Resumen de los puntos de conocimiento de cada capítulo del curso 1 obligatorio para estudiantes de bachillerato
Capítulo 1 Conceptos de Conjuntos y Funciones
1.
1. El significado del conjunto
2. Tres características de los elementos del conjunto:
(1) La certeza de los elementos tales como: la montaña más alta del mundo
(2) Mutualidad de elementos como: un conjunto compuesto por letras FELICES {H, A, P, Y}
(3) Desorden de elementos : como por ejemplo: {a, b, c } y {a, c, b} representan el mismo conjunto
3 Expresión del conjunto: { ... } Por ejemplo: {jugadores de baloncesto de nuestra escuela. }, {Pacífico, Atlántico, Océano Índico, Océano Ártico}
(1) Utilice letras latinas para representar una colección: A={jugadores de baloncesto de nuestra escuela}, B={1, 2, 3, 4, 5}
(2) Métodos de representación de colecciones: enumeración y descripción. Nota: Conjuntos de números de uso común y su notación:
El conjunto de números enteros no negativos (es decir, el conjunto de números naturales) se anota como: N
El conjunto de números enteros positivos N * o N el conjunto de los números enteros Z el conjunto de los números racionales Q Conjunto de los números reales R
1) Método de enumeración: {a, b, c...}
2) Descripción método: describe los atributos comunes de los elementos del conjunto. Los métodos escritos entre llaves representan colecciones. {x?R| x-3gt; 2}, {x| 4) Diagrama de Venn:
4. Clasificación de conjuntos:
(1) Un conjunto finito contiene un número finito. de elementos
(2) Un conjunto infinito contiene un número infinito de elementos Un conjunto de elementos
(3) Un ejemplo de un conjunto vacío que no contiene elementos: {x|x2= -5}
2. Relaciones básicas entre conjuntos
1. Relación "Contiene" - subconjunto
Nota: Hay dos posibilidades: (1) A es una parte de B; (2) A y B son el mismo conjunto.
Por el contrario: el conjunto A no está incluido en el conjunto B, o el conjunto B no incluye el conjunto A, denotado como A B o B A
2. Relación "igual": A=B (5≥5, y 5≤5, entonces 5=5)
Ejemplo: Supongamos que A={x|x2-1=0} B={-1, 1} "Dos conjuntos son iguales si los elementos son iguales"
Es decir: ① Cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo. A?A
②Subconjunto propio: si A?B y A?B, entonces el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B, denotado A B (o B A)
③ Si A ?B, B?C, entonces A?C
④ Si A?B y B?A al mismo tiempo, entonces A=B
3. contiene cualquier elemento se llama Conjunto vacío, denotado como Φ
Estipulaciones: El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, y el conjunto vacío es un subconjunto propio de cualquier conjunto no vacío.
Un conjunto con n elementos contiene 2n subconjuntos y 2n-1 subconjuntos propios
3 Operaciones sobre conjuntos
Tipo de operación intersección complemento de unión
Definir el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B, llamados la intersección de A y B. Denotado como A B (pronunciado como "A cruza B"), es decir, A B = {x | x A y x B}.
El conjunto compuesto por todos los elementos pertenecientes al conjunto A o al conjunto B se llama unión de A y B. Registrado como: A B (pronunciado 'A y B'), es decir, A B ={x|x A, o x B}).
Supongamos que S es un conjunto y A es un subconjunto de S. El conjunto compuesto por todos los elementos de S que no pertenecen a A se llama complemento (o resto) del subconjunto A en S
p>Escrito como
CSA=
Wei
En
Imagen
Sexo
Calidad A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A p>
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ.
Ejemplo:
1. Los siguientes cuatro grupos de objetos pueden formar un conjunto ( )
A Todos los estudiantes altos de una determinada clase B Artistas famosos C El recíproco de todos los libros grandes D es igual a su propio número real
2. Hay un subconjunto propio del conjunto {a, b, c}***
3. Si el conjunto M= {y|y=x2-2x 1, x R}, N={x|x≥0}, entonces la relación entre M y N es.
4. A=, B=, si A B, entonces el rango de valores es
5.50 los estudiantes hicieron dos tipos de experimentos en física y química. Se sabe que 40 personas hicieron el experimento de física correctamente y 31 personas hicieron el de química. experimenta correctamente. /p>
Hay 4 personas que hicieron ambos experimentos mal, luego hay 4 personas que hicieron ambos experimentos bien.
