Fórmula de la suma de dos ángulos
sin(A B)= Sina cosb cosa sinb sin(A-B)= Sina cosb-sinb cosa
cos( A B )= cosa cosb-Sina sinb cos(A-B)= cosa cosb Sina sinb
tan(A B)=(tanA tanB)/(1-tanA tanB)tan(A-B)=(tanA-tanB) / (1 tanA tanB)
ctg(A B)=(ctgActgB-1)/(ctg B ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB 1)/(ctg B-ctgA)
Fórmula del doble ángulo
tan2A = 2 tana/(1-tan2A)ctg2A =(ctg2A-1)/2c TGA
cos2a = cos2a-sin2a = 2 cos2a-1 = 1 -2 sin2a
Fórmula del medio ángulo
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√(( 1-cosA )/2)
cos(A/2)=√((1 cosA)/2)cos(A/2)=-√((1 cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1 cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1 cosA))
ctg(A/2)=√((1 cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1 cosA)/((1-cosA))
Producto de suma y diferencia
2 Sina cosb = sin(A B) sin(A-B)2 cosa sinb = sin(A B)-sin(A-B)
2 cosa cosb = cos(A B )-sin(A-B)-2 sinasinb = cos(A B)-cos(A-B)
sinA sinB = 2 sin((A B)/2)cos((A-B)/2 cosA cosB = 2 cos ((A B)/2)sin((A-B)/2)
tanA tanB = sin(A B)/cosa cosb tanA-tanB = sin(A-B)/cosa cosb
ctgA ctgBsin(A B)/Sina sinb-ctgA ctgBsin(A B)/Sina sinb
La suma de los primeros n términos de alguna serie
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n = n(n 1)/2 1 3 5 7 9 11 13 15 … (2n-1)= N2
2 4 6 8 10 12 14 … (2n)= n (n 1) 12 22 32 42 52 62 72 82 … N2 = n(n 1)(2n 1)/6
13 23 33 43 53 63 …n3 = N2(n 1)2/4 1 * 2 2 * 3 3 * 4 4 * 5 5 * 6 6 * 7 … n(n 1)= n(n 1)(n 2)/3
Teorema del seno a/sinA=b /sinB=c /sinC=2R Nota: donde r representa el radio del círculo circunstante del triángulo.
Teorema del coseno b2=a2 c2-2accosB Nota: El ángulo B es el ángulo entre el lado A y el lado c.
La fórmula de la longitud del arco l=a*r a es el número de radianes del ángulo central r>; 0 fórmula del área del sector s=1/2*l*r
Multiplicación y factorización a2-B2 =(a b)(a-b)a3 B3 =(a b)(a2-a b B2)a3-B3 =(a-b(a2 a b B2))
Desigualdad del triángulo |≤| a | b | | a-b |≤| a | b | a |≤b < = gt; | ≤a≤|a|
Solución de ecuación cuadrática de una variable -b √(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
Raíces y coeficientes La relación x 1 x2 =-b/a x 1 * x2 = c/a Nota: Teorema de Vietta.
Discriminante
B2-4ac=0 Nota: Esta ecuación tiene dos raíces reales iguales.
b2-4ac >0Nota: La ecuación tiene dos raíces reales desiguales.
B2-4ac lt;0 Nota: La ecuación no tiene raíces reales, pero es el número complejo del yugo.
