Dominio de frecuencia (dominio de frecuencia): la variable independiente es la frecuencia, es decir, el eje horizontal es la frecuencia y el eje vertical es la amplitud de la señal de frecuencia, lo que generalmente se denomina diagrama de espectro. Un espectrograma describe la estructura de frecuencia de una señal y la relación entre la frecuencia y la amplitud de la señal en esa frecuencia.
Al realizar un análisis en el dominio del tiempo de señales, a veces los parámetros en el dominio del tiempo de algunas señales son los mismos, pero esto no significa que las señales sean exactamente iguales. Debido a que la señal no solo cambia con el tiempo, sino que también está relacionada con la frecuencia, la fase y otra información, es necesario analizar más a fondo la estructura de frecuencia de la señal y describir la señal en el dominio de la frecuencia. La transformación de señales dinámicas del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia se logra principalmente mediante series de Fourier y transformadas de Fourier. Las señales periódicas se basan en series de Fourier y las señales no periódicas se basan en la transformada de Fourier. Un ejemplo sencillo de análisis en el dominio de la frecuencia se puede ilustrar en la Figura 1: Un juguete infantil en un proceso lineal simple. Este sistema lineal consta de un peso suspendido por un resorte montado en un mango. El niño controla la posición del peso moviendo el mango hacia arriba y hacia abajo.
Cualquiera que haya jugado a este juego sabe que si mueves el mango de forma más o menos sinusoidal, el peso también empezará a oscilar a la misma frecuencia, aunque la oscilación del peso no está sincronizada con el movimiento del mango. Sólo cuando el resorte no puede extenderse completamente, el peso y el resorte se moverán sincrónicamente y con una frecuencia relativamente baja.
A medida que la frecuencia aumenta cada vez más, la fase de oscilación del peso puede estar más adelantada que la fase del mango, o puede estar más retrasada. En el punto de frecuencia natural del objeto de proceso, la altura de oscilación del peso alcanzará su nivel más alto. La frecuencia natural del objeto a procesar está determinada por la masa del peso y el coeficiente de resistencia del resorte.
Cuando la frecuencia de entrada se vuelve cada vez mayor que la frecuencia natural del objeto del proceso, la amplitud de la oscilación del peso tenderá a disminuir y la fase se retrasará aún más (en otras palabras, la amplitud del peso La oscilación será cada vez menor, mientras que su desfase será cada vez mayor). A frecuencias extremadamente altas, el peso se mueve sólo ligeramente, en la dirección opuesta al movimiento del mango. Todos los objetos de proceso lineal presentan características similares. Todos estos objetos de proceso convierten una entrada de onda sinusoidal en una salida de onda sinusoidal de la misma frecuencia. La diferencia es que la amplitud y la fase de la salida y la entrada cambian. La magnitud de los cambios de amplitud y fase depende del desfase y la ganancia del objeto del proceso. La ganancia se puede definir como "el coeficiente proporcional entre la amplitud de la onda sinusoidal de salida y la amplitud de la onda sinusoidal de entrada después de la amplificación por el objeto", mientras que el desfase se puede definir como "el grado en que la señal de salida se retrasa en comparación a la onda sinusoidal de salida y a la onda sinusoidal de entrada".
A diferencia del valor K de ganancia en estado estable, la "ganancia y el retraso de fase del objeto de proceso" cambiarán dependiendo de la frecuencia de la señal de onda sinusoidal de entrada. En el ejemplo anterior, el objeto con peso de resorte no cambia significativamente la amplitud de la señal de entrada de onda sinusoidal de baja frecuencia. Esto significa que el objeto tiene sólo un coeficiente de ganancia de baja frecuencia. Cuando la frecuencia de la señal está cerca de la frecuencia natural del objeto de proceso, dado que la amplitud de su señal de salida es mayor que la amplitud de la señal de entrada, su coeficiente de ganancia es mayor que el coeficiente a baja frecuencia mencionado anteriormente. Cuando el juguete del ejemplo anterior se agita rápidamente, la ganancia de alta frecuencia del objeto en este proceso puede considerarse cero porque el peso es casi incapaz de vibrar.
El desfase del objeto del proceso es un factor excepcional. Dado que el peso oscila sincrónicamente con el mango cuando este se mueve muy lentamente, en el ejemplo anterior el desfase comienza a partir de una señal de entrada de baja frecuencia cercana a cero. Cuando se introduce una señal de alta frecuencia, el desfase es de "-180 grados", es decir, el peso y el mango se mueven en direcciones opuestas (por lo tanto, a menudo utilizamos "desfase de 180 grados" para describir la situación en la que los dos se mueven en direcciones opuestas).
