Fórmulas comunes y conclusiones comunes en matemáticas de secundaria
1 La relación entre elementos y conjuntos
, .
2. fórmula
.
3. Relación de inclusión
4. Principio de inclusión-exclusión
.
5. Hay *** el número de subconjuntos de un conjunto; hay -1 subconjunto adecuado; hay -1 subconjunto adecuado no vacío.
6. Tres formas de expresiones analíticas
(1) Expresión general;
(2) Expresión de vértice;
(3) Expresión de punto cero.
7. La resolución de desigualdades conectadas a menudo tiene la siguiente forma de transformación.
.
8. La ecuación anterior tiene y tiene solo una raíz real, y no son equivalentes. una parte de este último. Una condición necesaria pero no suficiente. En particular, la ecuación tiene y tiene una sola raíz real, que es equivalente a, o y, o y.
9. la función cuadrática en el intervalo cerrado
p>
El valor máximo de una función cuadrática en un intervalo cerrado solo se puede obtener en y en ambos puntos finales del intervalo, de la siguiente manera:
(1) Cuando agt; 0, si, entonces;
, , .
(2) Cuando alt; /p>
10. Realidad de la ecuación cuadrática de una variable Distribución de raíces
Basado en: Si , entonces la ecuación tiene al menos una raíz real en el intervalo.
Supongamos, entonces
(1) La ecuación tiene raíces en el intervalo La condición necesaria y suficiente para es o;
(2) La condición necesaria y suficiente para que la ecuación tenga raíces en el intervalo es o o o;
(3) La condición suficiente y necesaria para que la ecuación tenga raíces en el intervalo La condición necesaria es o.
11. el establecimiento constante de desigualdades cuadráticas con parámetros en un intervalo dado se basa en
(1) En el subintervalo del intervalo dado (formado como, , Las condiciones necesarias y suficientes para la desigualdad cuadrática con parámetros ( siendo el parámetro) en diferentes) debe ser siempre cierto.
(2) La desigualdad cuadrática con parámetros ( siendo el parámetro) debe ser constante en el subintervalo de un intervalo dado Las condiciones necesarias y suficientes para el establecimiento constante son.
(3) Las condiciones necesarias y suficientes para el establecimiento constante son o.
12 Tabla de verdad
p q no es p p o q p Y q<. /p>
Verdadero, verdadero, falso, verdadero y verdadero
Verdadero, falso, falso, verdadero y falso
Falso, verdadero, verdadero y falso
Falso, falso, verdadero y falso
13. Formas negativas de conclusiones comunes
Palabras inversas de conclusión original y palabras inversas de conclusión original
¿Hay al menos uno y ninguno
No, todos, como máximo uno, al menos dos
Mayor que, no mayor que, al menos uno
Como máximo, ( )
Menos de, no menos de Como máximo uno
Hay al menos ( )
Para todos,
es cierto que existe algo,
no es cierto
o
y
Para cualquiera,
no es establecido que existe algo,
es cierto
y
o
14 Interrelaciones entre las cuatro proposiciones
<. p>Proposiciones originales y proposiciones inversas recíprocasSi p, entonces q, si q, entonces p
Mutuas
Mutuas entre sí
No No
Inversa <
/p>
No No
Proposición negativa e inversa de proposición negativa
Si no p, entonces no q Recíproca Si no q, entonces no p
15. Condiciones suficientes y necesarias
(1) Condición suficiente: Si, entonces es condición suficiente.
(2) Condición necesaria: Si, entonces es condición necesaria .
(3 ) Condiciones necesarias y suficientes: Si, y, es una condición necesaria y suficiente.
Nota: Si A es una condición suficiente para B, entonces B es una condición necesaria para A; y viceversa.
16. Monotonicidad de funciones
(1) Sea
una función creciente; > ser una función decreciente.
(2) Suponga que la función es diferenciable dentro de un cierto intervalo. Si , es una función creciente; si , es una función decreciente.
17. Si las funciones y son funciones decrecientes, entonces en el dominio común ***, la función suma también es una función decreciente; si la función suma es una función decreciente en su dominio correspondiente, la función compuesta es creciente; función.