Fórmula del poder de reducción
(sin^2)x=1-cos2x/2
(cos^2)x=i=cos2x/2 p>
Fórmula general de funciones trigonométricas
Supongamos tan(a/2)=t
sina=2t/(1 t^2)
cosa=(1-t^2)/(1 t^2)
tana=2t/(1-t^2)
Fórmula 1:
Sea α cualquier ángulo, los valores de las mismas funciones trigonométricas con los mismos ángulos del borde terminal son iguales:
sin(2kπ α)=sinα
cos( 2kπ α)=cosα
tan(2kπ α)=tanα
cot(2kπ α)=cotα
Fórmula 2:
Supongamos que α es cualquier ángulo. La relación entre el valor de la función trigonométrica de π α y el valor de la función trigonométrica de α;
Seno (π α)=-seno α
cos(π α)=-cosα
tan(π α)=tanα
cot(π α)=cotα
Fórmula 3:
Cualquier ángulo α y -α valor de función trigonométrica La relación;
Seno(-α)=-senoα
cos(-α)=cosα
tan( -α)=-tanα
p>Chaveta (-α) = -Cotter α
Fórmula 4:
La relación entre los valores de la función trigonométrica de π-α y α se pueden expresar mediante la fórmula 2 y la fórmula 3 Obtener:
Seno(π-α)=senoα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=- tanα
cot(π-α)=-coα
Fórmula 5:
La relación entre Los valores de las funciones trigonométricas de 2π-α y α se pueden calcular usando la fórmula 1 y la fórmula 3:
Seno(2π-α)=-seno α
cos(2π -α)=cosα
tan(2π-α )=-tanα
Kote (2π-α)=-Kote α
Fórmula 6:
π/2 α y 3 π/2 α La relación con el valor de la función trigonométrica de α;
sin(π/2 α)=cosα
cos( π/2 α)=-sinα
tan (π/2 α)=-cotα
cot(π/2 α)=-tanα
sin (π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2 α)=-cosα
cos(3π/2 α)=sinα
tan(3π/2 α)=-cotα
cot(3π/2 α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(mayor que k∈Z)
Fórmula de inducción en memoria
Resumen legal. ※.
La fórmula de inducción anterior se puede resumir de la siguiente manera:
Para el valor de la función trigonométrica de k π/2 α (k ∈ z),
①Cuando k es un número par, obtenga el valor de la función α con el mismo nombre, es decir, el nombre de la función permanece sin cambios
② Cuando k es un número impar, obtenga el valor de cofunción correspondiente a α, es decir, sin→cos; cos→sin; Tan→Kote, Cote → Tan;
(Los números pares e impares permanecen sin cambios)
Luego, al tratar α como un ángulo agudo, agregue el signo del valor de la función original.
(Ver el cuadrante para símbolos)
Por ejemplo:
Sin (2π-α) = sin (4 π/2-α), k = 4 es un número par, entonces tomamos senα.
Cuando α es un ángulo agudo, 2π-α ∈ (270, 360), sen (2π-α) < 0, y el símbolo es "-".
Entonces sen (2 π-α) =-sen α.
La fórmula de memoria anterior es:
De impar a par, el símbolo mira el cuadrante.
Los símbolos en el lado derecho de la fórmula son el ángulo k 360 α (k ∈ z), -α, 180 α, que es 360-α cuando α se considera un ángulo agudo.
Se puede recordar el signo del valor de la función trigonométrica original en el cuadrante.
Los nombres de las inducciones horizontales permanecen sin cambios; los símbolos miran los cuadrantes.
¿Cómo determinar los signos de varias funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes? También puedes recordar la fórmula "un par completo; dos senos; la tercera es tangente; cuatro cosenos".
El significado de esta fórmula de 12 palabras es:
Las cuatro funciones trigonométricas en cualquier ángulo en el primer cuadrante son " ";
Solo el seno en el segundo cuadrante es " ", el resto son "-";
La función tangente del tercer cuadrante es " ", y la función de cuerda es "-";
Sólo el El coseno del cuarto cuadrante es " ", y los demás Todos son "-".
Otros conocimientos de funciones trigonométricas:
Relaciones básicas de funciones trigonométricas de ángulos congruentes
1.
Relación recíproca:
tanα cotα=1
sinα cscα=1
cosα secα=1
Relación entre negocios:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
Relación cuadrada:
p>
sen^2(α) cos^2(α)=1
1 tan^2(α)=sec^2(α)
1 cot^ 2(α)=csc^2(α)
Método de memoria hexagonal para relaciones de funciones trigonométricas equiangulares
Método de memoria hexagonal: (ver imagen o enlace de referencia)
El hexágono regular con la estructura de "bobinar, cortar, cortar; positivo izquierdo, resto derecho y 1 en el medio" es el modelo.
(1) Relación recíproca: las dos funciones en la diagonal son recíprocas
(2) Relación de cociente: el valor de la función en cualquier vértice del hexágono es igual al producto de valores de función en dos vértices adyacentes.
(Principalmente el producto de los valores de la función trigonométrica en ambos extremos de las dos líneas de puntos). De esto se pueden derivar relaciones comerciales.
(3) Relación cuadrática: en un triángulo sombreado, la suma de los cuadrados de los valores de la función trigonométrica en los dos vértices superiores es igual al cuadrado del valor de la función trigonométrica en el vértice inferior.
