Se debe permitir que x, y y z sean 0; de lo contrario, no se puede obtener el valor máximo.
1) Este es un tema habitual.
(x y z)? -3(xy yz zx) = x? ¿y? z? -xy-yz-zx = ((x-y)? (y-z)? (z-x)?)/2 ≥ 0.
Entonces xy yz zx ≤ (x y z)? /3 = 1/3, la condición necesaria y suficiente para obtener el signo igual es x = y = z = 1/3.
De hecho, las desigualdades se aplican a cualquier número real.
Cuando n ≥ 2, la situación es bastante diferente y el valor máximo se obtiene en la frontera.
Por ejemplo, cuando n = 2, se obtiene de x = 0, y = 2/3, z = 1/3 y su rotación.
Por lo tanto, el tratamiento asimétrico que aparece a continuación es más natural.
2) Según la simetría rotacional, también podríamos suponer que Z no es ni el máximo ni el mínimo, es decir, x ≤ z ≤ y o Y ≤ Z ≤ X.
Entonces hay (x-z)(y-z) ≤ 0, es decir, xy z? ≤ (x y)z.
¿Entonces x? ¿y? ¿zz? x = x(xy z?) y? z ≤ xz(x y) y? z = z(x? xy y?)≤ z(x y)? = z(1-z)? .
¿Entonces, partiendo de la desigualdad media, z(1-z)? = 2z(1-z)(1-z)/2 ≤((2z)(1-z)(1-z))/3)? /2 = 4/27.
No es difícil comprobar que el signo igual se obtiene si y sólo si X = 0, Y = 2/3, Z = 1/3.
3) Para n > 1 general, también se supone que z no es ni el valor máximo ni el valor mínimo.
Considere la función f(u) = u (n-1) u (n-2) y ... u y (n-2) con y como parámetro Obviamente f (u) para u. ≥ 0 es una función creciente.
Entonces existe (f(x)-f(z))(y-z) ≤ 0, es decir, y f (x) ≤ z f (x) (y-z) f (z).
El extremo izquierdo f(x) ≥ x (n-1), entonces x (n-1) y ≤ z f (x) (y-z) f (z).
Tenga en cuenta que (y-z)f(z)=(y-z)z(z(n-2) z(n-3)y ... y (n-2)) = z (y ( n -1)-z
x(n-1)y z n≤z(f(x) y(n-1))= z(x(n-1) x(n-2) y .
Por lo tanto, x n y y n z z n x = x(x(n-1)y z n) y n z. y .. x y^(n-2) y^(n-1)) y^n z
= z(x^n x^(n-1) y ... x y^(n- 1) y^n)
≤ z(x y)^n
= z(1-z)^n
= nz(1-z) (1 -z)...(1-z)/n
≤ ((nz (1-z) (1-z) ... (1-z))/(n 1) )^ (n 1)/n
= n^n/(n 1)^(n 1).
Es fácil ver que cuando x = 0, y = n/(n 1), cuando z = 1/(n 1), se mantiene el signo igual.
En el caso de n = 2, existe otro método simétrico:
¿Verificable 4(x y z)? -27(x?y y?z z?x) = x(4y z-2x)? y(4zx-2y)? z(4x y-2z)? ≥ 0.
Entonces, ¿x? ¿y? ¿zz? x ≤ 4(x y z)? /27 = 4/27.
Esta fórmula aparentemente mágica es en realidad rastreable. La clave son las condiciones para el establecimiento de los tres signos iguales, que se pueden considerar en detalle.
Por supuesto, después de adivinar el método de coincidencia, aún debes compararlo con la fórmula original. Aquí no hay elementos innecesarios, hay un elemento de suerte.
Una idea similar se aplica a n = 3.
Verificable: 27(x y z)? -256(x?y y?z z?x)
= x(3x 14y/9)(9y z-3x)? y(3y 14z/9)(9z x-3y)? z(3z 14x/9)(9x y-3z)? 2248xyz(xyz)/9.
Construya el factor 3x 14y/9 comparando los coeficientes y luego el término restante es 2248xyz(x y z)/9.
Lo descubrí para N = 4. El método es factible, pero la fórmula es demasiado complicada, así que no la escribiré aquí.
En definitiva, se puede generalizar, pero se necesita una discusión y un cálculo más específicos. Personalmente no tengo esa intención por el momento.