Fórmula de la función zeta de Riemann: ζ(s)=∑n=1∞1ns\zeta(s)=\sum.
La función zeta de Riemann está relacionada principalmente con la teoría de números, el campo "más puro" de las matemáticas. También aparece en la estadística aplicada, la Ley de Zipf-Mandelbrot (Ley de Zipf-Mandelbrot), y en la física. Teoría matemática de la sintonización.
En la región {s: Re(s)gt; 1}, esta serie infinita converge y se convierte en una función holomorfa (donde Re representa la parte real del número complejo, lo mismo a continuación). Euler consideró el caso en el que s es un entero positivo en 1740, y Chebyshev más tarde lo amplió a sgt;1. Bornhard Riemann se dio cuenta de que la función ζ se puede extender a una función holomorfa ζ(s) definida en el campo complejo (s, s≠1) mediante el desarrollo analítico. Ésta es también la función estudiada por la Hipótesis de Riemann.
La función de Riemann se define anteriormente. Su definición básica es: R(x)=1/q Cuando x=p/q(p, q son ambos enteros positivos, p/q es una verdad reducida. Fracción); R(x)=0, cuando x=0,1 y números irracionales en (0,1).
La función zeta de Riemann ζ (s) se define de la siguiente manera: Supongamos un número complejo s, la parte real gt 1 y:
También se puede definir mediante integrales:
En la región {s: Re(s) gt; 1}, esta serie infinita converge y se convierte en una función holomorfa (donde Re representa la parte real del número complejo, lo mismo a continuación). Euler consideró el caso en el que s es un entero positivo en 1740, y Chebyshev más tarde lo amplió a sgt;1. Bornhard Riemann se dio cuenta de que la función ζ se puede extender a una función holomorfa ζ(s) definida en el campo complejo (s, s≠1) mediante el desarrollo analítico. Ésta es también la función estudiada por la Hipótesis de Riemann.