Generalmente, si la proporción de cada elemento en una secuencia [1] comenzando desde el segundo elemento hasta su elemento anterior es igual a la misma constante distinta de cero, la secuencia se llama Secuencias Geométricas. Esta constante se llama razón común de la secuencia geométrica, y la razón común generalmente se representa con la letra q (q≠0). Cuando utilice las primeras n sumas de la secuencia geométrica [2], asegúrese de discutir si la razón común q es 1.
Además, una sucesión aritmética se forma tomando la misma base para cada término de una sucesión geométrica en la que todos los términos son números positivos y a la inversa, tomando como base cualquier número positivo C, utilizando cada término de; una secuencia aritmética Cuando el término se usa como exponente para construir la potencia Can, es una secuencia geométrica. En este sentido, una secuencia geométrica positiva y una secuencia aritmética son "isomorfas".
Definición de mediana geométrica: A partir del segundo término, cada término (excepto el último término de una sucesión finita) es la mediana geométrica de su término anterior y del término siguiente.
(1) La fórmula de suma de los términos de la secuencia geométrica infinita decreciente:
La fórmula de suma de los términos de la secuencia geométrica infinita decreciente: El valor absoluto de la razón común es una razón geométrica infinita menor que 1 Secuencia, cuando n aumenta infinitamente, el límite se llama suma de los términos de esta secuencia geométrica infinita.
(2) La razón común de una nueva secuencia geométrica compuesta por una secuencia geométrica:
{an} es una secuencia geométrica cuya razón común es q
1. Si A=a1 a2 …… an
Fórmula de secuencia geométrica
B=an 1 …… a2n
C=a2n 1 ……a3n
Entonces, A, B y C forman una nueva secuencia geométrica, y la razón común Q=q^n
2. Si A=a1 a4 a7... a3n-2
p>B=a2 a5 a8 …… a3n-1
C=a3 a6 a9 …… a3n
Entonces, A, B y C forman una nueva secuencia geométrica, razón común Q=q
2 Propiedades de la fórmula
(1) Si m, n, p, q∈N* y m n=p q, entonces am* an=ap* aq;
(2) En una secuencia geométrica, la suma de cada k términos a su vez todavía forma una secuencia geométrica.
(3) "G es el término medio geométrico de a y b" "G^2=ab(G≠0)".
(4) Si {an} es Una secuencia geométrica, la razón común es q1, {bn} también es una secuencia geométrica, la razón común es q2, entonces {a2n}, {a3n}... son secuencias geométricas, la razón común es q1^2, q1^ 3...{can}, c es una constante, {an*bn}, {an/bn} es una secuencia geométrica y las razones comunes son q1, q1q2, q1/q2.
(5) En una secuencia geométrica, la suma de segmentos consecutivos, de igual longitud y equidistantes es una secuencia geométrica.
(6) Si (an) es una secuencia geométrica y cada término es positivo, y la razón común es q, entonces (log con a como base y el logaritmo de an) se convierte en una diferencia aritmética, y la tolerancia es log con a ya que la base es el logaritmo de base q.
(7) La suma de los primeros n términos de la secuencia geométrica Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q- 1)= (A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1) En la secuencia geométrica, tanto el primer término A1 como la razón común q no son cero.
Nota: A^n en la fórmula anterior representa la enésima potencia de A.
(8) Dado que el primer término es a1, la fórmula del término general de la secuencia geométrica con razón común q se puede escribir como an=(a1/q)*q^n, y su función exponencial y =a^ x está estrechamente relacionado, por lo que las propiedades de las funciones exponenciales se pueden utilizar para estudiar series geométricas.
3 Método para encontrar términos generales
1. Método del coeficiente indeterminado: Dado que a(n 1)=2an 3, a1=1, encuentre an para construir la secuencia geométrica a( n 1 ) x=2(an x)
a(n 1)=2an x, ∵a(n 1)=2an 3 ∴x=3
Entonces (a( n 1) ) 3)/(an 3)=2
∴{an 3} es una secuencia geométrica cuyo primer término es 4 y la razón común es 2, por lo que an 3=a1*q^ (n-1)= 4*2^(n-1), an=2^(n 1)-3
2. Método de definición: Dado que Sn=a·2^n b, encuentre el fórmula general de un.
∵Sn=a·2^n b∴Sn-1=a·2^n-1 b
∴an=Sn-Sn-1=a·2^n- 1