Capítulo 1 Funciones y limitaciones
1. La acotación de la función Si f(x)≥K1 está en el dominio de definición, la función f(x) tiene un límite inferior. en el dominio de definición, K1 es el límite inferior; si f (x) ≤ K2, entonces hay un límite superior y K2 se denomina límite superior. La condición necesaria y suficiente para que la función f(x) esté acotada en el dominio es que haya tanto un límite superior como un límite inferior en el dominio.
2. El teorema del límite de la secuencia (la unicidad del límite) la secuencia {xn} no puede converger a dos límites diferentes al mismo tiempo.
Teorema (acotación de sucesiones convergentes) Si la sucesión {xn} converge, entonces la sucesión {xn} debe ser acotada.
Si la secuencia {xn} es ilimitada, entonces la secuencia {xn} debe divergir; sin embargo, si la secuencia {xn} es acotada, no se puede concluir que la secuencia {xn} debe converger. ejemplo, la secuencia 1, -1, -1, -1) n 1... Esta secuencia es acotada pero divergente, por lo que esta secuencia.
Teorema (relación entre sucesiones convergentes y sus subsecuencias) Si la sucesión {xn} converge a a, entonces cualquiera de sus subsecuencias también converge a a. Si las dos subsecuencias de la sucesión {xn} convergen a diferentes. límite, la secuencia {xn} es divergente, como la secuencia 1, -1, -65438. Al mismo tiempo, las subsecuencias de secuencias divergentes también pueden ser convergentes.
3. El límite de la función está en la definición del límite de la función 0
Teorema (propiedad local del límite de preservación del signo) si f(x)=A cuando lim( x→x0), y A > 0 (o a; 0 (o f(x) > 0), y viceversa.
Para la función f(x) cuando x→x0, lo necesario y suficiente la condición para la existencia del límite es izquierda El límite y el límite derecho existen y son iguales, es decir, f(x0-0)= f(x0 0);
En general, si lim(x). →∞)f(x)=c, la recta y=c es la asíntota horizontal gráfica de la función y=f(x). x→x0)f(x)=∞, entonces la recta x=x0 es la función La asíntota vertical de la gráfica de y=f(x)
4. el teorema de operación límite también es infinitesimal; el producto de una función acotada y infinitesimales es infinitesimal; si F1(x)≥F2(x); ), limF1(x)=a, limF2(x)=b, entonces A ≥ B.
5 . Existen dos límites importantes: lim(x→0)(sinx/x)= lim; (x→∞)(1 1/x)x = 1. Si las secuencias {xn}, {yn} y {zn } Si se cumplen las siguientes condiciones, el criterio de contracción es: yn ≤ xn ≤ zn y limyn = a, limzn = a, entonces Limxn =
La secuencia acotada monótona debe tener un límite
6 Continuidad de funciones Definamos la función y=f(x) en la vecindad. del punto x0 Si el límite de la función f(x) existe cuando x→x0 y es igual a su valor de función f(x0) en el punto x0, es decir, lim(x→x0)f(x)=f(x0). ), entonces se llama función f(x)
Situación de discontinuidad: 1. Indefinida en el punto x=x0 2. Aunque está definida en x=x0, lim(x→x0)f(x) sí; no existe; 3. Aunque x = x0 está definido y lim (x → x0) f (x) existe, pero cuando lim (x → x0) Cuando f (x) ≠ f (x0), se dice que la función es discontinua o discontinuo en x0
Si x0 es el punto de discontinuidad de la función f(x), pero existen tanto el límite izquierdo como el derecho, se llama el primer tipo de punto de discontinuidad de la función f(. x) (si los límites izquierdo y derecho son iguales, se llama punto de ruptura, si no, se llama punto de discontinuidad de salto. Es el segundo tipo de discontinuidad (discontinuidad infinita y discontinuidad oscilante).
Teorema: La suma, el producto y el cociente (el denominador no es 0) de un número finito de funciones que son continuas en un punto determinado son funciones continuas en ese punto.