El espectro de Bode muestra el espectro completo de la ganancia del sistema y el desfase del objeto de peso de resorte en el rango de frecuencia de 0,01-100 rad/segundo. Este es un ejemplo de diagrama de Bode, una herramienta de análisis gráfico inventada por Hendrick Bode en los Laboratorios Bell en la década de 1940. Esta herramienta se puede utilizar para determinar la amplitud y fase de la vibración de la señal de salida correspondiente cuando se utiliza una señal de entrada de onda sinusoidal de una frecuencia específica para controlar un objeto de proceso.
Para obtener la amplitud de la señal de salida, sólo es necesario multiplicar la amplitud de la señal de entrada por el "coeficiente de ganancia correspondiente a la frecuencia en el diagrama de Bode". Para obtener la fase de la señal de salida, sólo es necesario sumar el "valor de desfase correspondiente a la frecuencia en el diagrama de Bode" a la fase de la señal de entrada. Los coeficientes de ganancia y los valores de desfase que se muestran en el diagrama de Bode del objeto de proceso reflejan características muy específicas del sistema. Para un ingeniero de control experimentado, este diagrama dice todo lo que necesita saber sobre el objeto de proceso. Todas las características fueron precisas. le dijo. Como resultado, los ingenieros de control pueden utilizar esta herramienta no sólo para predecir "la respuesta del sistema a futuras acciones de control de onda sinusoidal", sino también para conocer "la respuesta del sistema a cualquier acción de control".
El teorema de Fourier hace posible el análisis anterior, que muestra que cualquier secuencia o señal medida continuamente puede expresarse como una superposición infinita de señales de onda sinusoidal de diferentes frecuencias. El matemático Fourier demostró este famoso teorema en 1822 y creó el conocido algoritmo conocido como transformada de Fourier, que utiliza la señal original medida directamente para calcular acumulativamente los resultados de diferentes señales de onda sinusoidal en frecuencia, amplitud y fase.
Teóricamente, las transformadas de Fourier y los diagramas de Bode se pueden usar juntos para predecir la respuesta de objetos de procesos lineales cuando se ven afectados por el tiempo de las acciones de control. Vea los detalles a continuación:
1) Utilizando el método matemático de la transformada de Fourier, el efecto de control proporcionado al objeto del proceso se descompone teóricamente en diferentes componentes o espectros de señal de onda sinusoidal.
2) El diagrama de Bode se puede utilizar para determinar los cambios que se producen cuando cada señal de onda sinusoidal pasa a través del objeto. En otras palabras, en este gráfico se puede encontrar el cambio de amplitud y fase de la onda sinusoidal en cada frecuencia.
3) Por el contrario, utilizando el método de la transformada inversa de Fourier, cada señal de onda sinusoidal modificada individualmente se puede convertir en una señal.
Dado que la transformada inversa de Fourier es esencialmente un proceso de acumulación, las características lineales del objeto del proceso garantizarán que las "diversas ondas sinusoidales teóricas calculadas en el primer paso" generen un conjunto de efectos separados que deberían ser equivalentes a los efectos producidos por el "conjunto acumulado de diferentes ondas sinusoidales" simultáneamente. Por lo tanto, la señal total calculada en el tercer paso representará "el valor real del objeto de proceso cuando la acción de control proporcionada se ingresa al objeto de proceso".
Ten en cuenta que no hay ningún sentido en estos pasos que no consista en una única onda sinusoidal generada por el controlador dibujado en el diagrama. Todas estas técnicas de análisis en el dominio de la frecuencia son conceptuales. Este es un método matemático conveniente que utiliza la transformada de Fourier (o la transformada de Laplace estrechamente relacionada) para convertir una señal en el dominio del tiempo en una señal en el dominio de la frecuencia, y luego usa un diagrama de Bode o alguna otra herramienta de análisis en el dominio de la frecuencia para resolver el problema en cuestión. Algunos problemas y, finalmente, utilice la transformada inversa de Fourier para convertir la señal en el dominio de la frecuencia en una señal en el dominio del tiempo.
