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Matemáticas [inglés: Matemáticas, derivado del griego antiguo μ? θξμα (máthēma); a menudo abreviado como matemáticas o matemáticas], es una disciplina que estudia conceptos como cantidad, estructura, cambio, espacio e información. Las matemáticas son un medio universal para que los humanos describan y deduzcan rigurosamente estructuras y patrones abstractos de las cosas, y pueden aplicarse a cualquier problema del mundo real.
Todos los objetos matemáticos están esencialmente definidos artificialmente. En este sentido, las matemáticas son una ciencia formal más que una ciencia natural. Diferentes matemáticos y filósofos tienen diversas opiniones sobre el alcance y la definición exactos de las matemáticas.
Las matemáticas desempeñan un papel insustituible en el desarrollo de la historia humana y la vida social, y también son una herramienta básica indispensable para el aprendizaje y la investigación de la ciencia y la tecnología modernas.
Definición
Aristóteles definió las matemáticas como "matemáticas cuantitativas", lo que se prolongó hasta el siglo XVIII. Desde el siglo XIX, la investigación matemática se ha vuelto cada vez más rigurosa y ha comenzado a involucrar la teoría de grupos, la geometría proyectiva y otros temas abstractos que no tienen una relación clara con cantidades y medidas. Los matemáticos y filósofos han comenzado a proponer varias definiciones nuevas.
Algunas de estas definiciones enfatizan la naturaleza deductiva de muchas matemáticas, algunas enfatizan su naturaleza abstracta y otras enfatizan ciertos temas de las matemáticas. Incluso entre los profesionales, no existe consenso sobre la definición de matemáticas. Aún no se sabe si las matemáticas son un arte o una ciencia. Muchos matemáticos profesionales no están interesados en la definición de matemáticas o creen que no está definida.
Algunos simplemente dicen: "Las matemáticas las hacen los matemáticos". Las tres definiciones principales de las matemáticas se denominan lógicos, intuicionistas y formalistas, y cada una refleja una escuela filosófica diferente. Todo el mundo tiene problemas graves, nadie es aceptado universalmente y ninguna reconciliación parece factible.
La primera definición de lógica matemática es "La ciencia de sacar conclusiones necesarias" de Benjamin Peirce (1870). En "Principios de Matemáticas", Bertrand Russell y Alfred North Whitehead propusieron un programa filosófico llamado logicismo, que intentaba probar todos los conceptos matemáticos.
Las declaraciones y principios se pueden definir y probar utilizando la lógica simbólica. La definición lógica de las matemáticas es la de Russell: "Todas las matemáticas son lógica simbólica" (1903). La definición de intuicionismo proviene del matemático L.E.J Brouwer, quien equipara las matemáticas con ciertos fenómenos psicológicos. Un ejemplo de definición intuicionista es "Las matemáticas son una actividad mental de construcciones sucesivas".
El intuicionismo se caracteriza por el rechazo de algunas ideas matemáticas que otras definiciones consideran válidas. En particular, mientras que otras filosofías matemáticas permiten que se pueda demostrar que existen objetos incluso si no se pueden construir, el intuicionismo sólo permite objetos matemáticos que realmente se pueden construir.
El formalismo define las matemáticas a través de símbolos matemáticos y reglas operativas. Haskell Curry definió las matemáticas simplemente como "la ciencia de los sistemas formales". Un sistema formal es un conjunto de símbolos o notaciones con reglas que indican cómo se combinan las notaciones en fórmulas. En un sistema formal, la palabra axioma tiene un significado especial, que es diferente del significado ordinario de "verdad evidente por sí misma".
En un sistema formal, un axioma está contenido en un sistema formal dado combinaciones de tokens que se derivan sin utilizar reglas sistemáticas.