Teorema Si la función f(x) aumenta o disminuye monótonamente y es continua en el intervalo Ix, entonces su función inversa x=f(y) aumenta o disminuye monótonamente y está en el intervalo correspondiente Iy ={y| y=f(x), x∈Ix} es continua. Las funciones trigonométricas inversas son continuas dentro de su dominio.
El teorema (teorema del valor máximo y teorema del valor mínimo) de que una función continua en un intervalo cerrado debe tener un valor máximo y un valor mínimo en este intervalo. Si la función es continua en el intervalo abierto o tiene puntos discontinuos en el intervalo cerrado, entonces la función no necesariamente tiene un valor máximo y mínimo en este intervalo.
Teorema (teorema de acotación) Una función continua en un intervalo cerrado debe estar acotada en el intervalo, es decir, m ≤ f (x) ≤ m. Teorema (teorema del punto cero) supone que la función f ( x) Continua en el intervalo cerrado [a, b], f(a) y f(b) tienen signos diferentes (es decir, f (a) × f (b) 0), entonces la función f(x) está abierta intervalo (A, hay al menos un punto cero en b), es decir, hay al menos un punto ξ (a
Se puede inferir que una función continua en un intervalo cerrado debe obtener cualquier valor entre el valor máximo m y el valor mínimo m.
Capítulo 2 Derivadas y Diferenciales
1. La condición necesaria y suficiente para que la función derivada f(x) sea diferenciable en el punto. x0 es el límite izquierdo lim(h→-0)[f( x0 h)-f(x0)]/h y el límite derecho lim(h→ 0)[f(x0 h)-en el punto x0. >
2. Función f(x) en el punto x0 = > Diferenciable en este punto la función es continua en este punto la función f(x) es continua en el punto x0≦>: se puede realizar en este punto. En otras palabras, la continuidad de la función en un cierto punto es que la función se puede realizar en este punto. Una condición necesaria para la derivación, pero no una condición suficiente
3. La función inversa puede guiar la derivación de la función inversa, y la derivada de la función inversa es el recíproco de la derivada de la función original.
4. ; esta función es diferenciable en este punto; la condición necesaria y suficiente para que la función f(x) sea diferenciable en el punto x0 es que la función sea diferenciable en este punto
Capítulo 3 Aplicación del teorema del valor medio. y Derivadas1. Teorema (teorema de Rohr) Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], será continua en el intervalo abierto (a, b). ) es diferenciable, y los valores de la función en los puntos finales del intervalo son iguales, es decir, f(a)=f(b), entonces hay al menos un punto ξ ξ lt en el intervalo abierto (a, b ); b), tal que la función f. La derivada de (x) en este punto es igual a cero: f'(ξ) = 0.
2. Teorema (Teorema del valor medio de Lagrange) Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y es derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos un Punto ξ (a
3. Teorema (Teorema del valor medio de Cauchy) Si las funciones f(x) y F(x) son continuas en el intervalo cerrado [a, b], en el intervalo abierto intervalo (a, b) Es diferenciable, y F'(x) no es cero en cada punto de (a, b), entonces al menos en el intervalo abierto (a, b)
4. Ley de L 'Bida. Las condiciones de aplicación solo pueden ser en la forma 0/0, ∞ /∞, 0×∞, ∞-∞, 00, 1∞, ∞ 0, etc.
5. Método para juzgar la monotonicidad de una función Supongamos que la función f (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto [a, b], entonces: (1) Si está dentro de (a, b) , f '(x)>0, entonces la función f( x) aumenta monótonamente en [a, b] (2) Si en (a, b) f' (x)
Si el la función es continua dentro del intervalo definido, la derivada de punto extra existe y, excepto las derivadas finitas, son externamente continuas, entonces si el intervalo de definición de la función f(x) se divide por la raíz de la ecuación f'(x)=0 , y f'(x) no existe, entonces se puede garantizar que f'(x) está en cada punto El signo permanece fijo en el intervalo parcial, por lo que la función f(x) es monótona en cada intervalo parcial
6. El valor extremo de la función Si la función f(x) se define en el intervalo (a, b , x0 es un punto en (a, b), si hay una vecindad centrípeta de. punto x0, entonces se dice que f(x0) es la función f(x) de cualquier punto en esta vecindad centrípeta.
