(1) El vector es diferente de la cantidad. Es una cantidad que solo tiene magnitud (llamada escalar), mientras que el vector tiene magnitud y dirección que se pueden comparar; con magnitud y vector El tamaño no se puede comparar, solo se puede comparar su módulo. La etiqueta ">" es incorrecta, pero ||
⑵ Algunos vectores están relacionados con el punto de partida y algunos vectores no están relacionados con el punto de partida. Debido a que todos los vectores tienen sus propias * * propiedades (fuerza y dirección), solo estudiamos vectores que son independientes del punto de partida (es decir, vectores libres). Cuando encontramos un vector relativo al punto de partida, podemos trasladar el vector.
⑶ Los vectores paralelos (es decir, ** vectores lineales) no son necesariamente iguales, pero los vectores iguales deben ser vectores paralelos, es decir, el paralelismo vectorial es una condición necesaria para vectores iguales.
(4) El vector unitario es un vector con módulo 1, y sus coordenadas se expresan como (), donde satisface = 1 (se puede expresar como (cos, sin) (0≤2π)) .
5. La longitud del vector cero es 0, tiene una dirección y la dirección es arbitraria. El número real 0 es simplemente un número real no dirigido.
Un segmento de recta dirigido es una representación de un vector, pero eso no significa que un vector sea un segmento de recta dirigido.
2. Cuestiones relacionadas con las operaciones vectoriales
⑴La suma de un vector y un vector sigue siendo un vector.
(1) Cuando la suma de dos vectores no es una línea * * *, la dirección de es diferente de la dirección de la suma, y |||
② Cuando la suma de los dos vectores * * *Cuando las rectas tienen la misma dirección, las direcciones de , y son iguales, y;
(3) Cuando los vectores y las direcciones son opuestos, si || >||, las direcciones son las mismas, y | | = |-| |;
Si ||
⑵La diferencia entre vector y vector. La resta de vectores es esencialmente la operación inversa de la suma.
⑶La suma de los vectores conectados de extremo a extremo en el círculo (representados por segmentos de recta dirigidos) es cero.
Por ejemplo, (en △ABC)
. (en □ABCD)
(4) Cosas a tener en cuenta al juzgar dos líneas vectoriales
Si hay dos vectores distintos de cero, haga =λ (λ∈R), entonces‖ ;
Por otro lado, si ‖ y ≠0, entonces = λ.
Aquí en la "inversa", el vector distinto de cero no se señala, porque cuando =0, es paralelo a la dirección de λ.
8 propiedades importantes del producto de cantidades.
(1) El ángulo entre los dos vectores es 0≤ ≤π. Debido a que el significado geométrico del producto vectorial es la longitud de un vector multiplicada por el valor de proyección de otro vector, y su valor de proyección puede ser positivo, negativo o cero, el producto vectorial es un número real.
(2) Supongamos que , es un vector distinto de cero, es un vector unitario y es el ángulo, entonces
③ (∵ =90,
④En operaciones con números reales =0 =0 o b=0. = o = es incorrecto en operaciones con vectores, por lo que o es una condición necesaria y suficiente para =0
⑤ Misma dirección que = (=0, cos =1. );
=- (=π, cos =-1), es decir, otra condición necesaria y suficiente para ‖ es
O = = =.
Si las coordenadas del punto inicial y final del segmento de línea dirigido que representa el vector son (,) y (,) respectivamente, entonces =
⑥ )
⑦El producto de cantidad no es adecuado para la ley asociativa de la multiplicación
Por ejemplo (porque se usa la línea * * * y se usa la línea * * *)
El producto de la cantidad se elimina. El método no es válido.
Si y son todos vectores distintos de cero, no tiene sentido porque los vectores son inseparables. al teorema básico de los vectores planos y la traslación.
⑴El teorema fundamental de los vectores planos es la base para la representación de coordenadas de vectores planos, que muestra que cualquier vector en el mismo plano se puede expresar como una combinación lineal de. otros dos vectores no lineales.
⑵El teorema básico de los vectores planos se puede entender combinando el modelo de descomposición de fuerzas en física.
(3) Fórmula de traducción de puntos:
La fórmula de coordenadas del nuevo punto después de que el punto se traduce por el vector de traducción dado es
Por el contrario, se calcula a partir del nuevo punto. La fórmula del punto antiguo se convierte en
La fórmula para encontrar el vector de traslación basándose en los puntos antiguo y nuevo es
(4) Imagen (gráfico) traducción:
Dado el vector de traducción =, busque la nueva fórmula analítica a partir de la fórmula analítica anterior y use la fórmula
para sustituir la fórmula analítica anterior y ordenarla;
Encuentre la fórmula analítica anterior a partir de la nueva fórmula analítica y use esta fórmula
para sustituir el nuevo estilo y obtenerlo.