6. Utilice el método de descripción para expresar el conjunto M= compuesto por los puntos en la parte sombreada de la figura (incluidos los puntos en el límite).
7. A={x| x2 2x-8=0}, B={x| x2-5x 6=0}, C={x| El valor de
2. >
1. El concepto de función: supongamos que A y B son conjuntos de números no vacíos. Si de acuerdo con una determinada relación correspondiente f, para cualquier número x en el conjunto A, habrá un número único f (x) y Corresponde, entonces f: A→B se llama función del conjunto A al conjunto B. Descrito como: y=f(x), x∈A. Entre ellos, x se llama variable independiente, el rango de valores A de x se llama dominio de la función, el valor y correspondiente al valor de x se llama valor de la función y el conjunto de valores de la función {f(; x)| x∈A} se llama valor del dominio de la función.
Nota:
1. Dominio: El conjunto de números reales x que pueden hacer que la fórmula funcional tenga significado se llama dominio de la función.
La base principal para encontrar el dominio de una función es:
(1) El denominador de la fracción no es igual a cero;
(2) Grado par El radicando de la raíz cuadrada no es menor que cero;
(3) El número verdadero de la expresión logarítmica debe ser mayor que cero;
(4) La base de el exponente y la expresión logarítmica deben ser mayores que cero y no iguales a 1.
(5) Si una función se compone de algunas funciones básicas a través de cuatro operaciones aritméticas, entonces su dominio es el conjunto de valores de x. que hacen que cada parte tenga sentido.
(6) La base cero del exponente no puede ser igual a cero
(7) El dominio de la función en el problema real también debe ser. Asegúrese de que el problema real sea significativo. El método de juicio de la misma función: ①Las expresiones son las mismas (independientemente de las letras que indican las variables independientes y los valores de la función). ②Los dominios de definición son los mismos (ambos puntos deben estar presentes al mismo tiempo); tiempo)
(Ver el ejemplo relacionado 2 en la página 21 del libro de texto)
2. Rango de valores: primero considere su dominio de definición
(1) Método de observación
(2) Método de asignación
(3) Método de sustitución
3. Resumen del conocimiento del gráfico de funciones
(1) Definición: en el sistema de coordenadas rectangular plano, tomando la función y=f(x), x en (x∈A) como abscisa, la función El conjunto C de puntos P(x, y) cuyo valor y es la ordenada se llama imagen de la función y=f(x), (x ∈A). Las coordenadas (x, y) de cada punto en C satisfacen la relación funcional y=f(x), y a su vez, cada conjunto de números reales ordenados que satisfacen y=f(x) es un punto (x, y), ambos en C.
(2) Método de dibujo
A. Método de dibujo de puntos:
B. Método de transformación de imagen
Hay tres. métodos de transformación comúnmente utilizados
1) Transformación de traducción
2) Transformación de escala
3) Transformación de simetría
4. El concepto de intervalo
(1) Clasificación de intervalos: intervalo abierto, intervalo cerrado, intervalo semiabierto y semicerrado
(2) Intervalo infinito
(3) La representación recta numérica del intervalo.
5. Mapeo
En términos generales, supongamos que A y B son dos conjuntos no vacíos. Si se sigue una determinada regla correspondiente f, entonces para cualquier elemento x en el conjunto A, hay un elemento x en el conjunto B. solo cierto elemento y le corresponde, entonces se llama correspondencia f: A B es una aplicación del conjunto A al conjunto B. Descrito como "f (correspondencia): A (imagen original) B (imagen)"
Para el mapeo f: A→B, debe satisfacer:
(1) Cada elemento en el conjunto A tiene una imagen en el conjunto B, y la imagen es única;
(2) Diferentes elementos en el conjunto A pueden tener la misma imagen en el conjunto B;
(3) No es necesario que cada elemento del conjunto B tenga su imagen original en el conjunto A.
