La construcción dada en el trabajo original de Weierstrass es:
donde 0lt; alt; 1, b es un número impar positivo, tal que:
Esta función y La prueba de que es continua en todas partes e indiferenciable en todas partes apareció por primera vez en un artículo publicado por Weierstrass en la Academia de Ciencias de Prusia el 18 de junio de 1872.
No es difícil demostrar que esta función es continua en todas partes. Dado que el valor absoluto de cada término de una función en una serie infinita es menor que una constante, la serie con términos positivos es convergente. Se puede saber por el criterio de Weierstrass que la serie original converge uniformemente. Por lo tanto, dado que cada término funcional es una función continua en R, la serie y f(x) también son funciones continuas en R.
Lo siguiente demuestra que la función no es diferenciable en todas partes: para un punto dado x∈R, la idea de la prueba es encontrar dos series diferentes () y () que tiendan a x, tales that
lim infgt; lim sup
Esto contradice la definición de diferenciabilidad de funciones, por lo que la prueba está completa.
La mayoría de la gente creerá intuitivamente que las funciones continuas deben ser casi diferenciables. Incluso si no es diferenciable, los llamados puntos no diferenciables sólo deben representar una pequeña parte del todo. Según Weierstrass en su artículo, muchos de los primeros matemáticos, incluido Gauss, habían asumido que las partes no diferenciables de funciones continuas eran finitas o contables. Esto puede deberse a que es intuitivamente difícil imaginar una función que sea continua pero no diferenciable en un número infinito de puntos. Cuando dibujamos la gráfica de una función, siempre dibujaremos una gráfica más regular, como la gráfica de una función que satisface la condición de Lipschitz.
La función de Weierstrass puede considerarse la primera función fractal, aunque este término aún no existía. Si la función de Weierstrass se amplía en cualquier punto, la gráfica local resultante será similar a la gráfica general. Por lo tanto, no importa cuánto haga zoom, la imagen de la función no aparecerá más suave ni habrá un intervalo monótono.