1. Definición y definición:
La variable independiente x y la variable dependiente y tienen la siguiente relación:
y=kx b
Se dice que y es una función lineal de x en este momento.
Específicamente, cuando b=0, y es una función proporcional de x.
Es decir: y=kx (k es una constante, k≠0)
2 Propiedades de las funciones lineales:
1. y X Los valores de cambio correspondientes son proporcionales y la relación es k.
Es decir: y=kx b (k es cualquier número real b distinto de cero, tome cualquier número real)
2. función en la distancia del eje y.
3. Gráficas y propiedades de funciones lineales:
1. Práctica y gráfica: a través de los siguientes tres pasos.
(1) Lista;
(2) Puntos de seguimiento;
(3) La conexión puede formar la imagen de una función: una línea recta. Entonces, la gráfica de una función lineal solo necesita conocer 2 puntos y conectarlos en una línea recta. (Generalmente encuentre la intersección de la imagen de la función y los ejes X e Y)
2 Propiedades: (1) Cualquier punto P(x, Y) en la función lineal satisface la ecuación: y. = kx b. (2) ) Las coordenadas de la intersección de la función lineal y el eje Y son siempre (0, b), y la imagen de la función proporcional siempre se cruza con el origen del eje X en (- b/k, 0).
3. El cuadrante donde se ubican k, B y la gráfica de la función:
Cuando k > 0, la recta debe pasar por el primer y tercer cuadrante, y y aumenta con el aumento de x Grande;
Cuando k < 0, la línea recta debe pasar por el segundo y cuarto cuadrante, y y disminuye a medida que x aumenta.
Cuando b > 0, la recta debe pasar por el primer y segundo cuadrante;
Cuando b = 0, la recta pasa por el origen.
Cuando b < 0, la recta debe pasar por tres o cuatro cuadrantes.
En concreto, cuando b=O, la recta que pasa por el origen o (0, 0) representa la imagen de la función de proporción.
En este momento, cuando k > 0, la línea recta solo pasa por uno o tres cuadrantes; cuando k < 0, la línea recta solo pasa por dos o cuatro cuadrantes.
4. Determina la expresión de la función lineal:
Dados los puntos A (x1, y 1); B (x2, y2), determina la linealidad que pasa por los puntos A y. B La expresión de la función..
(1) Supongamos que la expresión de una función lineal (también llamada expresión analítica) es y = kx b.
(2) Debido a que cualquier punto P(x, y) de la función lineal satisface la ecuación y = kx b Entonces podemos enumerar dos ecuaciones: y1 = kx1 b... ① e y2 = kx2. b…②.
(3) Resuelve esta ecuación lineal binaria y obtén los valores de k y b..
(4) Finalmente obtén la expresión de la función lineal.
5. Aplicación de funciones lineales en la vida:
1. Cuando el tiempo t es constante, la distancia s es una función lineal de la velocidad v..s=vt.
2. Cuando la velocidad de bombeo f de la piscina permanece sin cambios, el volumen de agua g en la piscina es una función lineal del tiempo de bombeo t, y se establece el volumen de agua original s en la piscina. g = S-pies.
6. Fórmulas de uso común: (Incompleta, espero que alguien pueda agregarla)
1. Encuentra el valor k de la imagen de la función: (y1- y2)/(x1-x2).
2. Encuentra el punto medio del segmento de recta paralelo al eje X: |x1-x2|/2.
3. Encuentra el punto medio del segmento de recta paralelo al eje Y: |y1-y2|/2.
4. Encuentra la longitud de cualquier segmento de recta: √ (x1-x2) 2 (y1-y2) 2 (Nota: la suma de los cuadrados de (x1-x2) y (y1-y2) bajo el signo raíz).