Al aplicar la fórmula anterior, debe tenerse en cuenta que las coordenadas antes de la traducción, las coordenadas después de la traducción y las coordenadas del vector de traducción en la fórmula están todas en el mismo sistema de coordenadas.
Por lo general, se pueden utilizar los dos métodos siguientes para determinar el vector de traducción:
1. Método de coincidencia: haga coincidir según los requisitos de la pregunta. Si se simplifica, la coincidencia puede ser. : Entonces la fórmula es en este momento El vector de traducción es
2. Método de coeficiente indeterminado: sustituya en la fórmula según sea necesario y luego calcule de acuerdo con los requisitos de la pregunta.
Ejemplo clásico
El ejemplo 1 son dos vectores que no son * * líneas,
Conocido
Si tres puntos * * * Línea , evaluar.
Debido a que la recta * * * de tres puntos debe tener un número real, la ecuación aproximadamente se puede encontrar basándose en las condiciones conocidas y la condición de que los vectores sean iguales.
Solución: Omitir ∴ =-1.
Comentarios
Usando las condiciones necesarias y suficientes de la recta vectorial * *, a veces es fácil resolver el problema de la recta * * * de tres puntos en geometría.
El ejemplo 2 demuestra que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto.
El análisis de ideas utiliza el método de combinar "forma" y "número" para digitalizar figuras geométricas a través del sistema de coordenadas rectangulares, lo que puede resolver este problema de manera más concisa y sencilla.
Demuestra que se establece el sistema de coordenadas rectangular, como se muestra en la figura.
Ajustes
Así que es el más alto del mundo, por lo que las tres alturas se juntan en un mismo punto.
Comentario sobre esta cuestión. La cuestión de si dos rectas son perpendiculares se transforma en la cuestión de si el producto de dos vectores distintos de cero es cero.
Ejemplo 3 Vector conocido
Cumple las condiciones,
Demuestra que: △ es un triángulo equilátero.
Al analizar las dos ecuaciones en las condiciones de observación y vincular el significado geométrico de los módulos vectoriales y la suma, se puede construir una prueba gráfica, como se muestra en la Figura 1. Según las condiciones, es fácil saber que O es un punto fijo, por lo que el sistema de coordenadas se puede seleccionar adecuadamente. Con la ayuda de operaciones de coordenadas vectoriales, se pueden algebraizar problemas geométricos, como se muestra en la Figura 2. Si se elige arbitrariamente y mediante un uso inteligente de las deformaciones triangulares, se puede demostrar que la relación entre lados o ángulos se puede ampliar.
Método 1: Como se muestra en la Figura 1.
El método de prueba 2 se muestra en la Figura 2.
Prueba 3: Según || =,
fabricación
permitiendo
puede obtener || triángulo.
Método de demostración 4: Configuración
Con el || = conocido, es un triángulo equilátero.
Prueba 5: Obtenido de la misma prueba 4, entonces = entonces, que se puede demostrar que es un triángulo equilátero.
Comente las cinco pruebas anteriores, que no solo logran una gran colección de importantes conocimientos sobre vectores, sino que también amplían los horizontes de los estudiantes a través de la combinación de vectores, triángulos y geometría, y cultivan la capacidad de los estudiantes para comprender de manera integral. aplicar conocimientos.
Como se muestra en la figura del Ejemplo 4, el punto conocido es el centro de gravedad de △.
(1) Buscar;
2 Si el centro de gravedad es δ, verificar:
El análisis de ideas hace pleno uso de las operaciones geométricas de los vectores, El teorema y la inferencia del paralelismo vectorial, el vector relevante se puede representar mediante un vector conocido.
Solución: (1)
2. Obviamente
Porque es el centro de gravedad,
so =
Hay una línea * * * que parte de tres puntos, por lo que solo hay un número real.
Y =-=
,
Por lo tanto
=. Y porque no * * * funciona, entonces<. /p>
, eliminación, terminando 3 =, por lo tanto.
La clave para establecer una relación entre comentarios y se extrae de la línea de tres puntos. Por tanto, necesitamos utilizar vectores conocidos de forma inteligente para representar vectores desconocidos.
Ejemplo 5 Como se muestra en la figura, la base, ∞, y los lados del prisma triangular rectángulo son los puntos medios de z.
(1) Encuentra la longitud;
(2) Encuentra el valor
(3) Verifica ⊥.
Análisis de ideas; y establecimiento Uno toma el sistema de coordenadas espaciales como origen, escribe las coordenadas de los puntos relevantes y realiza operaciones relacionadas.
