1. El nacimiento de la teoría de conjuntos
La teoría de conjuntos fue fundada por el famoso matemático alemán Cantor a finales del siglo XIX. En el siglo XVII surgió una nueva rama de las matemáticas: el cálculo. En los siguientes cien o doscientos años, esta nueva disciplina se desarrolló rápidamente y dio resultados fructíferos. Su avance es tan rápido que la gente no tiene tiempo para comprobar y consolidar su fundamento teórico. A principios del siglo XIX, surgió un movimiento para reconstruir los fundamentos de las matemáticas a medida que se resolvían muchos problemas urgentes. Fue durante este movimiento que Cantor comenzó a explorar el conjunto de puntos de números reales que nunca antes se habían tocado. Este fue el comienzo de la investigación de la teoría de conjuntos. En 1874, Cantor comenzó a proponer de forma generalizada el concepto de "conjunto". Su definición de conjunto es: cuando un número de cosas definidas y diferenciadas (ya sean concretas o abstractas) se combinan y se consideran como un todo, se llama conjunto, y cada cosa se llama elemento del conjunto. La gente considera el día en que Cantor propuso por primera vez la idea de la teoría de conjuntos en su carta a Dedekind el 7 de diciembre de 1873 como la fecha de nacimiento de la teoría de conjuntos.
2. La contribución inmortal de Cantor
Cuando el ex matemático soviético Kolmogorov evaluó el trabajo de Cantor, dijo: “La contribución inmortal de Cantor reside en su Hacia una aventura sin fin”. Por lo tanto, sólo cuando comprendamos las conclusiones a las que llegó Cantor en su estudio del infinito comprenderemos verdaderamente el valor de su trabajo y el origen de sus muchas objeciones. Las matemáticas tienen un vínculo indisoluble con el infinito, pero el camino para estudiar el infinito está lleno de trampas. Por esta razón, durante el desarrollo de las matemáticas, los matemáticos siempre vieron el infinito con sospecha y evitaron el concepto tanto como fue posible. Pero Cantor, que intentaba captar el infinito, se embarcó valientemente en este camino sin retorno lleno de trampas. Introdujo el término conjunto infinito en las matemáticas, entrando así en una tierra virgen e inculta y abriendo un mundo nuevo y maravilloso. Su estudio de conjuntos infinitos le permitió abrir la caja matemática de Pandora del "infinito". "Nos referimos al conjunto de todos los números naturales como el conjunto de los números naturales, representado por la letra N." Esta frase debería resultarle familiar a todo aquel que haya estudiado conjuntos. Pero cuando aceptamos esta frase, simplemente no podemos pensar que cuando Cantor hizo esto, estaba comprometido en un trabajo de actualización del concepto de infinito. Antes de esto, los matemáticos sólo interpretaban el infinito como algo que siempre se extiende, algo que cambia y crece. El infinito está siempre en construcción y nunca podrá completarse. Es potencial, no realidad. Esta idea de infinito se llama infinito latente en matemáticas. Gauss, el príncipe de las matemáticas en el siglo XVIII, sostenía esta opinión. En sus palabras, "...me opongo a tratar las cantidades infinitas como una entidad, lo que nunca está permitido en matemáticas. El llamado infinito es sólo una forma de hablar..." Y cuando Cantor consideraba que todos los números naturales al formarse un conjunto, consideraba el todo infinito como una cosa completa, afirmando así el infinito como un todo completo. Este concepto se llama idea de infinito real en matemáticas. Dado que la idea del infinito latente ha logrado una victoria integral en la reconstrucción de la base del cálculo, no es sorprendente que la idea de Cantor del infinito real fuera criticada y atacada por algunos matemáticos de la época. Pero Cantor no se quedó ahí. Continuó explorando el infinito de frente de una forma completamente sin precedentes. Además, sacó una serie de conclusiones basadas en el concepto de infinito real y creó una teoría apasionante y de gran alcance. Esta teoría permite a las personas entrar verdaderamente en un mundo infinito extraño y esquivo. Lo que mejor demuestra su originalidad es su investigación sobre el problema del número de