La mayoría de los problemas de diseño de control que se pueden resolver con este método también se pueden resolver mediante manipulación directa en el dominio del tiempo, pero para los cálculos, suele ser más sencillo utilizar el método del dominio de la frecuencia. En el ejemplo anterior, la multiplicación y la resta se utilizan para calcular el espectro del valor real del proceso. El valor real del proceso se obtiene realizando la transformada de Fourier en la acción de control dada y luego analizándola con el diagrama de Bode.
La correcta acumulación de todas las ondas sinusoidales producirá una señal con la forma predicha por la transformada de Fourier. Si bien a veces este fenómeno no es intuitivo, un ejemplo puede ayudar a comprenderlo.
Piense de nuevo en los pesos del niño en el ejemplo anterior: el juguete de resorte, el balancín en el patio de recreo y el bote en el océano exterior. Imagine que el barco sube y baja en el mar en forma de onda sinusoidal con frecuencia w y amplitud A. También suponemos que el balancín también oscila en forma de onda sinusoidal con frecuencia 3w y amplitud A/3, y el niño oscila con una frecuencia de 3w y una amplitud de A/3. Una forma de onda sinusoidal de 5w y una amplitud de A/5 sacude el juguete. 'Tres diagramas de ondas sinusoidales separados' han mostrado cómo se vería cada movimiento de onda sinusoidal si lo miráramos por separado.
Imagínate ahora que el niño está sentado en un balancín, que a su vez está fijado a la cubierta del barco. Si los tres movimientos de onda sinusoidal separados están dispuestos correctamente, entonces el movimiento general mostrado por el juguete es aproximadamente una onda cuadrada, como se muestra en la Figura 4: la onda sinusoidal sintetizada de los tres.
Lo anterior no es un ejemplo real muy preciso, pero sí una explicación clara: la onda sinusoidal de frecuencia básica, el armónico de triple frecuencia con una amplitud de un tercio y el quinto armónico con una amplitud de una quinta parte de los armónicos de frecuencia, la suma de sus formas de onda es aproximadamente igual a una onda cuadrada con frecuencia w y amplitud A. Incluso si agrega el séptimo armónico con una amplitud de un séptimo y el noveno armónico con una amplitud de un noveno, la forma de onda total se parecerá más a una onda cuadrada. De hecho, el teorema de Fourier ya ha establecido que cuando se acumulan infinitamente ondas sinusoidales de diferentes frecuencias en una serie infinita, la señal total superpuesta resultante es una onda cuadrada con amplitud A en sentido estricto. El teorema de Fourier también se puede utilizar para descomponer señales aperiódicas en una superposición infinita de señales sinusoidales.
Es muy útil analizar el rendimiento en el dominio del tiempo resolviendo ecuaciones diferenciales, pero este método es más problemático para sistemas más complejos. Porque la carga de trabajo computacional para resolver ecuaciones diferenciales aumentará a medida que aumente el orden de la ecuación diferencial. Además, cuando las ecuaciones han sido resueltas y la respuesta del sistema no cumple con los requisitos técnicos, no es fácil determinar cómo se debe ajustar el sistema para obtener los resultados esperados. Desde una perspectiva de ingeniería, es deseable encontrar una manera de predecir el desempeño de un sistema sin tener que resolver ecuaciones diferenciales. Al mismo tiempo, también puede indicar cómo ajustar los indicadores técnicos de desempeño del sistema. El método de análisis en el dominio de la frecuencia tiene las características anteriores y es un método clásico para estudiar sistemas de control. Es un método de ingeniería que aplica el análisis gráfico en el dominio de la frecuencia para evaluar el rendimiento del sistema. Este método es un método que utiliza la frecuencia de la señal de entrada como variable para estudiar el desempeño del sistema en el dominio de la frecuencia. Las características de frecuencia se pueden obtener a partir de ecuaciones diferenciales o funciones de transferencia, y también se pueden medir experimentalmente. El método de análisis en el dominio de la frecuencia no tiene que resolver directamente la ecuación diferencial del sistema, pero puede revelar indirectamente el rendimiento del sistema en el dominio del tiempo. Mostrar convenientemente los parámetros del sistema. El impacto en el rendimiento del sistema puede indicar además cómo diseñar las correcciones. Este método de análisis es beneficioso para el diseño del sistema y puede estimar el rango de frecuencia que afecta el rendimiento del sistema. En particular, cuando hay ciertos componentes en el sistema que son difíciles de describir con modelos matemáticos, se pueden utilizar métodos experimentales para encontrar las características de frecuencia del sistema, a fin de realizar un análisis preciso y eficaz del sistema y los componentes.