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El examen de desigualdades en el examen de ingreso a la escuela secundaria muestra que los tipos de preguntas tradicionales en el pasado se han reducido significativamente o desaparecieron y han sido reemplazadas por preguntas de aplicación más dinámicas. Como todos sabemos, la base de la capacidad reside en la aplicación. La desigualdad, como otros conocimientos, tendrá un mercado más amplio una vez que se aplique. Por ejemplo, entre las preguntas del examen de la escuela secundaria provincial de Hebei, la puntuación de las preguntas de aplicación de matemáticas llega a 71, lo que representa el 59%. Entre ellas, hay dos preguntas de aplicación de desigualdades. preguntas de aplicación de desigualdad como pregunta final. Este artículo solo analiza las características y soluciones de los problemas planteados de desigualdad y es solo como referencia.
1. Problemas de aplicación de desigualdad única
Ejemplo 1, (provincia de Hebei) En un concurso de conocimientos sobre "El hombre y la naturaleza", había 25 preguntas en el concurso, y cada pregunta era dadas 4 respuestas, solo una es correcta. Los estudiantes deben elegir la respuesta correcta, 4 puntos por cada pregunta, 2 puntos por no elegir o responder incorrectamente. Si un estudiante obtiene no menos de 60 puntos en esta competencia,
Comentarios: Una de las dificultades en la aplicación de desigualdades es distinguir las similitudes y diferencias entre ellas y la aplicación de ecuaciones. Cómo enumerar desigualdades requiere que comprendas bien el significado matemático de las palabras "no menos que" y "al menos" en la pregunta. En esta pregunta, la frase "deducir 2 puntos hacia atrás" debe entenderse como no tener otra opción o no hacer nada malo. De hecho, se deben deducir 6 puntos. Por lo tanto, si elige la pregunta correcta p>Solución: x≥18x=19, es decir, eligió al menos 19 preguntas correctamente.
Ejemplo 2. Las reglas de puntuación para los partidos de fútbol en (una determinada ciudad) son: 3 puntos por victoria, 1 punto por empate y 0 puntos por derrota. Se supone que un equipo juega 15 partidos y ya ha perdido 3 partidos. Si quiere acumular 22 puntos, entonces este equipo debe ganar al menos ().
a, 3 juegos B, 4 juegos C, 5 juegos D, 6 juegos
Comentarios: Hay tres resultados en un partido de fútbol: ganar, empatar o perder. Si asumimos que el juego
¿Por qué no puedes enumerar la ecuación: 3x+12-x=22? Debido a que la puntuación real es menor o igual a 3x+12-x (puedes perder en juegos futuros), entonces
3x+12-x≥puntuación actual=22
Ejemplo 3: Un frigorífico vendido en un centro comercial (distrito de Dongcheng, Pekín) cuesta 2.190 yuanes cada uno y consume 1 kilovatio hora de electricidad por día. Aunque el precio del refrigerador B que ahorra energía es un 10% más alto que el del refrigerador A, consume 0,55 grados de electricidad por día. El refrigerador A está actualmente a la venta con descuento (el precio después del 10% de descuento es el precio original). Pregunta en el centro comercial por al menos un descuento.
Solución: El refrigerador A ahora tiene un descuento de X, lo que lo convierte en una compra más rentable. Según el significado de la pregunta:
2190×+365×10×0.4≤2190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4
Inferir x≤ 8
Es decir, los refrigeradores tipo A vendidos en los centros comerciales deben tener un descuento de al menos el 20% para permitir a los consumidores comprar económicamente.
Comentarios: este ejemplo utiliza la resolución de desigualdades para proporcionar decisiones sobre el comportamiento de compra y venta en marketing.
