ζ(s)= 2γ(1-s)(2π)s-1 sin( πs/2)ζ (1-s)
No es difícil encontrar a partir de esta relación que la función zeta de Riemann toma cero cuando s=-2n (n es un entero positivo), porque sin (πs /2) es cero [Nota 3]. El punto en el plano complejo donde el valor de la función zeta de Riemann es cero se llama punto cero de la función zeta de Riemann. Entonces s=-2n (n es un entero positivo) es el punto cero de la función zeta de Riemann. Estos ceros están distribuidos de forma ordenada y tienen propiedades simples, por lo que se denominan ceros triviales de la función zeta de Riemann. Además de estos ceros triviales, la función zeta de Riemann tiene muchos otros ceros y sus propiedades son mucho más complejas que las de los ceros triviales. Se denominan ceros no triviales. El estudio de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann es uno de los temas más difíciles de las matemáticas modernas. La Hipótesis de Riemann es una conjetura sobre estos puntos cero no triviales.
Hipótesis de Riemann: Todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann se encuentran en la recta Re(s)=1/2 en el plano complejo.
Este es el contenido de la Hipótesis de Riemann, que fue propuesta por Riemann en 1859. Desde el punto de vista de la expresión, la hipótesis de Riemann parece ser una proposición pura de función variable compleja, pero en realidad es un movimiento misterioso sobre la distribución de números primos.
Un intento de demostrar la hipótesis de Riemann
Riemann 1859 en su artículo; el mandato del primer Primer Ministro de Uuml fue de un año. ouml ampszlige 'mencionó esta famosa conjetura, pero no es el propósito central de este artículo y no intentó probarla. Riemann sabía que los puntos cero no triviales de la función zeta están distribuidos simétricamente en la recta S =; frac 12, y sabía que todos sus puntos cero extraordinarios deben ubicarse en el área 0 ≤ Re(s) ≤; 1.
En 1896, Jacques Adamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin demostraron de forma independiente que no existe un punto cero en la recta Re(s) = 1. Junto con otras propiedades de los ceros extraordinarios que Riemann había demostrado, demostró que todos los ceros extraordinarios deben estar en la región 0
En 1900, David Hilbert incorporó la Hipótesis de Riemann en su famoso 23 En la pregunta, la Hipótesis de Riemann y la hipótesis de Goldbach juntas constituyen la octava pregunta de la tabla de Hilbert. Cuando se le preguntó qué haría si despertara dentro de 500 años, Hilbert dijo que su primera pregunta sería si la hipótesis de Riemann había sido probada. (Derbyshire 2003: 197; Sabbagh 2003: 69; Bollobas 1986: 16). La Hipótesis de Riemann es el único problema de Hilbert que se incluye en los Problemas Matemáticos del Premio Milenio de la Escuela Clay de Matemáticas.
En 1914, Goldfield Harold Hardy demostró que hay infinitos ceros en la recta Re(s) = frac12; Sin embargo, todavía es posible que exista un número infinito de ceros (probablemente el más importante) en otros lugares. Posteriormente, el trabajo de Hardy y John Unther Littlewood en 1921 (teorema de la línea crítica) y el trabajo de Selberg en 1942 fue calcular la densidad promedio en el punto cero de la línea crítica Re(s) = frac 12;
El trabajo en las últimas décadas se ha centrado en contar claramente las ubicaciones de un gran número de ceros (con la esperanza de encontrar contraejemplos) y en colocar un límite superior a la proporción de ceros fuera de la línea crítica (con la esperanza de encontrar contraejemplos). de bajar el límite superior a cero).
Durante las últimas décadas, muchos matemáticos han afirmado haber demostrado la Hipótesis de Riemann, pero a partir de 2007, todavía hay un pequeño número de demostraciones que no han sido verificadas. Pero ambas son cuestionadas por la comunidad matemática y la mayoría de los expertos no creen que sean correctas. Matthew R. Watkins de la Universidad de Exeter ha compilado una lista de estas afirmaciones graves y ridículas, y se pueden encontrar pruebas adicionales de estas afirmaciones en la base de datos arXiv.