Función cuadrática
1. Definición y expresión de definición
En términos generales, la relación entre la variable independiente x y la variable dependiente y es la siguiente: p>
y=ax^2 bx c
(a, b, c son constantes, a≠0, a determina la dirección de apertura de la función, a>;0, la apertura la dirección es hacia arriba, a
Y se llama función cuadrática de x
El lado derecho de una expresión de función cuadrática suele ser un trinomio cuadrático
Dos. . Tres expresiones
Fórmula general: y = ax ^ 2 bx c (a, b, c son constantes, a≠0)
Vértice: y = a(x-h). k[Vértice P(h, k) de la parábola]
Punto de intersección: y=a(x-x?)(x-x?) [Solo cuando con el eje x A(x?, 0) y B(x ? 0) Parábola]
Nota: Entre estas tres formas de conversión mutua, existe la siguiente relación:
h=-b/2a k=(4ac-b^ 2) /4a x?, x? =(-b √b^2-4ac)/2a
Tres Función cuadrática y = x 2 De la imagen en el sistema de coordenadas rectangular, <. /p>
Se puede observar que la imagen de la función cuadrática es una parábola.
IV. Propiedades de una parábola
1 Una parábola es. El eje de simetría es una recta
x = -b/2a.
La única intersección entre el eje de simetría y la parábola es el vértice p de la parábola. Especialmente cuando. b=0, el eje de simetría de la parábola es el eje Y (es decir, la recta x=0)
2 La parábola tiene un vértice p con la coordenada
p-b. /2a, (4ac-b^2)/4a
-b/2a=0, p está en el eje y cuando δ = b 2-4ac = 0, P está en la X; -eje
3. El coeficiente cuadrático A determina la dirección de apertura y el tamaño de la parábola.
Cuando a > 0, la parábola se abre hacia arriba; /p>
Cuanto mayor |a|, menor es la apertura de la parábola
4. Tanto el coeficiente lineal b como el coeficiente cuadrático a*** determinan la posición de la simetría.
Cuando a y b tienen el mismo signo (es decir, AB > 0), el eje de simetría está a la izquierda en el eje Y;
Cuando A y B tienen diferente. signos (es decir, AB < 0), el eje de simetría está en el lado derecho del eje Y
5. El término constante c determina la intersección de la parábola y el eje Y
La parábola se cruza con el eje y en (0, c)
6. El número de intersecciones entre la parábola y el eje X
Cuando δ = b 2-4ac > 0, la parábola tiene dos intersecciones con el eje X
Cuando δ = b 2-4ac = 0, la parábola tiene 1 punto de intersección con el eje X.
Cuando δ = b 2-4ac < 0, la parábola no tiene intersección con el eje X. El valor de x es un número imaginario (el recíproco del valor de x = -b√b^2-4ac, multiplicado por el número imaginario I, la fórmula completa se divide por 2a).
Verbo (abreviatura de verbo) función cuadrática y ecuación cuadrática
En particular, función cuadrática (en adelante función) y = ax 2 bx c,
Cuando y=0, la función cuadrática es una ecuación cuadrática de una variable (en lo sucesivo, la ecuación) alrededor de x.
Es decir, ax^2 bx c = 0.
En este momento, si la gráfica de la función intersecta el eje X significa si la ecuación tiene raíces reales.
La abscisa de la intersección de la función y el eje X es la raíz de la ecuación.
1. Función cuadrática Y = AX ^ 2, Y = A (X-H) 2, Y = A (X-H) 2 K, Y = AX ^ 2 BX C (en todos los tipos, a≠0 ) Tienen la misma forma de imagen, pero en diferentes posiciones.
Eje de simetría de coordenadas de vértice analítico
y=ax^2(0, 0)x = 0
y=a(x-h)^2(h, 0)x = h
y=a(x-h)^2 k(h,k)x = h
y=ax^2 bx c(-b/2a,[ 4ac-b^2]/4a)x =-b/2a
Cuando h gt0, mueve la parábola y = ax 2 paralela a la derecha h unidades, puedes obtener y = a (x-h) 2 imagen.
Cuando h < 0, se obtiene moviendo |h| unidades paralelas a la izquierda.
