Supongamos que la longitud del cuboide es x, el ancho es y y la altura es z, entonces el área de la superficie es 6. Según la fórmula del área de superficie de un cuboide, podemos escribir:
2(xy + xz + yz) = 6
Para maximizar el volumen del cuboide V = xyz, necesitamos usar el método de multiplicador diario de Lagrang para resolver este problema de optimización restringida. Podemos simplificar la fórmula anterior para:
xy + xz + yz = 3
Definir la función lagrangiana:
L(x, y, z , λ ) = xyz + λ(xy + xz + yz - 3)
Para L, encuentre las derivadas parciales de x, y, z respectivamente, y haga que las derivadas parciales sean iguales a 0: L/?x = yz + λ(y + z) = 0 L/?y = xz + λ(x + z) = 0 L/?z = xy + λ(x + y) = 0
Resuelve este sistema de ecuaciones, podemos obtener los valores de x=y=z y λ. Según la simetría, el volumen es mayor cuando el largo, el ancho y el alto son iguales. Sustituyendo x=y=z en la ecuación de restricción xy + xz + yz = 3, obtenemos:
3x^2 = 3
x^2 = 1
x = 1
Por lo tanto, cuando el largo, ancho y alto son iguales a 1, el volumen del cuboide es el mayor. En este caso, el volumen V = 111 = 1.