Solución: Como se muestra en la figura, establecer un sistema de coordenadas espacial rectangular O- con el origen.
(1) Según el significado de la pregunta, es = (0, 1, 0), = (1, 0, 1).
∴|=
= .
⑵ Según el significado de la pregunta, obtenga A1 (1, 2), B (0, 1, 0), C (0, 0, 0), B1 (0, 1, 2).
∴ =(1,-1,2), =(0,1,2).
|= ,| 〈 , 〉 =
(3) Obtener (0, 0, 2) Según el significado de la pregunta, m(
=(-1,1,-2), =( .
= .
∴ ⊥ ,∴ ⊥C.
La clave para este tipo de preguntas es utilizar las condiciones conocidas en la pregunta para seleccione los puntos apropiados para establecer el sistema de coordenadas espaciales, escriba las coordenadas de los puntos correspondientes.
En el ejemplo 6, la base ABCD es un paralelogramo, = {4, 2, 0}, = {-1,. 2, -1}.
(1) Verificación: abajo pa⊥ABCD;
⑵ Encuentra el volumen de la pirámide P-ABCD; ) Defina operaciones vectoriales:
( × =
Intente calcular el valor absoluto de (×); explique su relación con el volumen P-ABCD de la pirámide y adivine la forma geométrica. significado de la operación vectorial
El análisis de la idea se basa en las coordenadas del vector dado, combinadas con el algoritmo
Solución: (1) ∵∴AP⊥AB
p>
∵AP.⊥AD, ∵AB y AD son dos líneas rectas que se cruzan en el ABCD inferior, ∴AP⊥ABCD inferior
⑵ Si el ángulo entre y es , entonces
V= | |=
⑶|( × ) |=|-4-32-4-8|=48.
Es tres veces el volumen de la pirámide cuadrangular P-ABCD
Adivina:| (×) |El volumen de un paralelepípedo con AB, AD y AP como lados (o el volumen de una pirámide cuadrada regular con AB, AD y AP como lados) se puede expresar geométricamente.
Comentarios: Este tema examina la representación coordinada de los vectores espaciales, el producto de los vectores espaciales, las condiciones necesarias y suficientes para que los vectores espaciales sean verticales, la fórmula de cálculo para el ángulo entre vectores espaciales, el teorema de determinación de que una recta es perpendicular a un plano, la fórmula del volumen de una pirámide, etc.
Ejemplo 7, como se muestra en la figura, una elipse y una recta son conocidos: p es el último punto, el rayo OP cruza la elipse y el punto R, el punto Q está en OP y satisface OQ ||| Cuando el punto P se mueve sobre L, encuentre la ecuación de trayectoria de punto Q y explique qué tipo de curva es la trayectoria.
El análisis del pensamiento lo tratará como un vector, por lo que es tangente en la misma dirección utilizando las condiciones necesarias y suficientes de las líneas vectoriales. del vector plano puede resolver rápidamente el problema
Solución: Supongamos que
∵, la misma dirección, y |OQ||OP|=
Sustituir. en l ecuación (1)
Isotropía
Sustituir en ecuación elíptica (2)
De ① y ②, no todos son 0), punto Q La trayectoria de es una elipse (excluyendo el origen).
Comentario: utilizar el conocimiento vectorial como línea principal para resolver problemas de geometría analítica y expresar condiciones conocidas en forma de coordenadas vectoriales puede lograr el propósito de resolver problemas. .
Ejemplo 8 Dibuja rectas tangentes PA, PB desde el punto P (a, b) fuera de la parábola.
① Encuentra las coordenadas de los puntos tangentes A y B (donde la coordenada x de A es mayor que la coordenada x de B).
②El valor obtenido.
③Cuando ∠APB es un ángulo agudo, encuentre el rango de la ordenada del punto p.
Solución: ① Derive de =2x, asumiendo entonces la coordenada x del punto tangente es decir, la ecuación tangente es.
Dado que esta recta tangente pasa por el punto P, se dibujan dos rectas tangentes, entonces >:0, por lo que la coordenada del punto tangente es a.
②
④Si ∠APB es un ángulo agudo, entonces hay >0, entonces 4b+1
Sprint de calentamiento
1. Preguntas de opción múltiple
1 Dada la suma vectorial, se cumple la siguiente ecuación ().
A.| -| |=| |
B.
C.|
2. Vectores conocidos, entre los cuales el vector de la recta que satisface la condición * * * tiene ().
a 16 b 13 c .
3. Después de traducir la imagen de la función por vector, la expresión analítica de la función resultante es igual a ().
A.B.
C.D.