elementos en conjuntos infinitos. Propuso utilizar el criterio de correspondencia uno a uno para comparar el número de elementos en conjuntos infinitos. Llamó a los conjuntos que pueden establecer una correspondencia uno a uno entre elementos tener el mismo número, y utilizó su propio concepto como potencial igual. Porque un conjunto infinito puede establecer una correspondencia uno a uno con sus subconjuntos propios, es decir, el conjunto infinito puede ser equipotencial con sus subconjuntos propios, es decir, tener el mismo número. Esto contradice el concepto tradicional de "el todo es mayor que la parte". Cantor cree que ésta es exactamente la característica de los conjuntos infinitos. En este sentido, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números pares positivos tienen el mismo número, y los llama conjuntos contables. También se puede demostrar fácilmente que el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números naturales son equipotenciales, por lo que el conjunto de los números racionales también es un conjunto contable. Más tarde, cuando demostró que el conjunto de números algebraicos también es un conjunto contable, una idea muy natural es que los conjuntos infinitos son todos iguales y todos son conjuntos contables. Pero inesperadamente, demostró en 1873 que el potencial del conjunto de los números reales es mayor que el del conjunto de los números naturales.
Esto no sólo significa que hay muchos más números irracionales que números racionales, sino que también es obvio que los enormes números algebraicos son sólo una gota en el océano en comparación con los números trascendentales. Como alguien describió: "Los números algebraicos punteados en el plano. son como las estrellas en el cielo nocturno; y el cielo nocturno pesado está compuesto de números trascendentales ". Cuando llegó a esta conclusión, sólo había uno o dos números trascendentales que la gente podía encontrar. ¡Qué resultado tan impactante! Sin embargo, las cosas aún no han terminado. Una vez que se abre la caja mágica, no se puede volver a cerrar y los monstruos liberados de la caja ya no están limitados a un número infinito de monstruos. A partir de la conclusión anterior, Cantor se dio cuenta de que existen diferencias entre conjuntos infinitos, que tienen diferentes órdenes de magnitud y se pueden dividir en diferentes niveles. El siguiente paso que tenía que hacer era demostrar que existen infinitos niveles entre todos los conjuntos infinitos. Lo logró y, basándose en la teoría de que existen infinitos tipos de infinitos, estableció una secuencia completa de los distintos infinitos, a la que llamó "números transfinitos". Usó la primera letra "Aleph" en el alfabeto hebreo para representar el número transfinito de elfos, y finalmente estableció la llamada genealogía Aleph del infinito, que puede extenderse indefinidamente. De esta manera creó una nueva teoría de los números transfinitos, pintando un cuadro completo del reino infinito. Puede imaginarse cómo esta conclusión, que todavía nos parece un tanto fantasiosa, habría conmocionado a los matemáticos de la época. No es exagerado decir que las teorías de Cantor sobre el infinito provocaron un alboroto interminable entre la oposición. Gritaron y gritaron contra su teoría. Algunas personas se burlaron de la teoría de conjuntos calificándola de "enfermedad", mientras que otras se burlaron de los números transfinitos como "niebla dentro de la niebla", diciendo que "Cantor entró en el infierno de los números transfinitos". Como una innovación importante en los conceptos tradicionales, porque creó un nuevo campo y planteó y respondió preguntas que nadie antes había pensado, es normal que su teoría sea ferozmente criticada. Al mirar retrospectivamente este período de la historia, tal vez podamos ver la oposición a él como un tributo a sus logros verdaderamente originales. El establecimiento de la teoría de conjuntos axiomática Cuando se propuso por primera vez la teoría de conjuntos, muchos matemáticos se opusieron ferozmente. El propio Cantor se convirtió en víctima de este feroz debate. Bajo ataques violentos y pensamientos excesivos, sufrió esquizofrenia.