6. Funciones por partes
(1) Funciones que tienen diferentes expresiones analíticas en diferentes partes del dominio.
(2) Los valores de las variables independientes en cada parte.
(3) El dominio de definición de una función por partes es la intersección de los dominios de definición de cada segmento, y el dominio de valor es la unión de los dominios de valor de cada segmento.
Suplemento: Función compuesta
Si y=f(u)(u∈M), u=g(x)(x∈A), entonces y=f[g( x)]=F(x)(x∈A) se llama función compuesta de f y g.
2. Propiedades de las funciones
1. Monotonicidad de las funciones (propiedades locales)
(1) Función creciente
Supongamos que el dominio de la función y=f(x) es I, si para dos variables independientes cualesquiera x1, x2 en un cierto intervalo D dentro del dominio I, cuando x1lt ) es una función creciente en el intervalo D. El intervalo D se denomina intervalo monótonamente creciente de y=f(x) .
Si para los valores x1, x2 de dos variables independientes cualesquiera en el intervalo D, cuando x1lt cuando x2, f(x1)>f(x2) siempre existe, entonces f(x) se dice que es una función decreciente en este intervalo. El intervalo D se llama intervalo decreciente monótono de y=f(x).
Nota: La monotonicidad de una función es una propiedad local de la función;
(2) Características de la imagen
Si la función y=f(x) es creciente en un determinado intervalo o decreciente, entonces la función y=f(x) tiene monotonicidad (estricta) en este intervalo. En el intervalo monótono, la gráfica de la función creciente aumenta de izquierda a derecha y la gráfica de la función decreciente disminuye de izquierda a derecha.
( 3) Cómo determinar el intervalo monótono y la monotonicidad de una función
(A) Método de definición:
○1 Cualquiera Tome fórmulas x1, x2∈D y x1lt);
○4 Decidir el signo (es decir, determinar el signo de la diferencia f(x1)-f(x2));
○5 Sacar una conclusión (señalar el función f(x) Monotonicidad en un intervalo dado D).
(B) Método de la imagen (ver el ascenso y la caída de la imagen)
(C) Monotonicidad de la función compuesta
Función compuesta f[g(x) ] está muy relacionada con la monotonicidad de las funciones u=g(x), y=f(u) que la constituyen, y su regla es: "Mismo aumento y diferente disminución"
Nota: La monotonicidad de la función Un intervalo sólo puede ser un subintervalo de su dominio, y los intervalos con la misma monotonicidad no pueden escribirse juntos como su unión
8. Paridad (propiedades generales) de funciones
(1) Funciones pares
Generalmente, para cualquier x en el dominio de la función f(x), existe f(-x )=f (x), entonces f(x) se llama función par.
（2）． Funciones impares
Generalmente, para cualquier x en el dominio de la función f(x), f(-x)=-f(x), entonces f(x) se llama función impar.
(3) Características de la gráfica de funciones con propiedades pares e impares
La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje y la gráfica de una función impar es simétrica; sobre el origen.
Pasos para usar definiciones para determinar la paridad de funciones:
○1 Primero determine el dominio de la función y determine si es simétrica con respecto al origen;
○2 Determinar la relación entre f(-x) y f(x);
○3 Sacar la conclusión correspondiente: si f(-x) = f(x) o f(-x)-f (x) = 0, entonces f(x) es una función par si f(-x) =-f(x) o f(-x)+f(x) = 0, entonces f(x) es impar; función.
Nota: La simetría del dominio de la función respecto al origen es una condición necesaria para que la función tenga paridad. Primero, verifique si el dominio de la función es simétrico con respecto al origen. Si es asimétrico, la función es una función no par ni impar. Si es simétrica, (1) luego determine de acuerdo con la definición (2). ) por f(-x)±f(x)=0 o Determine f(x)/f(-x)=±1 (3) Utilice el teorema o el juicio de imagen de la función.