2. Problemas de aplicación de ecuaciones integrales y desigualdades funcionales
Ejemplo 4: Cierto centro comercial (provincia de Shanxi) planea invertir una suma de dinero para comprar un lote de productos fuera de uso. -productos en stock. A través de una investigación de mercado, descubrimos que si vendemos a principios de mes y obtenemos una ganancia del 15%, y el capital y los intereses se pueden usar para reinvertir en otros productos básicos, obtendremos una ganancia del 10% al final del mes. el mes. Si vendes a fin de mes, puedes obtener una ganancia del 30%, pero tendrás que pagar el costo del almacenamiento en el almacén. 700 yuanes. Según la situación financiera del centro comercial, ¿cómo obtener más beneficios mediante el comercio?
Solución: si invierte X yuanes y vende a principios de mes, puede obtener una ganancia de y1 yuan al final del mes; puede obtener una ganancia de y2 yuanes al final del mes; el mes. El significado de la pregunta es: y 1 = 15% x+10%(x+ 15% x) = 0.265 x.
y2=x 0,3-700=0,3x-700
(1) Cuando y1=y2, la solución es: 0,265x=0,3x-700, derivando x = 2.000 yuanes .
(2) Cuando y1 < y2, la solución es: 0,265x < 0,3x-700 menos x > 2.000 yuanes.
(3) Cuando y1 > y2, la solución es: 0,265x > 0,3x < 700 menos x < 2000 yuanes.
Es decir, cuando el centro comercial invierte 2.000 yuanes, los beneficios de los dos modelos de negocio son los mismos. Cuando la inversión supera los 2.000 yuanes, el segundo modo obtiene más beneficios cuando la inversión es inferior a 2.000 yuanes. , el primer modo genera más ganancias.
Comentarios: La pregunta (1) obtiene dos fórmulas de función, y las preguntas (2) y (3) utilizan la solución de la desigualdad para tomar la decisión óptima sobre el modelo de gestión. La aplicación de la desigualdad es muy buena aquí. . jugar.
Ejemplo 5 (Chongqing) Para proteger el río Yangtze y reducir la erosión del suelo, un condado de nuestra ciudad decidió convertir las tierras de cultivo en bosques y comenzó a plantar árboles en un terreno baldío inclinado en 1995. El terreno baldío inclinado es. transformado cada año. El número de árboles en la misma zona es mayor que el del año anterior. Cada año se crea la misma cantidad de nuevos terrenos baldíos en pendiente debido a desastres naturales, tasas de supervivencia de árboles y factores humanos. La siguiente tabla muestra los datos estadísticos sobre el área de terrenos baldíos en pendiente y el área de plantación de árboles en tres años (1995, 1996, 1997). Suponiendo que todos los terrenos baldíos en pendiente estén plantados con árboles, no habrá erosión del suelo. ¿Cuándo se podrán plantar árboles en todos los terrenos baldíos inclinados del condado?
1995
1996
1997
Área anual de plantación de árboles (mu)
100
1400
1800
Después de plantar árboles, la agencia informará el área (acres) de terreno baldío en pendiente
25200
24000
p>22400
(2) Para ahorrar agua, esta ciudad estipula que cuando el consumo diario de agua de la fábrica no exceda las 20 toneladas, el precio del agua es 4 yuanes por tonelada; cuando el consumo diario de agua supera las 20 toneladas, el precio del agua supera las 20 toneladas; una parte se cobra a 40 yuanes por tonelada. Se sabe que el consumo diario de agua de la fábrica es de al menos 20 toneladas, el consumo diario de agua de la fábrica es de t toneladas y la ganancia obtenida ese día es W yuanes. Encuentre la relación entre W y T; la fábrica fortalece la gestión y ahorra agua activamente para que el consumo diario de agua no supere las 25 toneladas y no sea inferior a 20 toneladas.
Solución: (1) Suponer y=kx+b, según el significado de la pregunta:
Inferir,
Derivar y=-x+204
Cuando x=10, y=194, es decir, 10 yuanes por tonelada, la ganancia de usar 1 tonelada de agua para producir bebidas es 194 yuanes.
(2) y=-x+204 Se puede ver en (1) que cuando x=4, y=200, cuando x=40, y=164.