La fórmula de la suma y diferencia de dos ángulos
2. La fórmula trigonométrica de la suma y diferencia de dos ángulos.
sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ
p>
cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ
tanα tanβ
tan(α β)=————
1-tanα tanβ
tanα-tanβ
tan(α-β)=————
1 tanα tanβ
Fórmula de ángulo doble
13. Fórmulas de seno, coseno y tangente de ángulo doble (fórmulas para aumentar potencia y restar ángulos)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos ^2(α)-sin^2 (α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
2tanα
tan2α=——— —
1- tan^2(α)
Fórmula de medio ángulo
4. Fórmulas de seno, coseno y tangente de medio ángulo (reducción de potencia y fórmula de expansión de ángulo)
1-cosα
sen^2(α/2)=——————
2
1 cosα
cos^2(α /2)=——————
2
1-cosα
tan^2(α/2)=——————
1 cosα
Fórmula general de funciones trigonométricas
⒌Fórmula general
2 toneladas (α/2)
sinα=————
1 tan^2(α/2)
1-tan^2 (α/2)
cosα=—— ——
1 tan^2(α/2)
2 toneladas (α/2)
tanα=————
1-tan^2(α/2)
Derivación de la fórmula universal
Derivación adicional:
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^ 2(α) sin^2(α))...*,
(Porque cos 2 (α) sin 2 (α) = 1)
Poner * Divide la fracción hacia arriba y hacia abajo por COS 2 (α) para obtener SIN 2 α = TAN 2 α/(1 TAN 2 (α)).
Luego reemplaza α con α/2.
De manera similar, se puede derivar una fórmula universal para el coseno. Comparando el seno y el coseno, se puede obtener la fórmula universal de la tangente.
Fórmula del triple del ángulo
Las fórmulas del seno, coseno y tangente del triple del ángulo
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
3tanα-tan^3(α)
tan3α=————
1-3tan^2 (α)
Derivación de la fórmula del ángulo triple
Derivación adicional:
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin 2αcosα cos 2αsinα )/(cos 2αcosα-sin 2αsinα)
=(2sinαcos^2(α) cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3 (α)-cosαsin^ 2(α)-2sin^2(α)cosα)
Dividido por COS 3 (α), obtenemos:
tan3α=(3tanα-tan ^3(α)) /(1-3tan^2(α))
sin 3α= sin(2α α)= sin 2αcosα cos 2αsinα
=2sinαcos^2(α ) (1-2sin^ 2(α))sinα
=2sinα-2sin^3(α) sinα-2sin^2(α)
=3sinα-4sin^3( α)
cos 3α= cos(2α α)= cos 2αcosα-sin 2αsinα
=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)-cosα (2cosα-2cos^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
Eso es ,
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
Memoria asociativa de fórmulas trigonométricas
Método de la memoria: Homofonía y asociación.
Triángulo sinusoidal: triángulo de 3 yuanes menos 4 yuanes (responsabilidad (reducida a un número negativo), por lo que "ganar dinero" (suena como "seno").
Ángulo triple del coseno: 4 yuanes menos 3 yuanes (hay un "resto" después de la resta)
☆☆ Tenga en cuenta el nombre de la función, es decir, tres veces el ángulo del seno está representado por el seno y tres veces el ángulo del coseno se representa mediante coseno
Fórmula del producto de suma y diferencia
Fórmula del producto de suma y diferencia de funciones trigonométricas
α β α-β
sinα sinβ=2sin— - cos— -
2 2
α β α-β
sinα-sinβ=2cos— - sin— -
2 2
α β α-β
cosα cosβ=2cos— - cos— -
2 2
α β α-β
cosα-cosβ=-2sin— - sin— -
2 2
La fórmula del producto y diferencia
⒏La fórmula del producto y diferencia de funciones trigonométricas.
sinαcosβ= 0.5[sin(α β) sin(α-β)]
cosαsinβ= 0.5[sin(α β)-sin(α-β)]
cosαcosβ= 0.5[cos(α β) cos(α-β)]
sinαsinβ=-0.5[cos(α β)-cos(α-β)]
Derivación de la fórmula del producto suma-diferencia
Derivación adicional:
En primer lugar, sabemos que SIN (a b) = SINA * COSB COSA * SINB, SIN (a-b) = SINA * COSB- COSA*SINB.
Sumamos estas dos expresiones para obtener sin(a b) sin(a-b)=2sina*cosb.