9. Expresión analítica de una función
(1). La expresión analítica de una función es un método para expresar una función cuando se requiere la relación funcional entre dos variables, una es encontrar las reglas correspondientes entre ellas. el otro es encontrar el dominio de la función.
(2) Los principales métodos para encontrar la fórmula analítica de una función son:
1) Método de comparación
<p>2) Método del coeficiente indeterminado
3) Método de sustitución
4) Método de eliminación de parámetros
10. El valor máximo (mínimo) de la función (consulte la página 36 del libro de texto para ver la definición)
○1 Utilice las propiedades de la función cuadrática (método de combinación) para encontrar el valor máximo (mínimo) de la función
○2 Utilice Encuentre el valor máximo (mínimo) de la función usando la imagen
○3 Utilice la monotonicidad de la función para determinar el valor máximo (mínimo) de la función:
Si la función y=f(x) está en el intervalo monótonamente creciente en [a, b] y monótonamente decreciente en el intervalo [b, c], entonces la función y=f(x) tiene el valor máximo f(b) en x=b;
Si la función y =f(x) disminuye monótonamente en el intervalo [a, b] y aumenta monótonamente en el intervalo [b, c], entonces la función y=f(x) tiene un valor mínimo f(b) en x=b;
Preguntas de ejemplo:
Encuentra el dominio de las siguientes funciones:<. /p>
⑴ ⑵
2. Supongamos que el dominio de la función es, entonces el dominio de la función El dominio de la función es _ _
3. la función es, entonces el dominio de la función es
4 La función, si, entonces =
5. Encuentra el rango de valores de las siguientes funciones:
⑴ ⑵
(3) (4)
6 Dada la función, encuentre la fórmula analítica de la función
7. la función satisface, entonces = .
8. Supongamos que es una función impar en R, y cuando , entonces =
La fórmula analítica en R es
9. intervalo monótono de:
⑴ ⑵ ⑶
10 Juzga la monotonicidad de la función y prueba tu conclusión.
11. Deje que la función determine su paridad y verifique: ．
Capítulo 2 Funciones elementales básicas
1. Funciones exponenciales
(1) Operaciones de exponentes y potencias exponenciales
1. El concepto de fórmula radical: Generalmente, si , entonces se llama raíz tercera de , donde gt 1 y ∈ *. Los números negativos no tienen raíces pares; cualquier raíz de 0 es 0 y se escribe como.
Cuando es un número impar, , cuando es un número par,
2. Potencia del exponente fraccionario
El significado de la potencia del exponente fraccionario de un número positivo se estipula de la siguiente manera:
, la potencia del exponente fraccionario positivo de 0 es igual a 0 y la potencia fraccionaria negativa la potencia exponente de 0 no tiene significado
3． Propiedades operacionales de potencias exponentes reales
(1)?;
(2);
(3).
(2) Función exponencial y sus propiedades
1. El concepto de función exponencial: Generalmente, una función se llama función exponencial, donde x es la variable independiente y el dominio de la función es R.
Nota: El rango de valores de la base de la función exponencial no puede ser un número negativo, cero o 1.
2. La imagen y las propiedades de la función exponencial
agt; 1 0lt; 1
Dominio R Definición del dominio R
Monótonamente creciente en R Monotónicamente decreciente en R
Funciones no pares y no impares Funciones no pares y no impares
La gráfica de la función pasa por el punto fijo (0, 1) La gráfica de la función pasa por el punto fijo (0, 1)
Nota: Usando la monotonicidad de la función, combinada con la gráfica, también podemos ver:
(1) En [a, b], el rango de valores es o;
(2) Si, entonces ; toma todos los números positivos si y sólo si;
(3) Para funciones exponenciales, siempre hay;
2.
1. El concepto de logaritmos: en términos generales, si , entonces el número se llama logaritmo con base y se registra como: (—base,—número real,—logaritmo)
Explicación: ○1 Preste atención a restricciones en la base, Y;
○2;
○3 Preste atención al formato de escritura de los logaritmos.
