Figura 1.14
Variable aleatoria se refiere a la aleatoriedad e incertidumbre del resultado de cada evento bajo las mismas condiciones, mientras que el proceso aleatorio se refiere a un cierto proceso de las cosas bajo las mismas condiciones. Hay aleatoriedad e imprevisibilidad. Un proceso puede constar de un número infinito de variables aleatorias, mientras que un proceso estocástico consta de una secuencia de procesos (ocurrencias aleatorias). Si se observa continuamente el nivel del agua de un pozo, el nivel del agua está representado por H0(t). La curva del nivel del agua observada en el primer año hidrológico es H1(t),..., y el nivel del agua observado en el enésimo. año hidrológico es Hn(t). Las curvas de muestra obtenidas en cada año hidrológico son aleatorias (Figura 1.14). {H(t), t∈(0,∞)}, ¿cómo entenderlo como una familia de variables aleatorias? Fijamos un cierto tiempo de observación t0 e investigamos el valor del nivel del agua de H (t) en este momento t0 cada año, como H1 (t0), H2 (t0), ..., Hn (t0). Obviamente, H(t0) es una variable aleatoria, pero cuando t cambia, H(t) es una familia de variables aleatorias. Por tanto, H(t) es un proceso aleatorio.
Del mismo modo, el proceso de precipitación atmosférica en una región y los cambios en el caudal o nivel del agua de un río pueden considerarse procesos aleatorios. De esta manera, suponiendo que {X (t), t∈T} es un proceso aleatorio, la observación del primer proceso puede considerarse como la función de muestra del proceso aleatorio () es la primera función de muestra. Las funciones muestrales X1(t), X2(t),…,Xn(t) se pueden obtener a partir de los resultados de n observaciones experimentales. Para el proceso aleatorio X (t), cuando T es fijo, es una variable aleatoria, es decir, el estado del proceso aleatorio en el momento T. Todos los valores posibles de la variable aleatoria Se llama espacio o rango de estados de valores de un proceso estocástico, y cada valor posible se llama estado.
Los procesos estocásticos se pueden clasificar según el conjunto de parámetros T y las condiciones del espacio de estados. Generalmente, los procesos aleatorios se pueden dividir en las siguientes cuatro categorías:
(1) Procesos aleatorios de parámetros discretos y de estado discreto.
(2) Proceso estocástico con parámetros discretos y estado continuo.
(3) Proceso estocástico con parámetros continuos y estados discretos.
(4) Procesos estocásticos de parámetros continuos y de estado continuo.
1.3.1 Familia de distribuciones de dimensión finita
El estado del proceso aleatorio {X(t), t∈T} en cada momento T es una variable aleatoria unidimensional, cualquier dos veces El estado de es una variable aleatoria bidimensional. Las características estadísticas de un proceso aleatorio pueden representarse mediante la distribución general de variables aleatorias (vectores) de diferentes dimensiones en diferentes momentos fijos.
Para cualquier t∈T fijo,
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Se denomina proceso estocástico unidimensional X(t) en el tiempo función de distribución t.
Para dos t1 fijos cualesquiera, t2∈T
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El proceso bidimensional llamado proceso estocástico distribución X(t) función.
Generalmente, para cualquier t1, t2,..., tn∈T fijo,
Simulación y gestión estocástica de un sistema de aguas subterráneas
Se denomina proceso estocástico X(t ) Función de distribución n-dimensional.
La función de distribución unidimensional, la función de distribución bidimensional,..., la función de distribución n-dimensional del proceso aleatorio X(t) se denominan todas ellas familia de funciones de distribución de dimensión finita del proceso aleatorio. proceso.
1.3.2 Características numéricas de los procesos aleatorios
Las características numéricas de los procesos aleatorios se describen mediante las características numéricas de la función de distribución de dimensión finita del proceso aleatorio. Debido a que el estado del proceso estocástico {X(t), t∈T} es una variable aleatoria en cada t∈T, tiene sus características numéricas correspondientes. Con diferentes valores de t, las características numéricas de una variable aleatoria pueden ser diferentes, y su expectativa matemática y varianza dependen de la función del parámetro t, al que llamamos características numéricas del proceso aleatorio. Supongamos la expectativa matemática del proceso estocástico ): una función de distribución unidimensional de un proceso aleatorio.