18. Características gráficas de funciones pares e impares
La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen, y la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y a la inversa, si la gráfica de una función es; simétrica con respecto al origen, entonces la función es impar Función si la gráfica de una función es simétrica con respecto al eje y, entonces la función es una función par;
19. Si la función es par, entonces; si la función es par, entonces.
20. Para la función (), si siempre es verdadera, entonces. el eje de simetría de la función es la función; La gráfica de dos funciones y es simétrica con respecto a una línea recta.
21. la función es una función periódica con punto.
22 ． La paridad de funciones polinomiales
Los coeficientes de una función polinómica son todos ceros para los términos de orden par (es decir, términos impares) de una función impar.
Una función polinómica es impar término de orden impar (es decir, términos de orden impar) de una función par Los coeficientes de términos pares) son todos cero.
23. >(1) La gráfica de una función es simétrica con respecto a una recta
(2) La gráfica de una función es simétrica con respecto a una recta
24. Simetría de las gráficas de dos funciones
( 1) Las funciones y las gráficas de funciones son simétricas con respecto a la línea recta (es decir, el eje).
(2) Las funciones y las gráficas de las funciones son simétricas con respecto a la línea recta.
(3) La gráfica de la suma de funciones La imagen es simétrica con respecto a la línea recta y=x.
25. Si la gráfica de la función se mueve hacia la derecha y hacia arriba en unidades, se obtiene la gráfica de la función; si la gráfica de la curva se mueve hacia la derecha y hacia arriba en unidades, se obtiene; la imagen de la curva.
26. La relación entre dos funciones que son funciones inversas entre sí
.
27. la función inversa de.
28. Varias ecuaciones de funciones comunes
(1) Función proporcional, .
(2) Función exponencial, .
( 3) Función logarítmica, .
(4) Función potencia, .
(5) Función coseno, función seno, ,
. /p>
29. Los períodos de varias ecuaciones funcionales (agt; 0)
(1), luego el período T=a;
(2),
O,
O,
O, entonces el período T=2a;
(3), luego el período T=3a;
p>(4) Y, luego el período T=4a;
(5)
, luego el período T=5a;
(6)
, entonces el período T=6a.
30. Potencia exponencial fraccionaria
(1) (, y).
(2) (, y).
31． Propiedades de las fórmulas radicales
(1) .
(2) Cuando es un número impar, ;
Cuando es un número par, .
32. Propiedades operativas de potencias exponentes racionales
(1) .
(2) .
(3) .
Nota: Si >0, p es un número irracional, entonces ap representa un número real definido. Las propiedades operativas mencionadas anteriormente de las potencias exponenciales racionales son aplicables a las potencias exponenciales irracionales.
33. La fórmula de transformación mutua de la expresión exponencial y la expresión logarítmica
.
34. La fórmula de cambio de base de los logaritmos
( , y, , y, ).
Inferencia ( , y, , y, ).
35. Cuatro reglas aritméticas de logaritmos
Si a>0, a≠1, M>0, N>0, entonces
(1);
( 2 ) ;
(3) .
36. Supongamos que la función se define como, entonces, y; si el dominio de la función es, entonces, y. ser probado por separado.
37. Desigualdad de base logarítmica y su generalización
Si, , , entonces la función
(1) En ese momento, en El la suma es una función creciente.
, (2) En ese momento, la suma es una función decreciente.
Corolario: Supongamos, , y, entonces
( 1) .
(2) .
38. El problema de la tasa de crecimiento promedio
Si el número base del valor de producción original es N y la tasa de crecimiento promedio es, entonces Para el valor de producción total del tiempo, existe.
La relación entre la fórmula del mismo término de la secuencia y la suma de los primeros n términos
(La suma de los primeros n términos de la secuencia es).
p>40. La fórmula general de la secuencia aritmética
;
La fórmula de la suma de los primeros n términos es
.
41. La fórmula general de la secuencia geométrica
;
La la fórmula de suma de los primeros n términos es
o.
42. Secuencia de diferencias groporcionales: la fórmula general de es
;
La fórmula de suma de sus primeros n términos es
.