∴w=200×2164(t-20)=164t+720(t≥20)
∴t=, de 20≤t≤25, es decir
20≤≤25,
Se deduce que 4000≤W≤4820
Es decir, el beneficio diario de la fábrica no es inferior a 4.000 yuanes y no más de 4.820 yuanes.
Evaluación; Esta pregunta implica la síntesis de desigualdades, ecuaciones y funciones.
Ejemplo 7. Cuando una clase en Jinan organiza el lugar para la Gala del Festival de Primavera, necesita cortar papel de colores de triángulos rectángulos en tiras cortas de colores de diferentes longitudes, como se muestra en la imagen de la derecha. En Rt△ABC, ∠c = 90°, AC=30cm, AB=50cm, y recorta tiras de colores rectangulares a1 y a2 con un ancho de 1cm.
A, B, veinticinco, veintiséis, veintisiete
Análisis: supongamos que se cortan n tiras rectangulares, como se muestra en la figura, sea la longitud de las n -ésimo rectángulo EF =x, entonces
,
X=(30-n) y x≥5,
Es decir, (30-n )≥5n≤26.
∴n=26, entonces elija (c).
Este es un problema verbal de desigualdad de ecuaciones integradas.
Ejemplo 8. Las entradas para un parque en Suzhou cuestan 10 yuanes cada una y se pueden utilizar una vez. Teniendo en cuenta las diferentes necesidades de las personas, para atraer a más turistas, el parque no sólo mantuvo el método de venta de entradas original, sino que también introdujo el método de venta de entradas de "comprar un pase anual individual" (a partir de la fecha de compra, el titular de el pase anual individual se puede utilizar durante un año). Los pases anuales se dividen en tres categorías: A, B y C: los pases anuales de Clase B cuestan 60 yuanes, y los poseedores de boletos deben comprar boletos por 2 yuanes cada uno al ingresar al parque. Los pases anuales de Clase C cuestan 40 yuanes cada uno; Los poseedores de boletos deben comprar boletos por valor de 3 yuanes cada uno para ingresar al parque.
(1) Si solo elige una forma de comprar entradas y planea gastar 80 yuanes al año en entradas para el parque, intente averiguar mediante el cálculo cuál le permitirá entrar en el Estacione la mayoría de las veces.
(2) Cuando hay que entrar al parque al menos varias veces al año, ¿es más rentable comprar una entrada Clase A?
Análisis: La pregunta (1) es usar 80 yuanes para comprar un boleto. Al comparar las tres formas para elegir la mejor manera con la mayor cantidad de entradas, los boletos anuales de Clase A obviamente están excluidos;
Si eliges el pase anual Clase B, el número de veces es
=10 (veces);
Si eliges el pase anual Clase C, el número de veces es
=13 veces;
Si no tienes pase anual, solo podrás comprarlo al entrar.
=8 veces
Después de la comparación anterior, el número de entradas al parque mediante la compra de un boleto anual tipo C es 13 veces.
La pregunta (2) involucra desigualdad. Si es más económico comprar billetes de Clase A al menos x veces, existen:
Por lo que es más rentable comprar billetes de Clase A para al menos 30 visitas al año.
Este ejemplo toma la industria del turismo como telón de fondo y utiliza el conocimiento sobre desigualdad para proporcionar decisiones de consumo económico para la industria del turismo. Preguntas de aplicación sobre desigualdad como esta rara vez se ven en preguntas anteriores del examen de ingreso a la escuela secundaria.
Ejemplo 9: Comienza la verificación de boletos en la estación (Guangzhou) y un pasajero hace cola para registrarse en la sala de espera. Después de que comenzó la verificación de boletos, todavía había pasajeros que venían a registrarse. Suponiendo que los pasajeros aumentan a una velocidad fija, la velocidad de verificación de billetes en la puerta de entrada también es fija. Si se abre una puerta de entrada, se necesitarán 30 minutos para completar la cola de todos los pasajeros para obtener entradas. Si se abren dos puertas de entrada, sólo se necesitan 10 minutos para registrar a todos los pasajeros en la fila. Si todos los pasajeros que hacen fila para el check-in de boletos deben ser revisados en 5 minutos, ¿cuántas puertas de venta de boletos deben abrirse al mismo tiempo para permitir que los pasajeros que lleguen más tarde puedan realizar el check-in en el acto?