Entonces sen a * cosb =(sin(a b) sin(a-b))/2.
De manera similar, si restas las dos expresiones, obtienes COSA * SINB = (SIN(A B)-SIN(A-B))/2.
De manera similar, también sabemos que COS (a b) = COSA * COSB-SINA * SINB, COS (a-b) = COSA * COSB SINA * SINB.
Por tanto, sumando las dos expresiones obtenemos cos(a b) cos(a-b)=2cosa*cosb.
Así que obtenemos, COSA * COSB = (COS(A B) COS(A-B))/2.
De manera similar, restar las dos expresiones puede dar como resultado Sina * sinb =-(cos(a b)-cos(a-b))/2.
De esta forma obtenemos las fórmulas para la suma y diferencia de cuatro productos:
Sina * cosb =(sin(a b) sin(a-b))/2
cosa * sinb =(sin(a b)-sin(a-b))/2
cosa * cosb =(cos(a b) cos(a-b))/2
Sina * sinb =-(cos(a b)-cos(a-b))/2
Bien, con las cuatro fórmulas de la suma y la diferencia, podemos obtener las cuatro fórmulas del producto de la suma y la diferencia con una sola deformación.
Establecemos a b como X y A-B como Y en las cuatro fórmulas anteriores, luego A = (X Y)/2, B = (X-Y)/2.
Si a y b están representados por x e y respectivamente, podemos obtener cuatro fórmulas de producto suma-diferencia:
senx seny = 2 sin((x y)/2)* cos ( (x-y)/2)
sinx-siny = 2cos((x y)/2)* sin((x-y)/2)
cosx acogedor = 2cos((x y) / 2)* cos((x-y)/2)
cosx-cosy =-2 sin((x y)/2)* sin((x-y)/2)
Vector operación
Operación de suma
AB BC = AC, esta regla de cálculo se llama regla del triángulo de la suma de vectores.
Se sabe que los dos vectores OA y OB que parten de un mismo punto O son paralelogramos OACB, y la diagonal OC que parte de O es la suma de los vectores OA y OB. Este método de cálculo se llama regla del paralelogramo para la suma de vectores.
Para un vector cero y cualquier vector a, existen: 0 a = a 0 = a.
|a b|≤|a| |b| .
La suma de vectores satisface todas las leyes de la suma.
Resta
Un vector con la misma longitud y dirección opuesta que A se llama inverso de A, -(-a) = A, y el inverso de un vector cero sigue siendo un vector cero.
(1)a (-a)=(-a) a = 0(2)a-b = a (-b).
Operación de multiplicación
El producto de un número real λ y un vector A es un vector. Esta operación se llama multiplicación de vectores, denotada como λa, | λ A | igual que la dirección de A, cuando λ
Supongamos que λ y μ son números reales, entonces: (1)(λμ)A =λ(μA)(2)(λ μ)A =λA μA( 3)λ(A B)=λAλB (4)(-λ)A =-(.
Fórmula de la suma de dos ángulos
sin(A B)= Sina cosb cosa sinb sin(A-B)= Sina cosb-sinb cosa
cos(A B)= cosa cosb-Sina sinb cos(A-B)= cosa cosb Sina sinb
tan(A B)=(tanA tanB)/(1-tanA tanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1 tanA tanB)
ctg(A B)=(ctgActgB-1)/(ctg B ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB 1)/(ctg B-ctgA)
Doble Fórmula del ángulo
tan2A = 2 tana/(1-tan2A)ctg2A =(ctg2A-1)/2c TGA
cos2a = cos2a-sin2a = 2 cos2a-1 = 1-2 sin2a
Fórmula del medio ángulo
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA )/2 )
cos(A/2)=√((1 cosA)/2)cos(A/2)=-√((1 cosA)/2)
tan( A/2)=√((1-cosA)/((1 cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1 cosA))
ctg( A/2)=√((1 cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1 cosA)/((1-cosA))
Suma y diferencia Producto
2 Sina cosb = sin(A B) sin(A-B)2 cosa sinb = sin(A B)-sin(A-B)
2 cosa cosb = cos( A B)-sin (A-B)-2 sinasinb = cos(A B)-cos(A-B)
sinA sinB = 2 sin((A B)/2)cos((A-B)/2 cosa cosB = 2 cos((A B )/2)sin((A-B)/2)
tanA tanB = sin(A B)/cosa cosb tanA-tanB = sin(A-B)/cosa cosb
ctgA ctgBsin( A B)/Sina sinb-ctgA ctgBsin(A B)/Sina sinb
La suma de los primeros n términos de algunas series
1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n = n(n 1)/2 1 3 5 7 9 11 13 15 … (2n-1)= N2
2 4 6 8 10 12 14 … (2n)= n(n 1 )12 22 32 42 52 62 72 82 … N2 = n(n 1)(2n 1)/6
13 23 33 43 53 63 …n3 = N2(n 1)2/4 1 * 2 2 * 3 3 * 4 4 * 5 5 * 6 6 * 7 … n(n 1)= n(n 1)(n 2)/3
Teorema del seno a/sinA=b/sinB= c/sinC= 2R Nota: donde r representa el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo.
