Para un número primo P, tome a=10, luego 10(P-1)≡1(mod P).
Si encuentra un número entero positivo E tal que 10 E/P-1/p es un número entero, entonces E es el nodo cíclico de 1/p (pero no necesariamente el más pequeño). Según el último teorema de Fermat, ¡E existe entre números enteros positivos no mayores que p-1!
Esto también significa que el primer segmento cíclico de 1/p está justo después del punto decimal, que es un decimal recurrente puro.
p-1 es una suma, por lo que 10 (P-1)-1 se puede factorizar en (10)P1-1)(10(P donde P 1 es un factor de P-1, si hay una E más pequeña que P-1 que satisface "65433
(Importante) δ Lema: cuando un decimal cíclico se divide por 2, el tamaño de su nodo cíclico permanece sin cambios.
Prueba:
1. Si cada segmento del bucle es un número par, obviamente no cambia.
2 Si es un número impar, el número impar es 1 al final. del segmento de bucle se puede agregar. Proporcione el siguiente segmento de bucle, de modo que el nuevo segmento de bucle vuelva a ser un número par, pero este segmento de bucle se superponga, como 0,45454545... se convierte en 0,44 0,0144 0,00144...
2008=2*2* 2*251, 251 es un número primo. De esta manera, solo necesitamos encontrar la longitud del segmento del bucle de 1/251 (dividido por 2 tres veces es 1/2008)
Según el tope de 10 250≡1 (MOD 251), si hay una E más pequeña tal que 10 E ≡ 1 (MOD 251), entonces E es el divisor de 250.
Además, las fórmulas de congruencia se pueden multiplicar, es decir, si a≡c(mod m ), b≡d(mod m), ab≡cd(mod m)
10 3. ≡-4 (MOD 251) Entonces
10 5≡-400≡102( MOD 251)10 5 no cumple con los requisitos
10 10≡10404≡113(MOD 251). )10 10 no cumple con los requisitos
10 20≡12769≡-32(MOD 251) 10 20 no cumple con los requisitos
10 25≡-3264≡-1. (MOD 251)10 25 no cumple con los requisitos
10 50≡1(MOD 251)10 50 cumple con los requisitos
Entonces la longitud del bucle es 50.
Respuesta estándar: 2008 = 2 ^ 3 × 251.
φ(251)=250
Los factores positivos de 250 son 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250. Si x toma los factores positivos anteriores, satisface 10 x ≡ 1 (MOD 251), espero que lo entiendas.