一1 f'lt; xgt; (0, 0) = limlt; f'lt;ygt;(0,0) = limlt;y→0gt;(y^2sin(1/|y |)/y = 0;
Entonces f(x,y) = ( x^2 y^2)sin[1/√(x^2 y^2)] (x, y)≠ (0, 0)
f(x, y) = 0 (x, y)=(0, 0)
Es diferenciable en (0, 0).
2. El vector director de la recta tangente de la curva es (1, -2t, 3t^ 2),
Paralelo al plano x 2y z=4, entonces 1 *1-2t*2 3t^2*1 = 0,
Es decir, 3t^2-4t 1 = 0, la solución es t=1, t=1/3
Por tanto, existen dos rectas tangentes.
Elija B.
3. Elija A
Dos 1. z = x^2f(2x, y^2/x)
z'lt; ; = 2xf(2x, y^2/x) x^2[2f'lt;1gt;-(y^2/x^2)f'lt;2gt;]
= 2xf(2x , y^2/x) 2x^2f'lt; -y^2f'lt;
z''lt; ^2f''lt;12gt;2y/x-2yf'lt;2gt;-y^2f''lt;22gt;2y/x
= 2yf'lt;2gt; 12gt;-(2y^3/x) f''lt;22gt;
2. u=xyz, grad u = yzi xzj xyk, en el punto P(1,1,2), p>
grad ult; Pgt; = 2i 2j k, su módulo es 3, es decir, el valor máximo de la derivada direccional es 3.
三1 e^(ty)= y-x, ty=ln(y-x), t=ln(y-x)/y
y^2 [ln(y-x)/y]^2-x^2=1, toma la derivada de x en en ambos lados, obtenemos
2yy' 2[ln(y-x)/y]{[(y(y'-1)/(y-x)-y'ln(y-x)]/y^2} -2x = 0
Resuelve para obtener y' = y[xy^2(y-x) ln(y-x)]/{y^4(y-x) yln(y-x)-(y-x)[ln(y-x) )]^2}
2. z=x^2 y^2, z'lt; > En el límite del círculo, construye la función lagrangiana
F = x^ 2 y^2 K[(x-√2)^2 (y-√2)^2-9]
F'lt;xgt;=0: 2x 2k(x-√2) = 0
F'lt;kgt;=0: (x-√2)^2 (y-√2)^2 = 9
El la solución simultánea es (3/√2 , 3/√2), (-1/√2, -1/√2),
z (0, 0) = 0, z(3/√ 2, 3/√2) = 9, z(-1/√2, -1/√2) = 1
Entonces el valor máximo buscado es 9 y el valor mínimo es 0.