El problema del rey Qin seleccionando tropas en secreto y el problema de Han Xin de seleccionar tropas al azar son ambos una narración del problema de las generaciones posteriores que no saben la cantidad de objetos.
El problema de no saber el número de cosas proviene de las famosas matemáticas antiguas chinas "Sun Tzu Suan Jing" de hace 1.600 años. La pregunta original es: "Hoy hay algo cuyo número no sé. Dos de tres son tres, tres son cinco-cinco, dos son siete-siete. ¿Cuál es la geometría del objeto?"
El significado de esta pregunta es: Hay un lote de artículos, no sé cuántos hay. Si cuentas tres piezas de tres, te quedarán dos piezas; si cuentas cinco piezas de cinco, te quedarán tres piezas; si cuentas siete piezas de siete, te quedarán dos piezas. Pregunta: ¿Cuántos artículos hay en este lote?
Se convierte en un problema matemático puro: hay un número, lo divides por 3 y el resto es 2, lo divides por 5 y el resto es 3, lo divides por 7 y el resto es 2. Encuentra este número.
Este problema es muy sencillo: dividir por 3 deja un resto de 2, y dividir entre 7 deja un resto de 2. Por lo tanto, dividir por el mínimo común múltiplo de 3 y 7, 21, deja un resto de 2. Al dividir 21 con un resto de 2, primero pensarás en 23; 23 está exactamente dividido por 5 y el resto es 3, por lo que 23 es una respuesta a esta pregunta.
La razón por la que este problema es simple es que el resto después de dividir por 3 y entre 7 es el mismo. Sin esta especificidad, el problema sería menos simple y mucho más interesante.
Cambiemos el ejemplo; Han Xin señala el número de soldados en un grupo, hay dos personas en un grupo de tres, tres personas en un grupo de cinco y cuatro personas en un grupo de siete. . Pregunta: ¿Cuántos soldados hay en este equipo?
Esta pregunta es para encontrar un número positivo que se pueda dividir por 3 con resto de 2, dividiendo por 5 con resto de 3 y dividiendo por 7 con resto de 4. Es También se espera que el número obtenido sea lo más pequeño posible.
Si un estudiante nunca ha estado expuesto a este tipo de problemas, también puede utilizar el método de experimentación y análisis para agregar condiciones paso a paso para derivar la respuesta.
Por ejemplo, partimos de la condición de dividir 3 entre 2. El número que satisface esta condición es 3n+2, donde n es un número entero no negativo.
Para que 3n+2 siga cumpliendo la condición de dividir el resto entre 5 entre 3, puedes sustituir n por 1, 2, 3,... para intentarlo. Cuando n = 1, 3 n + 2 = 5 y 5 dividido por 5 no tiene un resto de 3, lo cual es inconsistente con el significado de la pregunta cuando n = 2, 3 n + 2 = 8 y 8 dividido por 5; tiene un resto de 3. Se puede ver que el número 8 satisface simultáneamente Divide 3 con resto 2 y divide 5 con resto 3.
La última condición es dividir 7 entre 4. 8 no cumple esta condición. Necesitamos obtener un número basado en 8 para que cumpla tres condiciones al mismo tiempo.
Por este motivo, pensamos que podíamos hacer que el nuevo número fuera igual a la suma de 8 y múltiplo de 3 y 5. Porque la suma de 8 más cualquier múltiplo entero de 3 y 5 todavía deja 2 cuando se divide por 3 y 3 cuando se divide por 5. Entonces dejamos que el nuevo número sea 8+15m y sustituimos m=1, 2,... en la prueba. Cuando se intenta m=3, se obtiene 8+15m=53. 53 dividido por 7 es exactamente el resto 4, por lo que 53 cumple con los requisitos de la pregunta.