Si F(x, t) es una función continua, entonces:
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Donde: f(x, t) - Función de densidad de distribución unidimensional.
Como se muestra en la figura 1.15, cuando el número de curvas de muestra aumenta hasta un cierto número, mX(t) es básicamente una curva fija y la curva de muestra fluctúa hacia arriba y hacia abajo alrededor de ella.
Supongamos que la varianza del proceso aleatorio σX(t)=desviación estándar del proceso aleatorio.
La varianza del proceso aleatorio también es función del proceso T, reflejando la desviación de cada curva de muestra de la curva media mX(t).
Al analizar problemas de ingeniería reales, el valor cuadrático medio del proceso aleatorio tiene significado físico. El valor cuadrático medio del proceso aleatorio está representado por ψ x (t), que es:
Figura 1.15
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Por tanto, existen:
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Función media de procesos estocásticos Las funciones de suma y varianza solo consideran las características numéricas del estado del proceso aleatorio en cada momento, pero al analizar la correlación entre los estados del proceso aleatorio en diferentes momentos, los conceptos de función de covarianza y Se debe incluir la función de correlación del proceso aleatorio.
El proceso aleatorio X(t) consta de dos variables aleatorias t1, t2∈T, X(t1) y Función:
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Describir.
La covarianza de X(t1) y X(t2) se denomina función de (auto)covarianza del proceso aleatorio
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Si la Si las varianzas de dos procesos estocásticos son las mismas, el valor absoluto de la función de covarianza se puede utilizar para comparar la relación lineal entre los dos procesos en t1 y t2. Como se muestra en la Figura 1.16(a) y (b), las expectativas matemáticas y las varianzas de los dos procesos aleatorios son las mismas, pero el grado de conexión lineal del proceso (a) en diferentes momentos es menor que el del proceso (b). .
La función de covarianza también se puede expresar como:
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La función de correlación también se puede expresar como:
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La relación entre la función de covarianza y la función de correlación del proceso aleatorio X(t) es la siguiente:
Simulación estocástica y gestión del sistema. gestión del sistema de aguas subterráneas
Figura 1.16
Para un proceso estocástico, cuando mX(t)=0,
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Cuando t1 = t2,
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No es difícil ver que la expectativa matemática y la función de correlación son las dos características numéricas más básicas. del proceso estocástico, del cual se puede obtener la función de covarianza y la varianza.
Entre muchos tipos de procesos aleatorios, los procesos normales (aleatorios) (procesos gaussianos) son muy comunes en ingeniería, y también son muy importantes y útiles.
Si la distribución de probabilidad de dimensión finita del proceso aleatorio {X(t), t∈T} es una distribución normal unidimensional o multidimensional, es decir, para n≥1, cualquier t1 , t2,..., tn∈T , se tienen:
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Donde: x=(x1, x2,…,xn) t.
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X(t) se denomina proceso normal (estocástico) o proceso gaussiano.
1.3.3 Distribución conjunta de dos procesos aleatorios
En tecnología de ingeniería, a menudo es necesario considerar las características estadísticas de dos o más procesos aleatorios al mismo tiempo. Por ejemplo, para un sistema de agua subterránea, la recarga de precipitación atmosférica P(t) es un proceso estocástico, y la respuesta correspondiente del sistema de agua subterránea (como el flujo de manantial o la dinámica del nivel del agua) también es un proceso estocástico. A menudo estudiamos la relación entre el proceso estocástico de entrada y el proceso estocástico de respuesta (salida) del sistema de agua subterránea, lo que implica el estudio de dos procesos estocásticos.
Supongamos que X(t) e Y(t)(t∈T) son dos procesos aleatorios, entonces {(X(t), Y(t)}T, t∈T} es un proceso de dos Proceso estocástico dimensional.
Para cualquier m≥1, existen t1, t2, ..., tm∈T, T 1′, T2′, ..., TN′∈T, que son dimensiones m+n ( X(t1), X.
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La distribución dimensional (conjunta) m+n de t se denomina proceso estocástico bidimensional (X( Función t),y(t)).
Para el proceso estocástico X(t), Y(t), t∈T, t1 fijo, t2∈T, entonces:
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Es la función de correlación cruzada de procesos aleatorios X(t) e Y(t)