Donde la función obtiene un valor extremo, la tangente a la curva es horizontal, pero donde hay una curva horizontal en la curva, la función no necesariamente obtiene un valor extremo, es decir, el extremo El punto de valor de la función derivada debe ser su punto estacionario (el punto donde la derivada es 0), pero el punto estacionario de la función no es necesariamente el punto extremo.
Teorema (condición necesaria para que una función obtenga un valor extremo) Supongamos que la función f(x) es diferenciable en x0 y obtiene un valor extremo en x0, entonces la derivada de la función en x0 es cero , es decir, f'(x0)= 0. Teorema (la primera condición suficiente para que una función obtenga un valor extremo) Suponga que la función f(x) es derivable en una vecindad de x0, f'(x0)=0. Cuando x alcanza un valor cerca del lado derecho de x0, f'(x) siempre es negativo, por lo que la función f(x) toma el valor máximo en x0 (2) Si x toma un valor cercano al lado izquierdo de x0; , f'(x) siempre es negativa; cuando x alcanza un valor cerca del lado derecho de x0, f'(x) siempre es positiva, por lo que la función f(x) toma el valor mínimo en x0 (3) Si x0; toma los lados izquierdo y derecho de x0. Cuando f'(x) es siempre positiva o negativa en valores cercanos, entonces la función f(x) no tiene valor extremo en x0.
Teorema (la segunda condición suficiente para encontrar el valor extremo de una función) Supongamos que la función f(x) tiene una derivada de segundo orden en x0 y f'(x0)=0, f' ( x0) ≠ 0 entonces: (1) Cuando f' (x0): 0, la función f(x) toma el valor mínimo en x0 el punto estacionario puede ser un punto extremo, o puede ser un punto extremo si lo es; no es un punto estacionario.
7. La concavidad y convexidad de la función y su determinación hacen que f(x) sea continua en el intervalo Ix. Para dos puntos cualesquiera x1, x2 siempre tiene f [(x1 x2)/2]
El teorema supone que la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], y en el el intervalo abierto (a, b) tiene derivadas de primer y segundo orden, entonces (1) si f'' (x) está en (a, b > 0, entonces la gráfica de f(x) en el intervalo cerrado [a, b ] es cóncavo; (2) Si en (a, b) f'' (x)
Paso (1) Determine el punto de inflexión de la curva (punto límite cóncavo-convexo) para encontrar f″( x); (2) Sea f ''(x)=0, resuelva las raíces reales de esta ecuación en el intervalo (a, b (3) Para cada raíz real x0 resuelta en (2), marque f''); en los lados izquierdo y derecho de x0 El signo de (x). Si f''(x) mantiene un cierto signo en los lados izquierdo y derecho de x0, entonces cuando los signos en ambos lados son opuestos, el punto (x0, f(x0)) es el punto de inflexión. Cuando los signos en ambos lados son iguales, el punto es el punto de inflexión (x0) es el punto de inflexión.
Al dibujar una función, si la función. tiene puntos discontinuos o puntos donde la derivada no existe, estos puntos también deben usarse como puntos de ramificación
Capítulo 4 Integral indefinida
1. la función f(x) es continua en el intervalo I, entonces existe una función diferenciable F(x) en el intervalo I, de modo que para cualquier x∈I, existe F '( x) = F(x); En pocas palabras, una función continua debe tener una función original.