43 Pago a plazos (préstamo hipotecario)
Cada pago es RMB (préstamo RMB, reembolsado en uno). cuota, y la tasa de interés por período es).
44. Desigualdades de triángulos comunes
(1) Si, entonces.
(2) Si, entonces.
(3).
45 .Expresiones relacionales básicas de funciones trigonométricas del mismo ángulo
, = , .
46. Fórmulas inductivas de seno y coseno
47. ángulos
;
.
(fórmula del seno cuadrado
.
= (El cuadrante del ángulo auxiliar está determinado por el cuadrante del punto, ).
Fórmula del ángulo doble
.
.
.
49. Fórmula del ángulo triple
.
.
50. funciones
El período de la función, x∈R y la función, x∈R (A, ω, son constantes, y A≠0, ω>0); y A≠0, ω>0) periodo.
Teorema del seno
.
<p>52. Teorema del coseno
;
;
.
53. ) (que representa las alturas de los lados a, b y c respectivamente).
(2) .
(3) .
54. Teorema de los ángulos de un triángulo
En △ABC, hay
.
55 Soluciones generales de ecuaciones trigonométricas simples
.
.
.
En concreto, existen
.
.
.
56. La desigualdad triangular más simple y su conjunto solución
.
.
.
.
.
.
57. La ley operativa del producto de números reales y vectores
Supongamos que λ y μ son números reales. , entonces
(1) Ley asociativa: λ(μa)=(λμ)a;
(2) Primera ley distributiva: (λ μ)a=λa μa;
(3) La segunda ley distributiva: λ(a b)=λa λb.
58. La ley operativa del producto cuantitativo de vectores:
(1) a?b= b?a (ley conmutativa);
(2)( a)?b= (a?b) = a?b= a?( b);
(3)(a b)?c= a ?c b?c.
59. Teorema básico de los vectores planos
Si e1 y e 2 son dos vectores no lineales en la mismo plano, entonces para este plano Cualquier vector dentro tiene uno y solo un par de números reales λ1 y λ2, tales que a=λ1e1 λ2e2.
Los vectores e1 y e2 de las distintas rectas se denominan conjunto de bases que representan todos los vectores de este plano.
60． Representación de coordenadas paralelas vectoriales
Supongamos que a=, b= y b 0, luego a b(b 0).
53.
a?b=|a||b|cosθ.
61. El significado geométrico de a?b
La cantidad producto a?b es igual al producto de la longitud de a |a| de a |b|cosθ.
62. Operaciones de coordenadas de vectores planos
(1) Supongamos a= , b= , entonces a b= .
(2) Supongamos a= , b = , entonces a-b= .
(3) Supongamos A y B , entonces .
(4) Supongamos a= , entonces a= .
(5 ) Supongamos que a= , b= , entonces a?b= .
63. La fórmula del ángulo entre dos vectores
(a= , b= ).
64. Fórmula de la distancia entre dos puntos del plano
=
(A, B).
65. p>
Supongamos que a= , b= y b 0, entonces
A||b b=λa .
a b(a 0) a?b=0 .
66. La fórmula para la puntuación definida de un segmento de recta
Supongamos que, es el punto divisorio del segmento de recta, es un número real y, entonces
( ).
67 .La fórmula de coordenadas del centro de gravedad de un triángulo
Las coordenadas de los tres vértices de △ABC son, , , respectivamente, luego las coordenadas del centro de gravedad de △ABC son.
68. Fórmula de traslación de puntos
.
Nota: Para cualquier punto P(x, y) en el gráfico F, el punto correspondiente en el gráfico después de la traducción es y las coordenadas son.
6
9. Varias conclusiones sobre "traducir por vector"
(1) Haga clic en el vector a= y obtenga el punto después de la traducción.
(2) La gráfica de la función se traduce por el vector a= Después de obtener la imagen, entonces la fórmula analítica de la función es.
(3) Después de traducir la imagen de acuerdo con el vector a=, se obtiene la imagen Si la fórmula analítica. es, entonces la fórmula analítica de la función es.
(4) Curva: Después de trasladar según el vector a=, se obtiene la imagen y la ecuación es.