4 Se sabe que si el ángulo entre y es obtuso, el rango de valores de es ().
A.> B. ≥ < ≤
5. El ángulo entre los vectores dados = y = es 60°, y la relación posicional entre la línea recta y el círculo es ( ).
A. Tangencia b. Intersección c. Separación d.
6. Hay cuatro puntos diferentes A, B, C y D en el plano. La forma regular conocida es ().
A. Triángulo rectángulo b. Triángulo isósceles c. Triángulo rectángulo isósceles d. Triángulo equilátero
7. ).
A. 0 aC
8. Dada la * * * recta de tres puntos A, B y C, las ordenadas de los tres puntos A, B y C son 2. respectivamente, 5, 10, entonces la relación del punto A es ().
A.B.C.D.
9. La siguiente afirmación es correcta ()
A. Tres vectores cualesquiera que no sean * * líneas pueden formar una base del espacio.
B. La moda del vector base en la base ortogonal unitaria es 1 y son perpendiculares entre sí.
C. No hay * * * tres vectores en el plano que puedan formar la base ortogonal unitaria del espacio.
d Siempre que un punto p en el espacio tenga tres números reales ordenados x, y, z, y, z, de modo que se satisfagan los cuatro puntos o, a, b, c, se forma un base del espacio.
10. El vector unitario que también es perpendicular es ()
A.b .(c .()D .D .() o ()
11. Si es así, el rango de valores de || es ().
A (1, 5) BC
12. un objeto. , para mover el objeto de un punto a otro, el trabajo realizado por la fuerza resultante es ()
A.10b . en los espacios en blanco
.13. Si hay un número real... para un vector... no todo es cero, entonces..., + se cumple, entonces este vector... se llama. "correlación lineal". Según esta regla, los números reales que pueden explicar la "correlación lineal" se pueden tomar por turnos (escriba sólo un conjunto de valores, sin considerar todas las situaciones)
14. La recta es tangente al círculo después de trasladar el vector, el valor del número real m es igual a
15. Se sabe que, < 0, =
El ángulo con. es
Si se conoce, entonces los dos lados del paralelogramo son altos y largos
Resuelve el problema
17. paralelogramo ABCD, los puntos A y M son los puntos medios de la recta AB, y las rectas CM y BD se cruzan en el punto p.
(1) Si se encuentran Las coordenadas del punto c
⑵Cuando || = ||, encuentre la trayectoria del punto p.
18 La relación se conoce y se cumple: donde k > 0
(1) Expresar. it con k(2) Encuentra el valor mínimo y el tamaño del ángulo en este momento C A
19 Como se muestra en la figura, el cuadrado y el ángulo recto isósceles g.
△ ACB=, e, f c a
son los puntos medios de AB y BC respectivamente, y G es el punto
(1) Si lo eres. tratando de determinar la posición de un punto; B
⑵ Intente encontrar el valor de < > cuando se cumpla la condición (1).
20. Como se muestra en la figura, se sabe que la pirámide triangular P-ABC está en un determinado
En el sistema de coordenadas rectangular, P
(1) dibuje este sistema de coordenadas cartesianas del espacio, referenciado a c.
En ángulo con respecto a la dirección positiva del eje.
(2) Verificación: B
(3) Si m es el punto medio de BC,
encuentra el ángulo entre la recta AM y el plano PBC.
Respuesta
Respuestas de opción múltiple:
1.c; 2.c; 4.b; 7.d;8.c;9.b;10.d;11.b;12.C
Rellena los espacios en blanco:
13. 4c, 2c, c.55438+04.3 o 13.
15. 16.;
Respuesta a la pregunta:
17. (1) Sea el punto C (), es decir, el punto.
(2) Formular reglas
=3
ABCD es un rombo.
Es decir,
Por tanto, la trayectoria del punto P toma como centro (5, 1), como radio 2, y elimina los dos puntos de intersección con la recta y. =1.
18. (1) Ambos lados son cuadrados,
es decir,
Por tanto, el valor mínimo de ∴ en este momento es, que es el ángulo. con es .
19. (1) Soporte 1
Utilizando C como origen de coordenadas, establezca las coordenadas espaciales rectangulares.
Es C-x, y, z, sea AC = CB = a.
AG=x, luego A(0, A, 0), (0, 0, A),
G(0, a, x), E().
g es el punto medio de .
〈 〉=
20. (1) Tome A como origen de coordenadas O, AC como eje Oy, la recta donde se encuentra AP como eje Oz y la El ángulo positivo con el eje Ox es de 30°;
(2) Quitando la tarjeta;
(3) Incluso para AM y PM, se puede demostrar que ∠AMP es el ángulo entre AM y el plano PBC, n=
Por lo tanto, el ángulo es 45°.