Teorema del coseno b2=a2 c2-2accosB Nota: El ángulo B es el ángulo entre el lado A y el lado c.
La fórmula de la longitud del arco l=a*r a es el número de radianes del ángulo central r>; 0 fórmula del área del sector s=1/2*l*r
Multiplicación y factorización a2-B2 =(a b)(a-b)a3 B3 =(a b)(a2-a b B2)a3-B3 =(a-b(a2 a b B2))
Desigualdad del triángulo |≤| a | b | | a-b |≤| a | b | a |≤b < = gt; | ≤a≤|a|
Solución de ecuación cuadrática de una variable -b √(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
Raíces y coeficientes La relación x 1 x2 =-b/a x 1 * x2 = c/a Nota: Teorema de Vietta.
Discriminante
B2-4ac=0 Nota: Esta ecuación tiene dos raíces reales iguales.
b2-4ac >0Nota: La ecuación tiene dos raíces reales desiguales.
B2-4ac lt;0 Nota: La ecuación no tiene raíces reales, pero es el número complejo del yugo.
Fórmula del poder de reducción
(sin^2)x=1-cos2x/2
(cos^2)x=i=cos2x/2 p>
Fórmula general de funciones trigonométricas
Supongamos tan(a/2)=t
sina=2t/(1 t^2)
cosa=(1-t^2)/(1 t^2)
Tana = 2t/(1-t 2) Fórmula 1:
Supongamos que α es cualquier ángulo , con Los valores de las mismas funciones trigonométricas para los mismos ángulos del borde terminal son iguales:
sin(2kπ α)=sinα
cos(2kπ α)=cosα
tan( 2kπ α)=tanα
cot(2kπ α)=cotα
Fórmula 2:
Supongamos que α es cualquier ángulo, el El valor de la función trigonométrica de π α es el mismo que α La relación entre los valores de la función trigonométrica;
Seno (π α)=-seno α
cos(π α)=-cosα
tan(π α) =tanα
cot(π α)=cotα
Fórmula 3:
La relación entre cualquier ángulo α y -α valor de la función trigonométrica;
Seno(-α)=-senoα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=- tanα
Kote ( -α)=-Kote α
Fórmula 4:
La relación entre los valores de la función trigonométrica de π-α y α puede obtenerse mediante la fórmula 2 y la fórmula 3:
Seno(π-α)=senoα
cos(π-α)=-cosα
tan(π -α)=-tanα
cot(π-α)=-coα
Fórmula 5:
La relación entre los valores de la función trigonométrica de 2π -α y α se pueden obtener usando la Fórmula 1 y la Fórmula 3:
p>
Seno(2π-α)=-seno α
cos(2π-α)= cosα
tan(2π-α)=-tanα
Kote (2π-α) = -Kote α
Fórmula 6:
La relación entre los valores de la función trigonométrica de π/2 α y α;
sin(π/2 α)=cosα
cos(π/2 α)=- sinα
tan(π/2 α)=-cotα
cot(π/2 α)=-tanα
sin(π/2-α) =cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α )=tanα
Fórmula de inducción fórmula de memoria
Resumen legal. ※.
La fórmula de inducción anterior se puede resumir de la siguiente manera:
Para el valor de la función trigonométrica de k π/2 α (k ∈ z),
①Cuando k es un número par, obtenga el valor de la función α con el mismo nombre, es decir, el nombre de la función permanece sin cambios
② Cuando k es un número impar, obtenga el valor de cofunción correspondiente a α, es decir, sin→cos; cos→sin; Tan→Kote, Cote → Tan;
(Los números pares e impares permanecen sin cambios)
Luego, al tratar α como un ángulo agudo, agregue el signo del valor de la función original.
