La fórmula general de las series geométricas es:
an=a1 qn-1
Los primeros n términos y fórmulas son:
En series geométricas, los términos geométricos:
Y la relación entre dos términos cualesquiera am y an es an = am qn-m.
Si la razón común q de una secuencia geométrica satisface 0 < ∣ q < ∣ 1, entonces se dice que la secuencia es una secuencia geométrica recursiva infinita, y la suma de sus diversas
elementos (también llamado es la suma de todos los elementos) es:
De la definición de serie geométrica, la fórmula general y las primeras n fórmulas, podemos deducir:
a 1 an = a2 an-1 = a3 an-2 =…= AK an-k 1, k∈{1, 2,…, n}
Si m, N, p, q∈N* , entonces hay:
ap aq=am an,
Escribe π n = a1 a2...an, entonces
π2n-1=(an )2n- 1, π2n 1 =(an 1)2n 1
Además, una serie geométrica en la que cada término es un número positivo toma la misma base para formar una secuencia aritmética, por otro lado, con cualquier número positivo C es el número base, y usar los términos de una secuencia aritmética como exponentes para construir una energía potencia es una serie geométrica. En este sentido decimos que una serie geométrica positiva y una serie aritmética son "isomorfas".
Lo importante no son solo las definiciones, propiedades y fórmulas de las dos secuencias básicas, sino también los métodos de pensamiento matemático y la sabiduría matemática contenidos en el proceso de suma, como la "suma inversa" (; secuencia aritmética), "Resta dislocada” (secuencia geométrica).
Hay dos tipos principales de problemas en series. Uno es encontrar la fórmula general de la serie y el otro es encontrar la suma de los primeros n términos de la serie.
En tercer lugar, ejemplos
Ejemplo 1. Sean ap, aq, am, an los primeros términos P, Q, M, N de la serie geométrica. Si p q=m n, demuestre: apoaq=amoan.
Demostración: Supongamos que el primer término de la serie geométrica es a1 y la razón común es Q, entonces
ap=a1 qp-1, aq=a1 qq-1, am= a1 qm-1, an=a1 qn-1
Entonces:
ap aq=a12qp q-2, am an=a12 qm n-2,
Por lo tanto: AP AQ = soy an
Nota: Este ejemplo es una propiedad importante de las series geométricas y se utiliza a menudo en la resolución de problemas. Muestra que el producto de dos términos (los dos primeros términos y los dos últimos términos) de una serie geométrica que están equidistantes de ambos extremos es igual al producto de los dos primeros términos y los dos últimos términos, es decir: p>
a1 k an-k =a1 an
Lo mismo ocurre con las secuencias aritméticas: en una secuencia aritmética, la suma de dos términos, como la distancia desde ambos extremos, es igual a la suma del primer y último término. Es decir:
a1 k an-k=a1 an
Ejemplo 2. En la secuencia aritmética, A4 A6 A8 a 10 a 12 = 120, entonces 2a9-a10=
a20 b 22 c .
Solución: a4 a12=2a8, a6. a10 =2a8 y se conoce u obtiene.
5a8=120, a8=24
Y 2 a9-a 10 = 2(a 1 8d)-(a 1 9d)= a 1 7d = A8 = 24.
Así que elige c.
Ejemplo 3. Dado que la secuencia aritmética satisface a 1 A2 A3… a 101 = 0, entonces existe ().
a 1 a 101 > 0 b . a2 a 100 < 0 c . (13 )Pregunta]
Solución: Evidentemente, un 1 A2 A3... un 101.
Entonces a1 a101=0, entonces A2 a 100 = A3 A99 = a 1 a 101 = 0, elige c.
Ejemplo 4. Sean Sn los primeros N términos de la secuencia aritmética, S9=18, An-4 = 30 (n > 9), Sn=336, entonces N es ().
A.16 B.21 C.9 D8
Solución: Dado que S9=9×a5=18, a5=2, a5 an-4=a1 an=2 30= 32, por lo tanto, n=21 elija b.
Ejemplo 5. Supongamos que la secuencia aritmética satisface 3a8=5a13, y a1>0>0, Sn es la suma de sus primeros N términos, entonces el mayor entre Sn(n∈N*) es (). (1995 Liga Nacional de Escuelas Secundarias No. 1)
(A)s 10(B)s 11(C)s 20(D)s 21
Solución: ∫3 A8 = 5a 13
∴3(a1 7d)=5(a1 12d)
Por lo tanto
Sea an≥0→n≤20 cuando n > 20, Un < 0.
∴S19=S20 valor máximo, elija (c)
Nota: Las funciones cuadráticas también se pueden usar para encontrar el valor máximo.
Ejemplo 6. Supongamos que la suma del primer término de una secuencia aritmética es un número entero no negativo, el número de términos no es menor que 3 y la suma de los términos es 972, entonces dicha secuencia * * * tiene ().
2 (B)3 (C)4 (D)5.
[Pregunta 3 de la Liga Nacional de Matemáticas de Secundaria de 1997]
Solución: Supongamos que el primer término de la secuencia aritmética es A y la tolerancia es D, entonces según el significado de la pregunta, hay ().
Es decir, [2a (n-1)d]on=2×972 (*)
Porque n es un número natural no menor que 3, y 97 es primo número, el valor del número n debe ser el divisor (factor) de 2×972, y solo puede ser uno de 97, 2×97, 972 y 2×972.
Si d > 0, entonces d≥1 se puede ver en la fórmula (*) como 2×972≥n(n-1)d≥n(n-1), por lo que solo puede haber n =97, la fórmula (*) se puede cambiar a: a 48d=97.
Si d=0, la fórmula (*) se convierte en: an=972, entonces (*) también tiene dos conjuntos de soluciones.
Entonces existen 4 sucesiones aritméticas * * * que establecen las condiciones para este problema, a saber:
49, 50, 51,..., 145, (***97 Artículos)
1, 3, 5,…, 193, (**97 artículos)
97, 97, 97,…, 97, (**97 artículos)
p>
1, 1, 1, ..., 1 (***972=9409 elementos)
Entonces elija (c)
Ejemplo 7. Ordena el conjunto de números impares positivos {1, 3, 5,...} en (2n-1) enésimo grupo impar de pequeño a grande:
, {3, 5, 7}, {9 , 11, 13, 15, 17},…
(Primer grupo) (Segundo grupo) (Tercer grupo)
Entonces 1991 está en el grupo.
[Pregunta 3 de la Liga Nacional de Matemáticas de Secundaria de 1991]
Solución: Según el significado de la pregunta, hay números impares en los primeros n grupos.
1 3 5… (2n-1)=n2.
Y 1991=2×996-1, que es el 996º número impar positivo.
∵312=961