Cuando h gt0, k gt0, mueve la parábola y = ax 2 paralela a la derecha h unidades, y luego muévela hacia arriba k unidades, puedes obtener la imagen de y = a (x-h) 2 k ;
Cuando h gt0, k lt0, mueva la parábola y = ax 2 paralelamente a la derecha h unidades, y luego muévala hacia abajo | k unidades para obtener la imagen de y = a (x-h) 2 k. ;
p>
Cuando h < 0, k >; mueva la parábola paralela a la izquierda |h| y luego muévala hacia arriba k unidades para obtener la imagen de y = a. (x-h) 2 k;
Cuando h < 0, k lt0, mueva la parábola paralela a la izquierda |h| y luego muévala hacia abajo |k| (x-h) 2 k;
Por lo tanto, estudia la imagen de la parábola Y = AX ^ 2 BX C(A≠0), y cambia la fórmula general a la forma Y = A (X-H) 2 K a través de la fórmula, determinando así sus coordenadas de vértice y eje de simetría. Y la posición aproximada de la parábola es muy clara, lo que proporciona comodidad para dibujar imágenes.
2. La imagen de la parábola y = ax ^ 2 bx c(a≠0): cuando a >: 0, la apertura es hacia arriba, cuando a
3. = ax ^ 2 bx c(a≠0), si a > 0, cuando x ≤ -b/2a, y disminuye con el aumento de x cuando x ≥ -b/2a, y disminuye con el aumento de x Aumenta con aumenta, si a
4. La intersección de la imagen de la parábola y = ax 2 bx c y el eje de coordenadas:
(1) La imagen debe cruzar el eje Y. , y la coordenada de intersección es (0, c);
(2) Cuando △ = b 2-4ac >; la imagen cruza el eje x en dos puntos A(x?, 0) y B(x? 0), donde x1, x2 son las ecuaciones cuadráticas ax ^ 2 bx c = 0.
(a≠0). ¿La distancia entre estos dos puntos AB=|x? -¿incógnita? |
Cuando △ = 0, solo hay un punto de intersección entre la imagen y el eje X
Cuando △ < 0. La imagen no tiene intersección con el eje X. Cuando A > 0, la imagen cae por encima del eje X. Cuando X es un número real, y > 0; cuando a lt0, la imagen cae por debajo del eje X. Cuando X es un número real, y
.5. El valor máximo de la parábola y = ax ^ 2 bx c: Si a gt0 (a lt; 0), entonces cuando x = -b/2a, el valor mínimo (mayor) de y = (4ac- b2)/4a.
La abscisa del vértice es el valor de la variable independiente cuando se obtiene el valor máximo, y la ordenada del vértice es el valor del valor máximo.
6. Utiliza el método del coeficiente indeterminado para encontrar la expresión analítica de la función cuadrática.
(1) Cuando la condición dada es que la imagen conocida pasa por tres puntos conocidos o tres pares de valores correspondientes de x e y conocidos, la expresión analítica se puede establecer en una forma general. :
y=ax^2 bx c(a≠0).
(2) Cuando la condición dada es la coordenada del vértice o el eje de simetría de la imagen conocida, la expresión analítica se puede establecer en vértice: y = a (x-h) 2 k (a ≠ 0).
(3) Cuando las condiciones dadas son las coordenadas de los dos puntos de intersección de la imagen conocida y el eje X, la fórmula analítica se puede establecer en dos fórmulas: y=a(x-x?)( x-x?)(a≠0).
7. El conocimiento de funciones cuadráticas se integra fácilmente con otros conocimientos para producir problemas integrales más complejos. Por lo tanto, las preguntas integrales basadas en el conocimiento de funciones cuadráticas son temas candentes en el examen de ingreso a la escuela secundaria y, a menudo, aparecen en forma de preguntas importantes.
Función proporcional inversa
La función en la forma y = k/x (donde k es una constante, k≠0) se llama función proporcional inversa.
El rango de valores de la variable independiente x son todos los números reales distintos de 0.
Propiedades gráficas de la función proporcional inversa:
La gráfica de la función proporcional inversa es una hipérbola.
Dado que la función proporcional inversa es una función impar, usando f(-x)=-f(x), la imagen es simétrica con respecto al origen.
Además, de la expresión analítica de la función proporcional inversa, se puede concluir que cualquier punto de la imagen de la función proporcional inversa es perpendicular a los dos ejes de coordenadas, y el área rectangular rodeada por este punto, los dos pies verticales y el origen es un valor constante, esto es ∣k∣.
Como se muestra en la figura, la imagen de la función cuando k es un valor positivo y un valor negativo (2 y - 2) se da arriba.