3. Desarrollo de la teoría de conjuntos
Sin embargo, tuvieron que pasar más de 20 años para que la teoría de conjuntos finalmente ganara reconocimiento mundial. A principios del siglo XX, la teoría de conjuntos había ganado aceptación entre los matemáticos. Los matemáticos están embriagados por la perspectiva de que todos los resultados matemáticos puedan basarse en la teoría de conjuntos. Creían con optimismo que, a partir del sistema de axiomas aritméticos y utilizando los conceptos de la teoría de conjuntos, se podría construir todo el edificio matemático.
En el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, el famoso matemático Poincaré anunció alegremente que "...las matemáticas han sido aritmetizadas. Hoy podemos decir que se ha alcanzado el rigor absoluto". no duró mucho. Pronto, se corrió la voz por toda la comunidad matemática de que la teoría de conjuntos era defectuosa. Esta es la paradoja de Russell deducida por Russell en 1902.
Russell construyó un conjunto R de todas las cosas que no pertenecen a sí mismo (es decir, que no se contienen a sí mismas como elemento). Ahora pregunte si R pertenece a R. Si R pertenece a R, entonces R satisface la definición de R, por lo que R no debería pertenecer a sí mismo, es decir, R no pertenece a R, por otro lado, si R no pertenece a R, entonces R no satisface; la definición de R, por lo que R debe pertenecer a sí mismo, es decir, R pertenece a R. Por tanto, no importa cuál sea la situación, existe una contradicción.
Esta paradoja, que sólo involucra los dos conceptos más básicos de conjunto y pertenencia, es tan simple y clara que no deja lugar a defender las lagunas de la teoría de conjuntos. Las matemáticas absolutamente rigurosas están sumidas en la autocontradicción. Esta es la tercera crisis matemática en la historia de las matemáticas. Después de que ocurrió la crisis, muchos matemáticos se dedicaron a resolverla.
En 1908, Zermelo propuso la teoría axiomática de conjuntos, que luego se mejoró para formar un sistema axiomático libre de contradicciones de teoría de conjuntos, denominado sistema de axiomas ZF. El concepto de conjunto intuitivo original se basa en axiomas estrictos, evitando así la aparición de paradojas. Esta es la segunda etapa del desarrollo de la teoría de conjuntos: la teoría de conjuntos axiomática.
En consecuencia, la teoría de conjuntos fundada por Cantor antes de 1908 se denomina teoría de conjuntos ingenua. La teoría de conjuntos axiomática es un tratamiento riguroso de la teoría de conjuntos ingenua. Conserva los valiosos resultados de la ingenua teoría de conjuntos y elimina sus posibles paradojas, resolviendo así la tercera crisis matemática de manera más satisfactoria.
El establecimiento de la teoría axiomática de conjuntos marca la victoria de una pasión expresada por el célebre matemático Hilbert, quien exclamó: Nadie puede sacarnos del paraíso que Cantor creó para nosotros. Han pasado más de cien años desde que Cantor propuso la teoría de conjuntos. Durante este período, las matemáticas han experimentado cambios tremendos, incluido el surgimiento de la teoría de conjuntos difusos, que desarrolló aún más la teoría de conjuntos clásica antes mencionada, etc. Y todo esto es inseparable del trabajo pionero de Cantor. Por lo tanto, cuando recordemos las contribuciones de Cantor ahora, todavía podemos citar como nuestro resumen la evaluación de su teoría de conjuntos realizada por matemáticos famosos en ese momento. "Es la visión más profunda del infinito, es la mejor obra del genio matemático y es uno de los mayores logros de las actividades intelectuales puras del ser humano. La teoría de conjuntos infinitos de Cantor es el avance más importante en matemáticas en los últimos dos mil años. quinientos años. Inquietante contribución original."