¡Las siguientes son las "Notas de las clases de matemáticas de la escuela secundaria: el concepto de derivadas" compiladas para su referencia!
1. Análisis de libros de texto
El concepto de derivados es el contenido del Capítulo 1.1.2 de la optativa 2-2 del nuevo libro de texto de secundaria Educación Popular versión A. el valor promedio después de que los estudiantes hayan estudiado física. Con el trasfondo de la velocidad y la velocidad instantánea, y con base en la tasa de cambio promedio aprendida en la lección anterior, se explica la relación entre la tasa de cambio promedio y la tasa de cambio instantánea. El concepto de derivadas se obtiene a partir de ejemplos, para poder estudiar mejor la geometría de las derivadas en el futuro. Sentar las bases para el significado y las aplicaciones de las derivadas.
El nuevo libro de texto tiene grandes cambios en la forma en que maneja este tema. La diferencia entre este y el antiguo libro de texto es que parte de la tasa de cambio promedio y utiliza un método de "aproximación" intuitivo para definir la derivada. .
Pregunta 1 Tasa de expansión promedio del globo --→ Tasa de expansión instantánea
Pregunta 2 Velocidad promedio de buceo en plataforma alta --→ Velocidad instantánea --→
Según a lo anterior El análisis de la estructura y contenido de los materiales didácticos, en función del nivel cognitivo de los estudiantes, formula los siguientes objetivos didácticos y puntos clave y dificultades
2. Objetivos didácticos
1 Conocimientos y habilidades:
A través del análisis de una gran cantidad de ejemplos, experimente el proceso de transición de la tasa de cambio promedio a la tasa de cambio instantánea, comprenda los antecedentes reales del concepto de derivados. y sepa que la tasa de cambio instantánea es la derivada.
2. Proceso y métodos:
① Cultivar las habilidades de observación, análisis, comparación e inducción de los estudiantes a través de cálculos prácticos
② Experimentar la aproximación y la analogía a través de exploración de problemas, utilizar lo conocido para explorar lo desconocido y el método de pensamiento matemático desde lo específico a lo general
3. Emociones, actitudes y valores:
Comprender la connotación de las derivadas a través de la perspectiva del movimiento, para que los estudiantes puedan dominar los derivados. El concepto ya no es difícil, estimulando así el interés de los estudiantes en aprender matemáticas.
3. Puntos clave y dificultades
Puntos clave: la formación del concepto de derivados y la comprensión de la connotación de los derivados
Dificultad: explorar la tasa de cambio instantánea basada en la tasa de cambio promedio, comprender profundamente la connotación de los derivados y guiar a los estudiantes a observar a través de métodos de aproximación para superar las dificultades
4. Ideas didácticas (específicamente en la siguiente tabla)
Sesión de enseñanza de contenidos didácticos, ideas de diseño interactivo profesor-alumno, creación de escenarios, introducción de nuevas diapositivas de la lección
Revise las preguntas dejadas en la clase anterior:
En el buceo en plataforma alta, existe una relación funcional entre la altura h (unidad: m) del atleta en relación con la superficie del agua y el tiempo t (unidad: s) después del despegue: h(t)=-4.9t 2 6.5t 10. Calcula la velocidad promedio del atleta durante este período de tiempo, y piensa en las siguientes preguntas:
(1) ¿Está el atleta estacionario durante este tiempo?
(2) ¿Qué crees que hay de malo en usar la velocidad promedio para describir el estado de movimiento del atleta?
Primero revise las preguntas dejadas en la clase anterior:
A partir de la discusión e intercambio de resultados de los estudiantes, se propuso: Todos obtienen el valor promedio de los atletas durante este período de tiempo La velocidad es "0", pero sabemos que el atleta no está "estacionario" durante este tiempo. ¿Por qué sucede esto?
Despierte la curiosidad de los estudiantes y comprenda que la velocidad promedio solo puede describir de manera aproximada el movimiento de un objeto dentro de un cierto período de tiempo. Para describir el movimiento de un objeto con mayor precisión, tenemos Es necesario estudiar la velocidad en un momento determinado, es decir, la velocidad instantánea.