Si el integrando es el producto de una función potencia y seno coseno o una función potencia y una función exponencial, puedes considerar usar la división para integrar, establece. las funciones potencia y exponencial a U para que la potencia de la función potencia se pueda reducir en una integral por partes. Si el integrando es el producto de una función potencia y una función logarítmica o una función potencia y una función trigonométrica inversa, entonces para. Los números y las funciones trigonométricas inversas se pueden establecer en u.
2. Para una función elemental, su función original debe existir dentro de su intervalo de definición, pero no todas las funciones originales son funciones elementales.
Capítulo 5 Integral Definida
1. Problemas típicos resueltos mediante curva trapezoidal integral definida (1) área (2) distancia de movimiento lineal de velocidad variable
2 La función suficiente. Teorema de condición para el producto Supongamos que f(x) es continua en el intervalo [a, b], entonces f(x) es integrable en el intervalo [a, b], es decir, continua = gt integrable
Teorema Supongamos que f(x) está acotado en el intervalo [a, b] y tiene sólo un número finito de puntos discontinuos, entonces f(x) puede integrarse en el intervalo [a, b]
3 Definir algunas propiedades importantes de las integrales Si f(x)≥0 en el intervalo [a, b], entonces ∫abf(x)dx≥0.
De esto se puede inferir que si f(x) ≤ g(x) en el intervalo [a, b], entonces ∫ ABF (x) dx ≤ ∫. Entonces m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a), lo que indica que el rango aproximado del valor integral se puede estimar a partir de los valores máximo y mínimo del integrando en el intervalo de integración.
Propiedad (teorema del valor medio de integrales definidas) Si la función f(x) es continua en el intervalo [a, b], entonces hay al menos un punto ξ en el intervalo [a, b] , de modo que se cumple la siguiente fórmula: ∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a).
4. Sea la función f(x) dividida por el punto c (a
Capítulo 6 Aplicación de la integral definida
Encuentra el área de la figura plana (desde el área de la curva encerrada por )
En el sistema de coordenadas cartesianas (con y sin parámetros)
En el sistema de coordenadas polares (r, θ, x=rcosθ, y=rsinθ)( Fórmula del área del sector S=R2θ/2)
El volumen de un cuerpo giratorio (el área rodeada por curvas continuas, líneas rectas y ejes de coordenadas gira alrededor del eje de coordenadas) (y el volumen V=∫abπ[f(x) ]2dx, donde f(x) se refiere a la ecuación de la curva)
El área de la sección transversal paralela es el volumen conocido del sólido (V=∫abA (x)dx, donde A(x) es el área de la sección transversal
Trabajo, presión del agua, gravedad
El valor promedio de la función (promedio y=1). /(b-a)*∫abf(x)dx)
Capítulo 7 Métodos diferenciales y aplicaciones de funciones multivariadas
1. La existencia de límite condicional de funciones multivariadas significa que cuando P(x) , y) se aproxima a P0(x0, y0) de cualquier manera, la función se aproxima infinitamente a a, si P(x, y) se aproxima a P0(x0, y0) de una manera especial, como a lo largo de una determinada línea recta o curva, incluso si la función se acerca infinitamente a un cierto valor, a la inversa, si cuando P(x, Cuando y) tiende a P0(x0, y0) de diferentes maneras, la función tiende a diferentes valores, entonces se puede concluir que el límite de este La función no existe. Por ejemplo, la función: f(x, y) = { 0(xy)/(x ^ 2)x ^ 2 y ^ 2≠0. 2. Definición de continuidad de funciones multivariadas Dejemos que la función f(x, y) se defina en el área abierta (o cerrada) D, P0(x0, y0) es el punto interior o punto límite de D y P0∈D, if lim(x→x0, y→y0)f(x, y)=f(x0, y0)
Una función multivariada (el teorema del valor máximo y el teorema del valor mínimo). ) están en un área cerrada acotada D. Debe haber un valor máximo y un valor mínimo en D.