Dos logaritmos importantes:
○1 Logaritmos comunes: logaritmos con base 10;
○2 Logaritmos naturales: números irracionales como El logaritmo del logaritmo de la base. Conversión de formas exponenciales y logarítmicas
Números potencias verdaderos
= N = b
Número base
Logaritmo del exponente
p>(2) Propiedades operacionales de los logaritmos
Si, y, , , entonces:
○1 ＋;
○2 - ;
○3．
Nota: La fórmula de cambio de base
( , y ; , y ; ).
Utilice la fórmula de cambio de fondo para derivar la siguiente conclusión
(1);
(2) Función logarítmica
1. El concepto de función logarítmica: función, y se llama función logarítmica, donde es la variable independiente y el dominio de la función es (0). , ∞ ).
Nota: ○1 La definición de función logarítmica es similar a la de función exponencial. Ambas son definiciones formales. Preste atención a la distinción.
Por ejemplo: no son funciones logarítmicas, pero solo pueden llamarse funciones logarítmicas.
○2 Las limitaciones de la función logarítmica en la base: , y .
2. Propiedades de las funciones logarítmicas:
agt; 1 0lt 1
Dominio x>0 Dominio x>0
Incrementos en R y decrementos en R
Todos los gráficos de la función pasan por el punto fijo (1, 0) La función representa todos los gráficos pasar Punto fijo (1, 0)
(3) Función de potencia
1 Definición de función de potencia: Generalmente, una función de la forma se llama función de potencia, donde es a. constante.
2. Resumen de las propiedades de las funciones de potencia.
(1) Todas las funciones de potencia se definen en (0, ∞) y las gráficas pasan por el punto (1, 1);
Cuando (2), la función de potencia La La gráfica pasa por el origen y es una función creciente en el intervalo. En particular, cuando , la gráfica de la función de potencia es convexa hacia abajo cuando , la gráfica de la función de potencia es convexa hacia arriba
(3) Cuando , la gráfica de la función de potencia es una función decreciente en; el intervalo. En el primer cuadrante, al acercarse al origen desde la derecha, la imagen se acerca al semieje positivo del eje infinitamente a la derecha del eje. Cuando tiende a , la imagen se acerca al semieje positivo del eje por encima del eje. infinitamente.
Preguntas de ejemplo:
1. Dado agt; 0, a 0, la gráfica de las funciones y=ax e y=loga(-x) solo puede ser ( )
2. Cálculo: ①; ② = ;
③ =
3. /p >
4. Si el valor máximo de la función en el intervalo es 3 veces el valor mínimo, entonces a=
5. ) encontrar el dominio del rango de valores
Capítulo 3 Aplicación de funciones
1. Raíces de ecuaciones y ceros de funciones
1. : Para funciones, los números reales que son verdaderos se llaman ceros de la función.
2. El significado del punto cero de la función: El punto cero de la función es la raíz real de la ecuación, es decir, la abscisa de la intersección de la gráfica de la función y el eje. .
Es decir: la ecuación tiene raíces reales, la gráfica de la función se corta con el eje y la función tiene puntos cero.
3. Cómo encontrar el punto cero de una función:
○1 (método algebraico) para encontrar las raíces reales de la ecuación;
○2; (método geométrico) para problemas que no se pueden encontrar. Para la ecuación de la fórmula raíz, puedes relacionarla con la gráfica de la función y usar las propiedades de la función para encontrar los puntos cero.
4. Puntos cero de la función cuadrática:
Función cuadrática.
(1) △>0, la ecuación tiene dos raíces reales desiguales, la gráfica de la función cuadrática tiene dos intersecciones con el eje y la función cuadrática tiene dos puntos cero.
(2) △=0, la ecuación tiene dos raíces reales iguales, la gráfica de la función cuadrática tiene una intersección con el eje y la función cuadrática tiene un punto doble cero o un cero de segundo orden punto.
(3) △<0, la ecuación no tiene raíces reales, la gráfica de la función cuadrática no tiene intersección con el eje y la función cuadrática no tiene punto cero.
5. Modelo de función
¿Puede resolver tu problema?