Cuando k > 0, la imagen de la función proporcional inversa pasa por uno o tres cuadrantes y es una función decreciente.
Cuando k < 0, la función proporcional inversa pasa por dos o cuatro cuadrantes y es una función creciente.
La imagen de la función proporcional inversa solo puede tender infinitamente hacia el eje de coordenadas y no puede cruzarse con el eje de coordenadas.
Puntos de conocimiento:
1. Cualquier punto en la imagen de la función proporcional inversa es un segmento de recta vertical de dos ejes de coordenadas, y el área del rectángulo rodeada por estos. dos segmentos de línea vertical y el eje de coordenadas es |k|.
2. Para la hipérbola y = k/x, si sumas o restas cualquier número real al denominador (es decir, y = k/(x m) m es una constante), es equivalente a mover la imagen de la hipérbola hacia la izquierda o desplazarse una unidad hacia la derecha. (Cuando se suma un número, se mueve hacia la izquierda, cuando se resta un número, se mueve hacia la derecha)
Función logarítmica
La forma general de la función logarítmica es que es en realidad La función inversa de la función exponencial. Por lo tanto, las disposiciones de a en funciones exponenciales también se aplican a funciones logarítmicas.
La imagen de la derecha muestra la gráfica de la función de diferentes tamaños A:
Puedes ver que la gráfica de la función logarítmica es solo la gráfica simétrica de la función exponencial aproximadamente la recta y=x, porque son función mutuamente inversa.
(1) El dominio de la función logarítmica es un conjunto de números reales mayores que 0.
(2) El rango de la función logarítmica es el conjunto de todos los números reales.
(3) La función siempre pasa por (1, 0).
(4) Cuando a es mayor que 1, es una función monótonamente creciente y convexa; cuando a es menor que 1 y mayor que 0, la función es monótonamente decreciente y cóncava.
(5)Obviamente, la función logarítmica es ilimitada.
Función exponencial
La forma general de la función exponencial es. De la discusión anterior sobre la función potencia, podemos saber que si X puede tomar el conjunto completo de números reales como su. dominio, entonces sólo tenemos que hacer.
Como se muestra en la figura, los diferentes tamaños de a afectarán el gráfico de la función.
Puedes ver:
(1) El dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. La premisa aquí es que a es mayor que 0. Si a no es mayor que 0, no habrá intervalo continuo en el dominio de la función y no lo consideraremos.
(2) El rango de valores de la función exponencial es un conjunto de números reales mayores que 0.
(3) La gráfica de la función es cóncava.
(4) Si a es mayor que 1, la función exponencial aumenta monótonamente; si a es menor que 1 y mayor que 0, es monótonamente decreciente.
(5) Podemos ver una regla obvia, es decir, cuando a va de 0 a infinito (por supuesto no puede ser igual a 0), las curvas de la función tienden a acercarse a lo positivo. semieje del eje Y y del eje X respectivamente. La posición de la función monótonamente decreciente del semieje negativo del eje. La recta horizontal y=1 es la posición de transición de decreciente a creciente.
(6) La función siempre se mueve infinitamente hacia una determinada dirección del eje X y nunca se cruza.
(7) La función siempre pasa por (0, 1).
Obviamente la función exponencial es ilimitada.
Paridad
Nota: (1) es una función de número impar (2) es una función de número par.
1. Definición
Generalmente, para la función f(x)
(1) Si cualquier x en el dominio de la función tiene f (-x) = - f(x), entonces la función f(x) se llama función impar.
(2) Si cualquier x en el dominio de la función tiene f(-x)=f(x), entonces la función f(x) se llama función par.
(3) Si f(-x)=-f(x) y f(-x)=f(x) son verdaderas para cualquier x en el dominio de la función, entonces la función f(x ) es tanto una función impar como una función par, y se llama función par e impar.
(4) Si para cualquier X en el dominio de la función, no se puede establecer ni f(-x)=-f(x) ni f(-x)=f(x), entonces la La función f(x) no es una función impar ni una función par, se llama función par o impar.
Explicación: ① Par e impar son las propiedades globales de la función y son globales.
②Los dominios de funciones pares e impares deben ser simétricos respecto al origen. Si el dominio de una función no es simétrico con respecto al origen, entonces la función no debe ser una función par (ni impar).