Permitir que los estudiantes ingresen al aula con preguntas, estimular la sed de conocimientos de los estudiantes, explorar inicialmente y mostrar connotaciones
Según el nivel cognitivo de los estudiantes, la formación de conceptos se divide en dos niveles:
p>
Combinado con el problema del buceo, aclare la definición de velocidad instantánea
Pregunta 1: Piense en cómo encontrar la velocidad instantánea del atleta, como como la velocidad instantánea en t=2?
Haga la pregunta uno, organice a los estudiantes para discutir y guíelos para que piensen naturalmente en seleccionar un momento específico como t=2 y estudien los cambios de velocidad promedio cerca de él. para encontrar la idea del problema y concretar el problema abstracto
Comprensión La connotación de derivadas es un punto importante y difícil en la enseñanza de esta clase al plantear preguntas en todos los niveles, a los estudiantes. son empujados al centro del problema, lo que permite a los estudiantes operar y experimentar intuitivamente para resaltar puntos clave y superar las dificultades
Pregunta 2: Por favor, sigamos pensando, cuando Δt toma valores diferentes, ¿qué valor deberíamos intentas calcular?
Δt
Δt
-0.1 0.1
- 0.01 0.01
-0.001 0.001
-0.0001 0.0001
-0.00001 0.00001
………. …. …
La comprensión de los conceptos por parte de los estudiantes requiere la Con la ayuda de una gran cantidad de datos intuitivos, les pedí a los estudiantes que usaran calculadoras para completar la pregunta 2 en grupos.
Ayude a los estudiantes a comprender que, a partir de la velocidad promedio, "según la velocidad anterior" El pensamiento matemático El método de "conocer y explorar lo desconocido" cultiva la capacidad práctica de los estudiantes
Pregunta 3: Cuando Δt tiende a 0, ¿cuál es la tendencia de cambio de la velocidad promedio?
Δt
p>Δt
-0,1 -12,61 0,1 -13,59
-0,01 -13,051 0,01 -13,149
-0,001 -13,0951 0,001 -13.1049
-0.0001 -13009951 0.0001 -13.10049
-0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049
……….
Por un lado, discutieron en grupos, actuaron en el escenario, mostraron los resultados de los cálculos y respondieron oralmente: en el momento t=2, cuando Δt se acerca a 0, la velocidad promedio se acerca a un cierto valor -13,1, que es la velocidad instantánea. Esta es la primera vez que experimento la idea de aproximación. Por otro lado, la animación se utiliza a través de múltiples canales para guiar a los estudiantes a observar, analizar, comparar y resumir, y experimentar la idea de aproximación; Por segunda vez, para facilitar la expresión, se utilizan símbolos simples en matemáticas para expresar, es decir, la combinación de números y formas elimina los obstáculos de pensamiento de los estudiantes, supera mejor los puntos clave y difíciles de la enseñanza. experimenta la simple belleza de las matemáticas
Pregunta 4: ¿Cómo expresar la velocidad instantánea de un atleta en un momento determinado?
Guía a los estudiantes a continuar pensando: ¿Cómo expresar la velocidad instantánea de un atleta en un momento determinado? Los estudiantes se dan cuenta de que reemplazará a 2, lo que se puede obtener por analogía
En comparación con los libros de texto antiguos, aquí no se menciona el concepto de límite, sino la definición de la velocidad instantánea del tiempo. a través de una aproximación vívida de ideas está más en línea con las reglas cognitivas de los estudiantes, mejora su capacidad de pensamiento e incorpora métodos de pensamiento especiales a los generales
Con la ayuda de otros ejemplos, el concepto derivado abstracto
Pregunta 5: ¿Cómo expresar la tasa de expansión instantánea del globo en volumen?