(5 ) Vector m= Después de traducir según el vector a=, el vector obtenido sigue siendo m=
70 Condiciones necesarias y suficientes para la forma vectorial de cinco centros de un triángulo.
Supongamos que es un punto en el plano, y las longitudes de los lados opuestos a los ángulos son, entonces
(1) El centro exterior del ser.
(2) El centro de gravedad del ser.
(3) El centro vertical del ser.
(4) El centro interior del ser
(5) es el circuncentro del ser. .
71. Desigualdades de uso común:
(1) (si y sólo si a=b, tome "= "Número).
(2) (Tome el signo "=" si y sólo si a=b).
(3)
(4) Desigualdad de Cauchy
(5) .
72. Teorema del valor extremo
Se sabe que todos son números positivos, entonces tenemos
(1) Si el producto es un valor constante, entonces la suma tiene un valor mínimo en ese momento;
(2) Si la suma es un valor constante, entonces el producto tiene el valor máximo en ese momento.
Generalice el valor conocido, entonces hay
(1) Si la producto es un valor fijo, entonces cuando es máximo, es máximo;
Cuando es mínimo, es mínimo.
(2) Si la suma es un valor constante , entonces cuando el máximo es el mínimo, el mínimo es;
Cuando la suma es el mínimo, el máximo es el máximo.
73 .Para una desigualdad cuadrática de una variable, si tiene el mismo signo que y , su conjunto solución está fuera de las dos raíces; si tiene un signo diferente a , su conjunto solución está entre las dos raíces; en resumen: dos raíces del mismo signo y dos raíces de diferente signo. entre raíces.
;
.
74 Desigualdades que contienen valores absolutos
Cuando agt;
p>
.
O.
75 Desigualdades irracionales
(1) .
(2) .
p>(3) .
76. Desigualdad exponencial y desigualdad logarítmica
(1) En ese momento,
;
.
(2) En ese momento,
;
Fórmula de pendiente
( , ).
78. Cinco tipos de ecuaciones de rectas
(1) Fórmula punto-pendiente (la recta pasa por un punto y la pendiente es).
(2) Fórmula pendiente-intersección (b es la intersección de la línea recta en el eje y).
(3) Fórmula de dos puntos ( )( , ( ) ).
(4) Fórmula de intersección (son las intersecciones horizontal y vertical de la línea recta respectivamente)
(5) Fórmula general (donde A y B no son 0 en el al mismo tiempo).
79. Paralelo y perpendicularidad de dos rectas
(1) Si,
①;
②.
(2 )Si, y A1, A2, B1, B2 no son cero,
①; 80. Fórmula de ángulo incluido
(1) .
( , , )
(2) .
( , , ).
Línea recta Cuando, el ángulo entre las líneas rectas l1 y l2 es.
81. La fórmula del ángulo a
(1).
( , , )
(2)
.
( , , ).
Cuando la recta es , el ángulo de la recta l1 a l2 es .
82. Cuatro ecuaciones de línea recta de uso común
(1) Ecuación de línea recta de punto fijo: la ecuación del sistema de línea recta que pasa por el punto fijo es (excepto la línea recta), donde está el coeficiente por determinar; la ecuación del sistema de línea recta que pasa por el punto fijo es, donde está el coeficiente por determinar.
(2) ***Ecuación de línea recta puntual: La ecuación de línea recta que pasa por la intersección de dos líneas rectas, es (dividida por), donde λ es el coeficiente a determinar.
(3) Ecuaciones de rectas paralelas: Cuando la pendiente k es constante y b cambia en la recta, representa las ecuaciones de rectas paralelas. La ecuación del sistema de recta paralela a la recta es ( ), λ es la variable parámetro.
(4) Ecuación del sistema de recta vertical: La ecuación del sistema de recta perpendicular a la recta (A≠0, B≠0) es , λ es la variable del parámetro.
83. La distancia de un punto a una recta
(punto, recta: ).
84. >
Supongamos una línea recta, entonces el área del plano representada por o es:
Si cuando y tiene el mismo signo, representa el área sobre la recta cuando y tiene signos diferentes, representa el área sobre la línea recta; representa el área debajo de la línea recta, en resumen, el mismo signo está en la parte superior y el signo diferente está en la parte inferior.