(Análisis: Para determinar la paridad de una función, primero verifique si su dominio es simétrico con respecto al origen, luego simplifíquelo y organícelo estrictamente de acuerdo con las definiciones de par e impar, y luego compárelo con f (x) Sacar una conclusión)
③La base para juzgar o demostrar si una función tiene paridad es la definición.
2. Características de la imagen de funciones pares e impares:
Teorema: La imagen de una función impar es una figura centralmente simétrica respecto del origen, y la imagen de una función par. La función par es una figura simétrica con respecto al eje o eje Y.
F(x) es una función impar como "= =" F(x) es simétrica con respecto al origen.
Punto (x, y) → (-x, -y)
La función impar aumenta monótonamente dentro de un intervalo determinado y aumenta monótonamente dentro de su intervalo simétrico.
Una función par aumenta monótonamente dentro de un cierto intervalo, pero disminuye monótonamente dentro de su intervalo simétrico.
3. Operaciones con funciones pares e impares
(1).
(2) La suma de dos funciones impares es una función impar.
(3) La suma de una función par y una función impar es una función no impar y una función no par.
(4) El producto obtenido al multiplicar dos funciones pares es una función par.
(5) El producto de dos funciones impares es una función par.
(6) El producto de una función par por una función impar es una función impar.
Dominio
(Definición de función de escuela secundaria) Sean A y B dos conjuntos de números no vacíos. Si cualquier número Conjunto A.. Entre ellos, x se llama variable independiente y el rango de valores a de x se llama dominio de la función;
Rango
Nombre definición
En una función, el rango de valores de la variable dependiente se llama rango de la función, que es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente en el dominio de las matemáticas.
Métodos comunes para evaluar dominios
(1) Método de reducción; (2) Método de imagen (combinación de números y formas),
(3) Monotonicidad de funciones,
(4) Método de emparejamiento, (5) Método de sustitución, (6) Método de función inversa, (7) Método discriminante, (8) Método de función compuesta, (9) Método de sustitución trigonométrica, (10 ) Método básico de desigualdad, etc.
Malentendido del dominio de funciones
El dominio, las reglas correspondientes y el rango de valores son los tres "ingredientes" básicos de la construcción de funciones. No hay duda de que el principio de "dominio primero" se implementa en matemáticas. Sin embargo, todo tiene una doble naturaleza, y si bien se refuerza el alcance del problema, muchas veces también se debilita o se habla de él. La exploración de problemas en el dominio de valores ha resultado en que una mano sea "dura" y la otra "blanda", lo que hace que la comprensión de las funciones por parte de los estudiantes sea intermitente.
De hecho, las posiciones del dominio de definición y el rango de valores son equivalentes, por lo que no deben ser demasiado detalladas, sin mencionar que siempre se están transformando entre sí (un ejemplo típico es el dominio de definición y el rango de valores de la inversa de cada uno). funciones). Si el dominio de valores de una función es infinito, entonces no siempre es fácil encontrar el rango de la función. Confiar en las propiedades operativas de las desigualdades a veces es ineficaz y los valores de la función deben considerarse junto con la paridad, monotonicidad, acotación y periodicidad de la función. Para obtener la respuesta correcta, desde esta perspectiva, el problema de evaluar el dominio es a veces más difícil que el problema de encontrar el dominio. La práctica ha demostrado que fortalecer la investigación y discusión de métodos para encontrar el dominio puede ayudarnos a comprender la función dentro del dominio, profundizando así nuestra comprensión de la naturaleza de la función.
¿Son lo mismo "alcance" y "alcance"?
"Rango de valores" y "rango de valores" son dos conceptos que encontramos a menudo en nuestros estudios y que muchos estudiantes suelen confundir. De hecho, son dos conceptos diferentes. "Rango" es un conjunto de todos los valores de la función (es decir, cada elemento del conjunto es el valor de esta función), mientras que "Rango" es solo un conjunto de ciertos valores que satisfacen una determinada condición (es decir , todos los elementos del conjunto no necesariamente satisfacen esta condición). Es decir, "alcance" es "alcance", pero "alcance" no es necesariamente "alcance".