¿Existe un triángulo que tiene las siguientes propiedades al mismo tiempo: (1) tres números naturales consecutivos con tres lados (2) el ángulo mayor es el doble del ángulo menor?

Supongamos que los tres lados del triángulo son tres números naturales consecutivos n-1, N, n 1, y los tres ángulos son α, π-3α, 2α respectivamente.

Del teorema del seno, podemos obtener n-1 sinα = ? n 1 pecado 2α, ∴cosα= n 1 2(n-1).

Del teorema del coseno, ¿podemos obtener (N-1)2 = (N 1)2 N2-2(N 1)N? Cosα, es decir (N-1)2 =(N 1)2 N2-2(N 1)N? n 1 2(n-1),

Simplificando, podemos obtener n 2 -5n=0, ∴ n = 5. En este momento, los tres lados del triángulo son: 4, 5 y 6. Se puede comprobar que el ángulo máximo es el doble del ángulo mínimo.

Para resumir, hay un triángulo cuyos tres lados son 4, 5 y 6, y el ángulo mayor es el doble del ángulo menor.