(Ver el cuadrante para símbolos)
Por ejemplo:
Sin (2π-α) = sin (4 π/2-α), k = 4 es un número par, entonces tomamos senα.
Cuando α es un ángulo agudo, 2π-α ∈ (270, 360), sen (2π-α) < 0, y el símbolo es "-".
Entonces sen (2 π-α) =-sen α.
La fórmula de memoria anterior es:
De impar a par, el símbolo mira el cuadrante.
El símbolo en el lado derecho de la fórmula es el ángulo k 360 α (k ∈ z), -α, 180 α, que es 360-α cuando α se considera un ángulo agudo.
Se puede recordar el signo del valor de la función trigonométrica original en el cuadrante.
Los nombres de las inducciones horizontales permanecen sin cambios; los símbolos miran los cuadrantes.
¿Cómo determinar los signos de varias funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes? También puedes recordar la fórmula "un par completo; dos senos; la tercera es tangente; cuatro cosenos".
El significado de esta fórmula de 12 palabras es:
Las cuatro funciones trigonométricas en cualquier ángulo en el primer cuadrante son " ";
Solo el seno en el segundo cuadrante es " ", el resto son "-";
En el tercer cuadrante solo la tangente es " ", y las demás son "-";
En el cuarto cuadrante, sólo el coseno es " ", y los demás son sí"-".
Para la fórmula de memoria anterior, una es toda positiva, la otra es seno, la tercera es tangente y la cuarta es coseno.
Otros conocimientos de funciones trigonométricas:
Relaciones básicas de funciones trigonométricas de ángulos congruentes
1.
Relación recíproca:
tanα cotα=1
sinα cscα=1
cosα secα=1
La relación entre el cociente: sen α/cos α = tan α = sec α/CSC α.
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
Relación cuadrada:
sen^2(α) cos^2(α)=1
1 tan^2(α)=sec^2(α)
1 cot^2(α)=csc^2(α)
Funciones trigonométricas conformes Relacionales método de memoria hexagonal
Método de memoria hexagonal: (ver imagen o enlace de referencia)
La estructura es "bobinar, cortar, cortar; izquierda positiva, resto derecho y el hexágono regular 1" en el medio es el modelo.
(1) Relación recíproca: las dos funciones en la diagonal son recíprocas
(2) Relación de cociente: el valor de la función en cualquier vértice del hexágono es igual al producto de valores de función en dos vértices adyacentes.
(Principalmente el producto de los valores de la función trigonométrica en ambos extremos de las dos líneas de puntos). De esto se pueden derivar relaciones comerciales.
(3) Relación cuadrática: en un triángulo sombreado, la suma de los cuadrados de los valores de la función trigonométrica en los dos vértices superiores es igual al cuadrado del valor de la función trigonométrica en el vértice inferior.
La fórmula de la suma y diferencia de dos ángulos
2. La fórmula trigonométrica de la suma y diferencia de dos ángulos.
sin(α β)=sinαcosβ cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ
p>
cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ
tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan (α-β) =(tanα-tanβ)/(1 tanαtanβ)
Fórmula de ángulo doble
13. Fórmula de seno, coseno y tangente de ángulo doble (fórmula de aumento de potencia y resta de ángulo) )
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α )
tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))
Fórmula del medio ángulo
4. Seno, coseno y tangente del medio ángulo. fórmulas (fórmulas de reducción de potencia y expansión de ángulos)
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1 cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1 cosα)
Fórmula general de funciones trigonométricas
⒌General fórmula
sinα=2tan(α/2)/(1 tan^2(α/2))
cosα=(1-tan^2(α/2))/ (1 tan^2(α/ 2))
tanα=(2tan(α/2))/(1-tan^2(α/2))
Derivación de fórmula universal
Derivación adicional:
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α) sin^2(α))...*,
(Porque cos 2 (α) sin 2 (α) = 1)
Dividimos la fracción * hacia arriba y hacia abajo por COS 2 (α) para obtener SIN 2 α = 2 tan α/(1 tan 2 (α)).
Luego reemplaza α con α/2.
De manera similar, se puede derivar una fórmula universal para el coseno. Comparando el seno y el coseno, se puede obtener la fórmula universal de la tangente.
