La geometría riemanniana es un tipo de geometría no euclidiana, también conocida como "geometría elíptica".
La geometría riemanniana es un tipo de geometría no euclidiana, también conocida como "geometría elíptica". Fue propuesto por el matemático alemán Bernard Riemann a finales del siglo XIX. La geometría de Riemann tiene propiedades más complejas y más simetrías que la geometría euclidiana.
La geometría euclidiana es un sistema geométrico basado en el postulado de las paralelas y la definición de distancia. En la geometría euclidiana, las líneas rectas se extienden infinitamente y la distancia más corta entre dos puntos es un segmento de línea recta. Sin embargo, las líneas rectas en la geometría de Riemann son curvas y no tienen concepto de longitud fija.
Una característica importante de la geometría riemanniana es su concepto de curvatura. La curvatura es una medida de la curvatura de una curva, generalmente representada por la letra griega κ. La curvatura en la geometría de Riemann no sólo está relacionada con la curva misma, sino también con la elección del sistema de coordenadas. En otras palabras, diferentes sistemas de coordenadas pueden dar como resultado el mismo valor de curvatura. Este fenómeno se llama "teoría geodésica".
La aplicación de la geometría de Riemann se refleja en la relatividad general, la investigación de agujeros negros, la física cuántica y la teoría de cuerdas
1. Describe el comportamiento de los objetos en un campo gravitacional. En la relatividad general, el espacio y el tiempo ya no son absolutos, sino que están relacionados con el estado de movimiento de los objetos. Por ejemplo, la velocidad de la luz es constante en todas partes, lo cual es una predicción importante de la geometría de Riemann.
2. Investigación de agujeros negros: la geometría de Riemann proporciona nuevas herramientas para comprender los agujeros negros. En la geometría de Riemann, un agujero negro ya no es una región completamente "vacía", sino una región con un horizonte de sucesos. El horizonte de sucesos es una región alrededor de un agujero negro donde ningún objeto no puede escapar de la atracción gravitacional del agujero negro una vez que ingresa a esta región.
3. Física cuántica: La geometría riemanniana también se utiliza en física cuántica. Por ejemplo, el entrelazamiento cuántico es un fenómeno físico especial que viola el principio de localidad (es decir, las leyes de la física deberían ser válidas en un área local). La geometría de Riemann proporciona una manera de explicar este fenómeno teniendo en cuenta los efectos cuánticos mediante la introducción de la curvatura del espacio-tiempo.
4. Teoría de cuerdas: La teoría de cuerdas es una teoría física que intenta unificar todas las partículas y fuerzas fundamentales. En esta teoría, el espacio y el tiempo se consideran los modos de vibración de una cuerda. La geometría de Riemann proporciona un marco matemático adecuado para la teoría de cuerdas.