Los antiguos eruditos chinos han estudiado esta cuestión durante mucho tiempo. Por ejemplo, Cheng Dawei, un matemático de la dinastía Ming de mi país, utilizó cuatro fórmulas muy populares para insinuar la solución a este problema en su "Algoritmo Tongzong" (1593):
Tres personas caminando juntas durante setenta años Raro,
Una rama de flores de ciruelo de cinco árboles es dulce,
Falta medio mes para la reunión de los siete hijos,
Lo sabrás después de dividir ciento cinco.
"Primera Media Luna" implica 15. El significado original de "dividir entre ciento cinco" es que cuando el número obtenido es mayor que 105, se resta 105, 105 hacia abajo para que quede menor que 105, esto equivale a dividir entre 105 para encontrar el resto.
El significado implícito de estas cuatro oraciones es: cuando los divisores son 3, 5 y 7 respectivamente, multiplica el resto de la división por 3 por 70, multiplica el resto de la división por 5 por 21 y multiplica por 15. Toma el resto después de dividir por 7 y luego suma estos tres productos. Si el resultado sumado es mayor que 105, lo dividimos entre 105 y el resto será la solución entera positiva más pequeña que cumpla con los requisitos de la pregunta.
Calculando el número de soldados en el punto de Han Xin según el método sugerido por estas cuatro frases:
70×2+21×3+15×4=263,
p>
263=2×105+53,
Entonces, hay al menos 53 soldados en este equipo.
En este método vemos que los tres números 70, 21 y 15 son muy importantes. Después de investigar un poco, podemos encontrar que sus características son:
70 es 5. 21 es múltiplo de 3 y 7, y el resto es 1 cuando se divide por 3
21 es un múltiplo de 3 y 7, y el resto es 1 cuando se divide por 5
<; p>15 es múltiplo de 3 y 5, y 15 es múltiplo de 3 y 5. Divide 7 para dejar 1.Así
70×2 es múltiplo de 5 y 7, divide el resto entre 3
21×3 es múltiplo de 3 y 7, use 5 Divida con resto 3;
15×4 es múltiplo de 3 y 5. Divida 7 con resto 4.
Si un número se divide por a y el resto es b, luego se suma un múltiplo de a al número y luego se divide por a, el resto seguirá siendo b. Por lo tanto, el resultado obtenido al sumar 70 × 2, 21 × 3 y 15 × 4 puede cumplir simultáneamente los requisitos de "dividir 3 con resto 2, dividir 5 con resto 3 y dividir 7 con resto 4". Generalmente,
70m+21n+15k (1≤m<3, 1≤n<5,1≤k<7)
puede satisfacer simultáneamente "dividir el resto m por 3" , dividir por 5 con resto n, dividir por 7 con resto k" requisito. Dividir por 105 y tomar el resto es encontrar la solución entera positiva más pequeña que resuelva el problema.
Ya conocemos las propiedades y usos de los tres números 70, 21 y 15, entonces, ¿cómo los encontramos? Si se cambia la pregunta y los tres divisores ya no son 3, 5 y 7, ¿cómo deberíamos encontrar números útiles similares?
Para encontrar el número que es múltiplo de 5 y 7 dividiendo 3 con resto 1, veamos si el mínimo común múltiplo de 5 y 7 cumple los requisitos. El mínimo común múltiplo de 5 y 7 es 5×7=35. 35 dividido por 3 deja un resto de 2. 2 veces de 35 dividido por 3 deja un resto de 2. 2 veces de 35 dividido por 3 deja un resto de 1. . Entonces obtenemos "tres personas" "Somos setenta y raros".
Para encontrar el número que es múltiplo de 3 y 7 dividiendo 5 con resto de 1, veamos si el mínimo común múltiplo de 3 y 7 cumple los requisitos. El mínimo común múltiplo de 3 y 7 es 3×7=21. 21 dividido por 5 tiene exactamente el resto 1, por lo que obtenemos "cinco flores de ciruelo y una rama dulce".