Si cuando tiene el mismo signo, significa el área. a la derecha de la recta; cuando tiene el mismo signo, significa el área a la izquierda de la recta; en definitiva, el mismo signo está a la derecha, y el signo diferente está a la izquierda. /p>
85. El área del plano representada por o
Supongamos que la curva ( ), entonces
El área del plano es:
La parte superior y representadas las partes inferiores del área del plano;
Representadas las partes superior e inferior del área del plano.
86. Cuatro ecuaciones de un círculo
(1) Ecuación estándar de una circunferencia.
(2) Ecuación general de una circunferencia (>0).
(3) Ecuación paramétrica de una circunferencia.
( 4) Ecuación del diámetro de un círculo (el punto final del diámetro de un círculo es, ).
87. Ecuaciones del sistema circular
(1) Por el punto, de La ecuación del sistema circular es
, donde es la ecuación de la recta, y λ es el coeficiente a determinar.
(2) La ecuación del sistema circular que pasa por la intersección de la recta : y el círculo : es , y λ es el coeficiente a determinar.
(3) La ecuación del sistema circular que pasa por la intersección del círculo : y el círculo : es , λ es el coeficiente a determinar.
88. Relación posicional entre punto y círculo
Existen tres relaciones posicionales entre punto y círculo
Si, entonces
El punto está en el círculo afuera; el punto está en el círculo; el punto está dentro del círculo.
89. entre una recta y un círculo:
;
;
.
Entre ellos.
90 Método para determinar la relación posicional entre dos círculos
Supongamos que los centros de los dos círculos son O1 y O2 respectivamente, y los radios son r1 y r2 respectivamente
;
;
;
p>
.
91. p>
(1) Círculo conocido.
①Si se sabe que el punto tangente está en el círculo, entonces solo hay una recta tangente y su ecuación es
.
Cuando es fuera del círculo, significa que hay dos rectas tangentes La ecuación de cuerda del punto tangente del punto.
②La ecuación de la recta tangente que pasa por un punto fuera del círculo se puede establecer en y luego usar la condición de tangente para encontrar k. En este momento, debe haber dos rectas tangentes. pierda la línea tangente paralela al eje y.
③La ecuación tangente con pendiente k se puede establecer en y luego usar la condición de tangente para encontrar b. Debe haber dos rectas tangentes.
(2) Círculo conocido.
①La ecuación de la recta tangente que pasa por el punto del círculo es ;
②La ecuación de la recta tangente al círculo con pendiente de es .
92.
La ecuación paramétrica de es .
93. Fórmula del radio focal de la elipse
, .
94. El interior y el exterior de la elipse
(1) El punto está dentro de la elipse.
(2) El punto está fuera de la elipse.
95. Ecuación tangente de la elipse
(1) La ecuación de la recta tangente en un punto de la elipse es.
(2) La ecuación del punto tangente cuerda de dos rectas tangentes que pasa por un punto fuera de la elipse es
.
(3) La condición para la tangencia de la elipse y la recta es.
96. fórmula del radio focal de la hipérbola
,.
97. El interior y el exterior de la hipérbola
(1) El punto está dentro de la hipérbola.
(2) El punto está fuera de la hipérbola.
98. La relación entre la ecuación de la hipérbola y la ecuación de la asíntota
(1) Si la ecuación de la hipérbola es una ecuación asíntota: .
(2) Si la ecuación de la asíntota es La hipérbola se puede establecer en.
(3) Si la hipérbola y la hipérbola tienen una asíntota común, se puede establecer en ( , el foco está en el eje x, , el foco está en el eje y).
p>La ecuación tangente de la hipérbola
(1) La ecuación tangente en un punto de la hipérbola es.
(2) Los dos puntos que pasan por un punto fuera de la hipérbola son La ecuación del punto tangente cuerda de una recta tangente es
.
(3) La condición para la tangencia de una hipérbola y una recta es.
100.
Radio focal de la parábola.
Longitud de la cuerda a través del foco.
