Teorema de aproximación de Weierstrass: una función continua en un intervalo cerrado puede aproximarse uniformemente mediante una serie polinómica. Las funciones continuas con período 2π en intervalos cerrados se pueden aproximar consistentemente mediante series de funciones trigonométricas.
Weierstrass a menudo se quedaba despierto hasta tarde con su amigo Abel. Cuando se convirtió en el principal analista del mundo y el mejor profesor de matemáticas de Europa, su primer y último consejo a sus numerosos alumnos fue "leer a Abel".
La mayoría de las ideas creativas de Weierstrass fueron concebidas cuando era un oscuro profesor de secundaria, donde no había libros avanzados. Al no poder pagar el envío, Weierstrass no pudo mantener correspondencia científica. Quizás esto fue algo bueno para él: su originalidad pudo desarrollarse libremente sin las trabas de las ideas predominantes de la época. En sus discursos siempre quiso empezar desde el principio y seguir sus propias características, y casi nunca mencionó el trabajo de otros.
La carrera matemática de Weierstrass:
Después de un año como profesor en prácticas en la escuela secundaria superior de Münster, Weierstrass escribió un artículo sobre análisis, Ensayo sobre funciones. En este artículo dedujo de forma independiente, entre otras cosas, la teoría de las integrales de Cauchy, el llamado Teorema Fundamental del Análisis. Cuando Weierstrass tenía 27 años, aplicó el método que había desarrollado a las ecuaciones diferenciales y su discusión fue madura y poderosa.
Hizo esta obra sin pensar en publicarla, sino sólo para sentar las bases de su carrera de toda la vida (sobre funciones abelianas). El pueblo sin nombre de Krone, Alemania, tiene el honor de ser el lugar donde Weierstrass publicó por primera vez su trabajo en 1842. Destaca en la historia de las matemáticas como la capital de un reino.