que simplificó la dificultad de muchos problemas físicos. También generalizó el teorema de Green; realizó un trabajo destacado sobre el principio de Dirichlet sobre la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales...
Notas de la conferencia de Riemann sobre ecuaciones diferenciales parciales utilizadas en física, posteriormente fue editada y publicada por Weber. como "Ecuaciones diferenciales en física matemática", que es una obra histórica famosa.
Sin embargo, el trabajo creativo de Riemann no fue reconocido unánimemente por la comunidad matemática de aquel momento. Por un lado, fue porque sus pensamientos eran demasiado profundos y difíciles de entender para la gente de ese momento. Sin el concepto de libre movimiento, la curvatura misma del espacio riemanniano era difícil de aceptar, hasta que el advenimiento de la relatividad general puso fin a las acusaciones. Por otro lado, algunos de sus trabajos no fueron lo suficientemente rigurosos, como el mal uso del principio de Dirichlet al demostrar el teorema de mapeo de Riemann y el teorema de Riemann-Roche, lo que causó una gran controversia.
La obra de Riemann influyó directamente en el desarrollo de las matemáticas en la segunda mitad del siglo XIX. Muchos matemáticos destacados han vuelto a demostrar los teoremas afirmados por Riemann, y muchas ramas de las matemáticas han logrado logros brillantes bajo la influencia de las ideas de Riemann.