101. El punto de movimiento en la parábola se puede establecer en P o P, donde.
102. La gráfica de una función cuadrática es una parábola: (1) Las coordenadas del vértice son; (2) Las coordenadas del foco son (3) La ecuación de la directriz es; p>
103. El interior y el exterior de la parábola
(1) El punto está dentro de la parábola.
El punto está fuera de la parábola.
(2) El punto está dentro de la parábola.
El punto está fuera de la parábola.
(3) El punto está dentro de la parábola.
El punto está fuera de la parábola.
(4) El punto está dentro de la parábola.
El punto está fuera de la parábola.
La ecuación tangente. de la parábola
(1) La ecuación tangente en un punto de la parábola es.
p>
(2) La ecuación del punto tangente de dos rectas tangentes que pasan que pasa por un punto fuera de la parábola es.
(3) La condición para la tangencia de una parábola y una línea recta es.
105. Dos ecuaciones de sistemas de curvas comunes
(1) A través de la curva, la ecuación del sistema de curva del punto de intersección es
(es un parámetro).
(2)*** Ecuaciones del sistema cónico centrado enfocado , donde. cuando, representa una elipse; cuando, representa una hipérbola.
106. La fórmula de la longitud de la cuerda de la intersección de una línea recta y una sección cónica o
(extremo de la cuerda). El punto A se obtiene eliminando y de la ecuación, , es el ángulo de inclinación de la recta, y es la pendiente de la recta
Dos tipos de problemas de simetría de secciones cónicas
107. p>
(1 ) Una curva que es simétrica con respecto al centro de un punto es.
(2) Una curva que es axialmente simétrica con respecto a una línea recta es
.
108. "Cuatro líneas "Una ecuación
Para una curva cuadrática general, use sustitución, sustitución, sustitución, sustitución, sustitución para obtener la ecuación
, de esta ecuación se obtienen la recta tangente de la curva, la cuerda del punto tangente, el punto medio de la cuerda y la ecuación del punto medio de la cuerda.
109. Demostrar líneas rectas y rectas.
Enfoque de pensamiento paralelo
(1) Transformado en determinar que dos líneas rectas en la superficie *** no tienen intersección;
(2) Transformado en dos líneas rectas que son paralelas a la tercera línea recta;
(3) Convertir a línea y superficie paralela
(4) Convertir a línea y superficie perpendicular
(5) Convertir a superficie y superficie paralela.
110． Formas de pensar para demostrar que una recta y un plano son paralelos
(1) Transformada en una recta y un plano sin punto común;
(2) Transformada en una recta paralela;
(3) Transformada en caras paralelas.
111. Formas de pensar para demostrar que los planos son paralelos a planos
(1) Se transforma en determinar que dos planos no tienen puntos comunes;
(2) Se transforma en líneas y planos paralelos;
(3) Convertir a verticalidad línea-superficie.
112. Formas de pensar para demostrar la perpendicularidad de líneas rectas
(1) Convertir a perpendicularidad de intersección;
(2) Convertir a perpendicularidad línea-superficie;
( 3) Transformada en una recta perpendicular a la proyección de otra recta;
(4) Transformada en una recta perpendicular a la diagonal que forma la proyección.
113. Formas de pensar para demostrar que una línea recta es perpendicular a un plano
(1) Convertir la línea recta para que sea perpendicular a cualquier línea recta en el plano;
(2) Convertir la línea recta a dos líneas rectas que se cruzan en el plano Vertical;
(3) Convertir la línea recta para que sea paralela a una línea perpendicular del plano;
(4) Convertir la la recta es perpendicular a otro plano paralelo;
(5) se transforma en la recta perpendicular a la intersección de dos planos verticales.
114. Formas de pensar para demostrar que los planos son perpendiculares a los planos
(1) Convertir para juzgar si el ángulo diédrico es recto;
(2) Convertir a perpendicularidad línea-superficie .
115. La ley operativa de la suma y multiplicación de vectores espaciales
(1) La ley conmutativa de la suma: a+b=b+a.
(2) Ley asociativa aditiva: (a+b)+c=a+(b+c).