Para encontrar el número que es múltiplo de 3 y 5 dividiendo 7 con resto 1, veamos si el mínimo común múltiplo de 3 y 5 cumple los requisitos. El mínimo común múltiplo de 3 y 5 es 3 × 5 = 15. 15 dividido por 7 tiene exactamente el resto 1, por lo que obtenemos la "Media Luna de la Reunión de los Siete Hijos".
El mínimo común múltiplo de 3, 5 y 7 es 105, por lo que "lo puedes encontrar dividiendo ciento cinco".
Por ejemplo: Intenta encontrar un número tal que al dividirlo por 4, el resto sea 3, al dividirlo por 5, el resto sea 2, y al dividirlo por 7, el resto sea 5.
Solución: Primero encontramos el número que es múltiplo de 5 y 7 y lo dividimos entre 4 con resto 1; el mínimo común múltiplo de 5 y 7 es 5×7=35, 35 dividido por 4 deja el resto 3, 3×3 Dividiendo por 4 deja un resto de 1, por lo que 35 × 3 = 105 dividido por 4 deja un resto de 1. 105 es múltiplo de 5 y 7 y es el número al dividir por 4 hojas un resto de 1.
Luego encontramos los múltiplos de 4 y 7 y los dividimos entre 5 con el resto 1; el mínimo común múltiplo de 4 y 7 es 4×7=28, 28 dividido entre 5 queda el resto 3, 3×7 dividido por 5 El resto es 1, entonces 28 × 7 = 196 dividido por el resto 5 y el resto 1, entonces 196 es múltiplo de 4 y 7 y el número que se obtiene al dividir el resto entre 5 es 1.
Lo último que hay que encontrar es el número que es múltiplo de 4 y 5 con resto de 1 al dividirlo entre 7: el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 4×5=20, 20 dividido por 7 deja un resto de 6, y 6×6 divide 7 tiene un resto de 1, por lo que 20 × 6 = 120 dividido por 7 tiene un resto de 1, por lo que 120 es múltiplo de 4 y 5 y es el número obtenido por dividiendo 7 con un resto de 1.
Usa los tres números 105, 196 y 120 para encontrar una solución que cumpla con los requisitos de la pregunta:
105×3+196×2+120×5=1307.
Dado que el mínimo común múltiplo de 4, 5 y 7 es 4×5×7=140, 1307 es mayor que 140, por lo que 1307 no es la solución más pequeña que cumple con los requisitos de la pregunta. El resto obtenido al dividir 1037 entre 140 es 47, que es la solución entera positiva más pequeña que se ajusta al problema.
Generalmente,
105m+196n+120k (1≤m<4,1≤n<5,1≤k<7)
se utiliza el resto m se divide por 4, el resto n se divide por 5 y el resto k se divide por 7 (105m + 196n + 120k). El resto obtenido al dividir 140 es el número positivo más pequeño que satisface las tres condiciones anteriores.
Arriba encontramos el número característico 105 para poder escribir la expresión general 105m+196n+120k. Si es solo para responder a nuestra pregunta de ejemplo específica, dado que 5×7=35 es un múltiplo de 5 y 7 dividido por 4 y tiene un resto de 3, no es necesario encontrar 105 y luego multiplicarlo por 3.
35+196×2+120×5=1027
Es el número que se ajusta al significado de la pregunta.
1027=7×1447,
A partir de esto, también podemos obtener la solución entera mínima positiva 47 que cumple con el significado de la pregunta.
En "Algoritmo Tongzong", se expresan los números característicos 70, 21 y 15, que juegan un papel importante en el problema de "no saber el número de cosas" con 3, 5 y 7 como divisores. en algunas fórmulas Salga, también podemos compilar los números característicos 105, 196 y 120, que juegan un papel importante en problemas con 4, 5 y 7 como divisores, en fórmulas. Dejo que los lectores tomen sus propias decisiones.
Cualquier situación en la que los tres divisores sean primos entre sí se puede resolver utilizando el método anterior.
La teoría en la que se basa el método anterior se llama teorema de Sun Tzu en China, y los libros extranjeros lo llaman teorema del resto chino.