Analice el problema de velocidad instantánea aprendido antes para guiar a los estudiantes a obtener la expresión de la tasa de expansión instantánea
La interacción activa profesor-alumno puede ayudar a los estudiantes a ver las conexiones entre los puntos de conocimiento, ayudar a reorganizar y transferir el conocimiento y encontrar la precisión de las matemáticas en diferentes contextos prácticos, es decir, para diferentes problemas prácticos, la tasa de cambio instantáneo Lleno de diferentes significados prácticos
Pregunta 6: Si las funciones de estos dos problemas de tasa de cambio se usan para expresar, ¿cuál es la tasa de cambio instantánea de la función en ?
Con base en las dos preguntas anteriores, se propone además que la tasa de cambio instantánea de la función que estudiamos aquí es la derivada de , denotada como
(también se puede denotar como)
Guíe a los estudiantes para que abandonen la importancia práctica de problemas específicos y abstraigan la definición de derivados de superficial a profundo, de fácil a difícil, de especial a general, al mismo tiempo que ayuda a los estudiantes a completar un salto en el pensamiento; Antecedentes de la generación de derivados para que los estudiantes experimenten las matemáticas Con la influencia de la cultura, siento que las matemáticas provienen de la vida y sirven a la vida.
Extensión paso a paso
Ejemplo de expansión 1: Refinar el petróleo crudo en diferentes productos como gasolina, diésel, plásticos, etc. requiere enfriamiento y calentamiento del petróleo crudo. Si en el tiempo x h, la temperatura del petróleo crudo (unidad: ) es
(1) Calcule la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo a las 2 hy 6 h, y explique su significado.
(2) Calcule la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo en las horas 3 y 5 y explique su importancia.
Pasos:
① Animar a los alumnos a calcular la suma según la definición de derivadas
② Ya que hemos obtenido la temperatura instantánea del crudo a las 2h y 6h La tasa de cambio es -3 y 5 respectivamente. ¿Puedes explicar su significado?
③¿Todos pueden usar el mismo método para resolver el problema 2?
④Profesor y alumno *** están de acuerdo. Se puede concluir que la derivada es la tasa de cambio instantánea, que puede reflejar la velocidad del cambio del objeto
Haga preguntas paso a paso para guiar a los estudiantes a explorar en profundidad la connotación de la derivada
Desarrollar la conciencia de aplicación de los estudiantes es un curso importante de matemáticas de la escuela secundaria. Uno de los conceptos importantes defendidos por el estándar. En la enseñanza, se utilizan problemas específicos como vehículo para profundizar la comprensión de los estudiantes sobre la connotación de las derivadas y experimentar la aplicación de las matemáticas en la vida real
Práctica de variación: se sabe que el desplazamiento (m) y el tiempo t ( s) satisface la relación S(t)=-2t2 5t (1) Encuentre la velocidad instantánea del objeto en el quinto y sexto segundo
(2) Encuentre la velocidad instantánea del objeto en el tiempo t
(3) Encuentre la aceleración del movimiento del objeto en el tiempo t y determine qué movimiento hace el objeto.
Los estudiantes lo completan de forma independiente, actúan en el escenario y experimente la idea de aproximación por tercera vez
El propósito es permitir que los estudiantes aprendan a observar modelos físicos desde una perspectiva matemática, establecer conexiones entre varias disciplinas y comprender más profundamente las leyes de los cambios en las cosas. , resumir e interiorizar conocimientos
1. El concepto de velocidad instantánea
2. El concepto de derivadas
3. Métodos de pensamiento: "explorar lo desconocido con el conocido", aproximación, analogía, de lo específico a lo general
Guiar a los estudiantes a discutir e interactuar entre ellos. Luego de complementar, responder las preguntas, el docente las comentará y las entregará con diapositivas
Deje que los estudiantes resuman por sí mismos, no solo para resumir el conocimiento sino, lo que es más importante, para resumir los métodos de pensamiento matemático. Este es un proceso de reorganización del conocimiento, un proceso de integración multidimensional y un proceso de autocomprensión de alto nivel, que puede ayudar a los estudiantes a construir su propio sistema de conocimiento, aclarar el contexto del conocimiento y desarrollar buenos hábitos de estudio.
