Análisis: (1) La ecuación tangente de la curva pregunta y=f(x) en (1, f(1)) es x+y=1, por lo que según el significado geométrico de la derivada y el valor de la función del punto tangente de , establezca una ecuación sobre los parámetros y podrá obtener los valores de los dos parámetros;
(II) Porque f(x)= x ^ n(1- x), puedes encontrar f′ (x)=(n+1)x^n-1((n/n+1)-x).
(3) Combinado con (2), es necesario demostrar que f(x) < 1/ne. Porque la función f(x)f(n/n+1)=(n/n+1)n(1-n) es el valor máximo.
n n/(n+1)n+1 < 1/ne, podemos encontrar el logaritmo de ambos lados de esta desigualdad según E, y podemos construir la función φ(t)=lnt- 1+1/t , con la ayuda del valor máximo de la función.
Solución: (I) Debido a que f(1)=b, desde el punto (1, b) sobre x+y=1, podemos obtener 1+b=1, es decir, b = 0 .
f '(x)= anx n-1-a(n+1)x n, entonces f' (1) =-a.
Y como la pendiente de la recta tangente x+y=1 es -1, -a=-1, es decir, a=1, entonces a=1, B = 0.
(II) De (I), si f(x)= x ^ n(1-x), entonces f'(x)=(n+1)x ^ n-1(( n /n+1).
En (0, n/n+1), la derivada es positiva, por lo que la función f(x) es una función creciente (n/n+1, +∞; ) La derivada en es negativa, por lo que la función f(x) es una función decreciente;
Entonces el valor máximo de la función f(x) en (0, +∞) es f(n/n +1)= (n/n+1)n(1-n/n+1)= n n/n
(III) Supongamos φ(t)=lnt-1+1/t, entonces φ'( t)= 1/t-1/T2 =(t-1)/T2(.
En (0, 1), φ′(t) es menor que 0, entonces φ (t) disminuye monótonamente; en (1, +∞), φ′(t)>0, entonces φ(t) aumenta monótonamente;
Entonces, el valor mínimo de φ(t) en (0, ∞) es φ( 1)=0,
Entonces φ (t) > 0 (t > 1)
Entonces lnt > 1-1/t, (t > 1) ,
Supongamos t=1+1/n, LN (1+1/n)> 1/n+1, es decir, LN(1+1/n
Entonces (1+1/n) n+1 > e, es decir, n/(n+1)n+1 < 1/ne
Según la fórmula (II), f(x)≤n n /(n+1)n+1. < 1/ne,
Por lo tanto, la desigualdad probada es verdadera.