Resolución de problemas de geometría y matemáticas para estudiantes de segundo año (método vectorial)

La base P-ABCD de la pirámide cuadrangular es un cuadrado, PD⊥base ABCD, y e está en el lado PB (asumiendo un vector espacial).

(1) Verificación: Plano AEC⊥Plano PDB (método de vector normal)

(2) Cuando PD=√(signo raíz)2AB, E es el punto medio de PB, Encuentre el ángulo entre AE y el plano PDB (vector establecido).

(1) Análisis: La base del ∵ cuadrilátero P-ABCD es un cuadrado, y la base de PD⊥ ABCD.

Establezca un sistema de coordenadas espacial rectangular D-xyz con D como origen, DC como eje X, DA como eje Y y DP como dirección positiva del eje Z.

Supongamos que AB=1.

Luego las coordenadas del punto:

D (0, 0, 0), A (0, 1, 0), B (1, 1, 0), C (1, 0). ) , 0)

P(0, 0, z1), E(x, y, z)

Vector PD=(0,0,-z1), vector PB= (1,1,-z1).

Supongamos que el vector m es el vector normal de la superficie PDB:

Vector m=vector PD×vector PB=(z1,-z1,0)

Vector EA =(-x, 1-y, -z) y vector EC=(1-x, -y, -z).

Supongamos que el vector n es el vector normal de la superficie EAC:

Vector n=vector EA×vector EC=(-z,-z,x-y-1)

Vector m*vector n=-zz1 zz1 0=0.

∴Vector m⊥Vector n, ∴Plano AEC⊥Plano PDB

(2) Análisis: ∫PD =√2, e es el punto medio de PB.

Luego las coordenadas del punto:

D (0, 0, 0), A (0, 1, 0), B (1, 1, 0), C (1, 0). ) , 0)

P(0, 0, √2), E(1/2, 1/2, √2/2)

Vector EA = (-1/ 2 ,1/2,-√2/2)= > |Vector EA|=1

Vector m=(√2,-√2,0)= = Vector m|=2< / p>

Vector EA*vector m=-√2

Cos lt vector EA, vector m gt=(vector EA*vector m)/(|vector EA|*|vector m|) = -√2/2

∴AE forma un ángulo de 45° con el plano PDB.