Las propiedades de una función continua multivariante (Teorema del valor medio) En una región cerrada acotada D, si. obtiene dos valores de función diferentes en D, obtiene cualquier valor entre estos dos valores en D al menos una vez
3. Continuidad y diferenciabilidad de funciones multivariadas Si una función de una variable tiene. una derivada en un punto determinado, entonces debe ser continua en ese punto, pero para funciones multivariadas, incluso si todas las derivadas parciales existen en un punto determinado, no hay garantía de que la función sea continua en ese punto. La existencia de derivadas parciales sólo puede garantizar que el valor de la función f(P) tienda a f(P0) cuando el punto P se aproxima a P0 en la dirección paralela al eje de coordenadas, pero no puede garantizar de ninguna manera que cuando el punto P se aproxima a P0 a lo largo la dirección paralela al eje de coordenadas, Cuando el punto P tiende a P0, el valor de la función f(P) tiende a f(P0)
4. la derivada de una función de una variable en un punto determinado es una condición necesaria y suficiente para la existencia de diferenciación, pero la existencia de derivadas parciales de funciones multivariadas es sólo una condición necesaria para la existencia de diferenciales totales, no una condición suficiente. , es decir, diferencial = >; diferenciable
5. Teorema de condición suficiente (condición suficiente) para la diferenciabilidad de funciones multivariadas Si la derivada parcial de la función z=f(x,y) existe y es continua en el punto (x,y), entonces la función es derivable en ese punto.
6. El teorema necesario y suficiente (condición necesaria) para la existencia de valores extremos de funciones multivariadas Supongamos que la función z=f(x, y) tiene una derivada parcial en el punto (. x0, y0), y en el punto (x0, y0 ) tiene un valor extremo, entonces su derivada parcial en ese punto debe ser cero.
Teorema (condición suficiente) Sea la función z=f(x, y) continua en una vecindad del punto (x0, y0) y tenga derivadas parciales continuas de primer y segundo orden, fx( x0, y0) =0, fy(x0, y0)=0, por lo que fxx(x0, y0)=0=A, .0 tiene un valor extremo, cuando
7. de valores extremos de funciones multivariadas (1) Resolviendo todas las soluciones reales de la ecuación fx(x, y)=0 se pueden obtener todos los puntos estacionarios.
(2) Para cada punto estacionario (x0, y0), encuentre los valores de las derivadas parciales de segundo orden A, B, c (3) Determine el signo de AC-B2 y determine f (x0, y0) ¿Es el valor máximo o mínimo en condiciones suficientes?
Nota: Al considerar el valor extremo de una función, además de los puntos estacionarios de la función, si hay puntos donde no existen derivadas parciales, también se deben considerar estos puntos.
Capítulo 8 Integral Doble
1. Algunas aplicaciones de la integral doble. Área de superficie volumétrica del cilindro superior curvo (a = ∫∫ [1 F2x (x, y) F2x ( x,y)]dσ).
La masa de la placa y las coordenadas del centro de gravedad de la placa (x = 1/A∫xdσ, y = 1/A∫YDσ; donde A=∫∫dσ es el área de la región cerrada d.
El momento de inercia de la placa delgada plana (Ix=∫∫y2ρ(x, y)dσ, Iy=∫∫x2ρ(x, y)dσ; donde ρ (x, y) es la densidad en el punto (x, y).
La fuerza gravitacional de la placa plana sobre la partícula (FxFyFz)
2. integrales dobles Cuando f (x, y) es continua en el área cerrada D, el límite existe, por lo que la función La integral doble de f(x, y) en D debe existir
3. de la integral doble si sobre D, f(x, y)≤ψ(x, y , existe una desigualdad ∫∫f(x, y)dxdy ≤∫ψ (x, y)dxdy, especialmente por la -
propiedad (teorema del valor medio integral doble) Sea la función f(x, y ) es continua en el área cerrada D, y σ es el área de D, entonces hay al menos un rsinθ (ξ, η) en D, de modo que la siguiente fórmula es verdadera: ∫∫f (x, y) d σ = f (ξη) * σ 4
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