(3) Ley distributiva de la multiplicación de números: λ(a+b)=λa+λb.
116. Generalización de la regla del paralelogramo para la suma de vectores planos en el espacio
La suma de tres vectores con el mismo punto de partida y no en el mismo plano es igual a tomar estos tres vectores. como aristas El vector representado por la diagonal del paralelepípedo comenzando desde el punto de partida común.
Teorema del vector lineal
Para dos vectores cualesquiera a en el espacio, b(b≠0). ), a‖b existe un número real λ tal que a=λb.
Línea *** de tres puntos.
, Línea *** y no línea *** y no línea ***.
118.* * *Teorema del vector de superficie
Existe un par real de vector p y dos vectores a y b que no son lineales, por lo que.
Inferir que para un punto P en el espacio ubicado en el plano MAB, existen pares ordenados de números reales, tales que,
O para cualquier punto fijo O en el espacio, existen pares de números reales ordenados, tales que.
119 Para cualquier punto en el espacio y los tres puntos A, B y C en las diferentes rectas, si ( ) se cumple, entonces en ese momento, para. cualquier punto en el espacio, siempre hay cuatro puntos P, A, B y C*** En ese momento, si el plano ABC es, entonces los cuatro puntos P, A, B y C están conectados al plano si; el plano es ABC, entonces los cuatro puntos P, A, B y C no están conectados al plano.
Plano de cuatro puntos y, plano ***
(Plano ABC).
120. Teorema fundamental de los vectores espaciales
Si los tres vectores a, byc no son mutuamente excluyentes, entonces, para cualquier vector p en el espacio, existe una matriz real ordenada única x, y, z, tal que p=xa+yb+zc.
Corolario Supongamos que O, A, B y C son cuatro puntos en la superficie, entonces para cualquier punto P en el espacio, solo hay tres números reales ordenados x, y, z, de modo que <. /p>
121.
Fórmula de proyección
Se sabe que vector = a y eje, e es un vector unitario en la misma dirección que el anterior. Construya la proyección del punto A en la parte superior y la proyección del punto B en la parte superior. , entonces
〈a, e〉=a?e
122 Operación en coordenadas cartesianas de vectores
Supongamos a＝, b＝ entonces
(1)a＋b＝ ;
(2)a-b＝ ;
(3)λa＝ (λ∈R);
(4) a?b＝ ;
123. Supongamos que A y B, entonces
= .
124. Las rectas en el espacio son paralelas o perpendiculares
Supongamos, entonces
;
.
Fórmula del ángulo
.Supongamos que a=, b=, entonces
cos〈a, b〉=.
Inferencia, esta es la desigualdad tridimensional de Cauchy.
126 . El ángulo formado por las aristas opuestas de un tetraedro
En un tetraedro, el ángulo formado por y es, entonces
.
127. Ángulo formado por rectas con diferentes planos
=
(2);
(3); /p>
(4) p>
(5) (es un radian);
(6) (es un radian);
(7) ( es un radian)
196 .Método para juzgar si es un valor máximo (pequeño)
Cuando la función es continua en un punto,
(1 ) Si está cerca del lado izquierdo o derecho, es el valor máximo;
(2) Si está cerca del lado izquierdo o derecho, es un valor mínimo.
197. Igualdad de números complejos
( )
198. Módulo (o valor absoluto) de números complejos
= = .
199. Cuatro reglas aritméticas de números complejos
(1)
(2)
(3)
; (4) .
200. Leyes aritméticas de la multiplicación de números complejos
Para cualquiera, existe
Ley conmutativa: .
Ley asociativa: .
Ley distributiva: .
201. La fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano complejo
( , ).
202. Perpendicularidad del vector
Número complejo distinto de cero, los vectores correspondientes son respectivamente, entonces la parte real de
es cero y es un número imaginario puro
(λ es un número real distinto de cero).
203. Ecuación cuadrática de una variable con coeficientes reales Solución de
Ecuación cuadrática con coeficientes reales,
①Si, entonces;
②Si, entonces;
③Si, no tiene raíces reales en el conjunto de números reales, solo tiene dos raíces complejas de yugo; el conjunto de los números complejos.