Fórmula del triple del ángulo
Las fórmulas del seno, coseno y tangente del triple del ángulo
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
Tres veces la fórmula del ángulo Derivación de
Derivación adicional:
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin 2αcosα cos 2αsinα)/(cos 2αcosα -sin 2αsinα)
=(2sinαcos^2(α) cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)- 2sin^2(α)cosα)
Dividiendo por COS 3 (α), obtenemos:
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan ^2(α))
p>sin 3α= sin(2α α)= sin 2αcosα cos 2αsinα
=2sinαcos^2(α) (1-2sin^2(α ))sinα
=2sinα-2sin^3(α) sinα-2sin^2(α)
=3sinα-4sin^3(α)
cos 3α= cos(2α α)= cos 2αcosα-sin 2αsinα
=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^ 3(α)-cosα (2cosα-2cos ^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
Es decir,
sin3α =3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
Memoria asociativa de fórmulas trigonométricas
Métodos de memoria: homofonía y asociación.
Triángulo sinusoidal: triángulo de 3 yuanes menos 4 yuanes (responsabilidad (reducida a un número negativo), por lo que "ganar dinero" (suena como "seno").
Ángulo triple del coseno: 4 yuanes menos 3 yuanes (hay un "resto" después de la resta)
☆☆ Tenga en cuenta el nombre de la función, es decir, tres veces el ángulo del seno está representado por el seno y tres veces el ángulo del coseno se representa mediante coseno.
Fórmula del producto de suma y diferencia
Fórmula del producto de suma y diferencia de funciones trigonométricas
senα sinβ= 2 sin((α β/2). ))cos((α-β)/2)
senα-senβ= 2cos((α β)/2)sin((α-β)/2)
cosα cosβ= 2cos((α β)/2)cos( (α-β)/2)
cosα-cosβ=-2 sin((α β)/2)sin((α-β) /2)
Fórmula de suma y diferencia
⒏La fórmula del producto y diferencia de funciones trigonométricas
sinαcosβ= 0.5[sin(α β) sin(α-β )]
cosαsinβ= 0.5 [sin(α β)-sin(α-β)]
cosαcosβ= 0.5[cos(α β) cos(α-β)]
sinαsinβ=-0.5[cos (α β)-cos(α-β)]
Derivación de la fórmula del producto suma-diferencia
Derivación adicional:
Primero, sabemos SIN (a b) =SINA*COSB COSA*SINB, SIN (a-b) =SINA*COSB-COSA*SINB.
Sumamos estas dos expresiones para obtener sin(a b) sin(a-b)=2sina*cosb.
Entonces sen a * cosb =(sin(a b) sin(a-b))/2.
De manera similar, si restas las dos expresiones, obtienes COSA * SINB = (SIN(A B)-SIN(A-B))/2.
De manera similar, también sabemos que COS (a b) = COSA * COSB-SINA * SINB, COS (a-b) = COSA * COSB SINA * SINB.
Por tanto, sumando las dos expresiones obtenemos cos(a b) cos(a-b)=2cosa*cosb.
Así que obtenemos, COSA * COSB = (COS(A B) COS(A-B))/2.
De manera similar, restar las dos expresiones puede dar como resultado Sina * sinb =-(cos(a b)-cos(a-b))/2.
De esta forma obtenemos las fórmulas para la suma y diferencia de cuatro productos:
Sina * cosb =(sin(a b) sin(a-b))/2
cosa * sinb =(sin(a b)-sin(a-b))/2
cosa * cosb =(cos(a b) cos(a-b))/2
Sina * sinb =-(cos(a b)-cos(a-b))/2
Bien, con las cuatro fórmulas de la suma y la diferencia, podemos obtener las cuatro fórmulas del producto de la suma y la diferencia con una sola deformación.
Establecemos a b como X y A-B como Y en las cuatro fórmulas anteriores, luego A = (X Y)/2, B = (X-Y)/2.
Si a y b están representados por x e y respectivamente, podemos obtener cuatro fórmulas de producto suma-diferencia:
senx seny = 2 sin((x y)/2)* cos ( (x-y)/2)
sinx-siny = 2cos((x y)/2)* sin((x-y)/2)
cosx acogedor = 2cos((x y) / 2)* cos((x-y)/2)
cosx-cosy =-2 sin((x y)/2)* sin((x-y)/2)