Disposición de la tarea, diseño de pizarra (obligatorio) Preguntas 2, 3 y 4 del grupo de ejercicios A en la página 10
(Opcional): Piense en la pregunta 1 del grupo de ejercicios B en la página 11. La tarea es sobre la información de los estudiantes La retroalimentación se puede utilizar para descubrir y compensar deficiencias en la enseñanza durante la tarea, mientras se presta atención a las diferencias individuales y se enseña a los estudiantes de acuerdo con sus aptitudes
El diseño de la pizarra adjunta es claro y ordenado para facilitar destacando los objetivos de conocimiento
5. Métodos de aprendizaje y métodos de enseñanza
Métodos de aprendizaje y herramientas de enseñanza
Métodos de aprendizaje:
(1) Cooperativo Aprendizaje: guíe a los estudiantes para que discutan en grupos, cooperen y se comuniquen, y discutan juntos preguntas. (Como el tratamiento de la pregunta 2)
(2) Aprendizaje independiente: guíe a los estudiantes para que participen en actividades matemáticas a través de la experiencia personal, usando la boca, el cerebro y las manos. (Como el tratamiento de la pregunta 3)
(3) Aprendizaje por investigación: guíe a los estudiantes para que ejerzan su iniciativa subjetiva y exploren activamente nuevos conocimientos.
(Como el procesamiento de preguntas de ejemplo)
Herramientas de enseñanza: computadoras, multimedia, calculadoras
Métodos de enseñanza: toda la clase se centra en el principio de enseñanza de "todo es para el desarrollo de los estudiantes". ", destacando ① acciones— —Profesores y estudiantes interactúan y exploran juntos. ②Introducción: orientación del profesor, paso a paso
(1) Introducción de nuevas lecciones: plantear preguntas y estimular la sed de conocimientos de los estudiantes
(2) Comprender la connotación de los derivados: combinación de números y formas, cálculos prácticos, organiza a los estudiantes para que exploren de forma independiente y obtengan la definición de derivadas
(3) Procesamiento de ejemplos: comience siempre desde el problema, plantee preguntas capa por capa, permítales adquirir conocimientos a través de la exploración
(4) Práctica de variación: profundizar la comprensión de la connotación de los derivados y consolidar nuevos conocimientos
6. Evaluación y análisis
Esta clase muestra la pasos desde la velocidad promedio hasta la velocidad instantánea y las derivadas. Un proceso de investigación matemática completo. Hacer preguntas, realizar cálculos y observaciones, descubrir patrones y dar definiciones permite a los estudiantes experimentar el proceso de redescubrimiento del conocimiento y promover el aprendizaje personalizado.
A juzgar por los libros de texto antiguos, el punto de partida para aprender el concepto de derivada es el límite, es decir, desde el límite de la secuencia, hasta el límite de la función, y luego hasta la derivada. Esta forma de establecer conceptos es estrictamente lógica y sistemática, pero a los estudiantes les resulta difícil comprender la definición formal de límites, lo que también afecta su comprensión de la naturaleza de las derivadas.
El nuevo libro de texto no introduce la definición formal de límites y conocimientos relacionados, pero utiliza métodos de aproximación intuitivos y vívidos para definir derivadas.
A través del cálculo de listas, los estudiantes pueden captar intuitivamente la tendencia cambiante de la función (lo que implica la definición descriptiva del límite), que es fácil de entender para los estudiantes
Las ventajas de definir; la derivada de esta manera:
1. Evitar la contradicción entre el nivel cognitivo de los estudiantes y el aprendizaje del conocimiento
2. Centrarse más en comprender la naturaleza de las derivadas
<; p> 3. Los estudiantes comprenden las ideas de aproximación. Proporciona una rica base intuitiva y cierta comprensión, lo que favorece el aprendizaje de definiciones de límites estrictas en la etapa primaria de la universidad.(Adjunto) Diseño de pizarra