Análisis: Es difícil establecer un modelo matemático en este caso, que involucre el número de pasajeros, la velocidad de verificación de boletos y el número de puertas de venta abiertas. Luego aclare la relación de igualdad (ecuación) y la relación de desigualdad (desigualdad). Primero establecemos el número de pasajeros que ingresan a la estación en x personas por minuto y verificamos y personas en cada puerta de entrada cada minuto. Para abrir n puertas de entrada al mismo tiempo en 5 minutos, el problema significa:
①-②Simplificado: y=2x,
Sustituir ①, a=30(y-x)= 30x .
Sustituye y=2x y a=30x en ③,
35x≤10nxn≥3.5n=4
En este caso, el check-in del pasajero es Antecedentes, utilizar conocimientos matemáticos como ecuaciones y desigualdades para desviar el flujo de pasajeros, organizar razonablemente las puertas de embarque, brindar a los pasajeros servicios eficientes y de alta calidad y tomar decisiones óptimas. Este tipo de pregunta de aplicación que utiliza las desigualdades como final del examen de ingreso a la escuela secundaria nunca había aparecido antes y es el primer ejemplo en la historia del examen de ingreso a la escuela secundaria.
Ejemplo 10. El precio inicial de un taxi en una determinada ciudad (Shaanxi) es de 10 yuanes (es decir, la tarifa para un viaje dentro de 5 kilómetros es de 10 yuanes). Después de alcanzar o superar los 5 km, la tarifa aumentará en 1 por cada 1 km adicional (menos de 1 km, cuesta 1,0,2 yuanes).
Análisis: Si la distancia de A a B es aproximadamente xkm, entonces:
16 < 1(x-5)×1.2≤17.210 < x≤11
Es decir, la longitud de A a B es de aproximadamente 10 a 11 km.
Ejemplo 11. Una empresa de comunicaciones (en una determinada ciudad) estipula que la tarifa de llamada dentro de la red empresarial es: 0,5 yuanes por los primeros 3 minutos de la llamada, y 0,1 yuanes adicionales por cada minuto de llamadas que superen los 3 minutos (menos de 1 minuto es calculado como 1 minuto). La factura telefónica única para una persona es 1,65438+.
Análisis: Deje que esta persona hable durante x minutos, luego:
1 < 0,5+(x-3)×0,1≤1,18 < x≤9.
En otras palabras, el tiempo de llamada de esta persona es de aproximadamente 8 a 9 minutos.
Ejemplo 12. 20 trabajadores despedidos de cierta ciudad (provincia de Gansu) contrataron 50 acres de tierra en los suburbios para iniciar una granja. Estas tierras se pueden utilizar para cultivar hortalizas, tabaco o trigo. El número de trabajadores y el valor de producción de estos cultivos por acre se predicen de la siguiente manera:
Variedades de cultivos
Número de trabajadores por acre de tierra
Producción estimada valor de cada acre de tierra
Verduras
1100 yuanes
Hojas de tabaco
750 yuanes
Trigo
600 yuanes
Por favor, diseñe un plan de plantación para que se puedan cultivar cultivos en cada acre de tierra, se emplee a 20 empleados y se estime que el valor de producción total de los cultivos sea el más alto. .
Análisis: Plantemos x acres, y acres y (50-x-y) acres de hortalizas, hojas de tabaco y trigo respectivamente.
x+y+(50-x-y)=203x+y=90y=90-3x
Supongamos que el valor de producción total estimado es W (yuanes), entonces
w = 1100 x+750(90-3x)+600(50-x-93x)
Luego sustituye y=90-3x.
W=50x+43500
Esta es una función lineal sobre X. Su valor máximo depende del rango de valores de X. La clave está en cómo enumerar las desigualdades sobre X. Revíselo repetidamente Se encuentra el significado de la pregunta
y=90-3x≥00