Prueba matemática avanzada utilizando el criterio de convergencia para demostrar el límite de una secuencia

1. Para demostrar la existencia del límite, sólo es necesario demostrar que la secuencia {xn} es monótonamente creciente y tiene un límite superior.

(1) Obviamente x2 = √ (2 √ 2) > √ 2 = x1, suponiendo xk > xk-1. Allí

Xk+1 = √( 2Xk)> √( 2Xk-1)= Xk.

Según la inducción, para todo entero positivo n, xn+1 > xn. Es decir, la secuencia {Xn} aumenta monótonamente.

②Obviamente X1 < 2. Suponiendo que XK <2, sí.

Xk+1=√(2Xk)