Colector diferencial 1. Conceptos básicos de variedades: definiciones y ejemplos básicos de variedades, subvariedades, espacios tangentes y paquetes tangentes, funciones suaves, aplicaciones suaves y aplicaciones tangentes. Se requieren ejemplos básicos como esfera, toro y espacio proyectivo, y se requiere la clasificación de variedades unidimensionales y bidimensionales. Es necesario comprender los conceptos de inmersión, incrustación, inmersión y difeomorfismo. Regularidad, singularidad y sus aplicaciones: puntos regulares y valores regulares, puntos críticos y valores críticos, teorema de Sard, lema de Morse, teorema transversal de Thom. Es necesario comprender el concepto de grado de mapeo y utilizar el concepto de valores regulares para verificar que algunos espacios son múltiples. 3. Teorema de integrabilidad y campo vectorial suave: definición de campo vectorial suave y su singularidad, paréntesis de Lie, curvas integrales y sistemas dinámicos, fórmula de Euler-Poincaré, teorema de integrabilidad de Frobenius. 4. Estudio preliminar de los grupos de Lie y sus efectos: definiciones y ejemplos básicos de grupos de Lie y álgebras de Lie, subgrupos uniparamétricos, mapeo exponencial, efectos de los grupos de Lie sobre variedades, campos vectoriales básicos, espacios homogéneos, etc. Es necesario verificar que algunos grupos de matrices comunes sean grupos de Lie y calcular sus álgebras de Lie, y estar familiarizado con la estructura múltiple de algunos grupos de Lie de baja dimensión. Se requiere que algunas variedades comunes puedan escribirse como variedades homogéneas. 5. Formas diferenciales e integrales: definiciones y propiedades de formas diferenciales y productos externos, diferenciales externos, productos internos, derivadas de Lie, fórmula de Catan, cohomología de Derham, dualidad de Poincaré, operador de Laplace, teoría de Hodge, direcciones y formas diferenciales de integrales, variedades de frontera y el teorema de Stokes. Se requiere dominar las habilidades de descomposición de unidades y comprender las formas clásicas del cálculo diferencial externo y el teorema de Stokes. Se requiere poder calcular anillos de homología de variedades ordinarias y variedades bidimensionales. 6. Estudio preliminar de la geometría de Riemann: métrica de Riemann, conexión de Levi-Civita, símbolo de Christoffel, curvatura de Riemann, curvatura de sección y el módulo de variedades de curvatura de sección constante. Requiere la capacidad de calcular la curvatura de Riemann a partir de una métrica de Riemann determinada. Requiere familiaridad con los conceptos de paquetes de vectores y operaciones tensoriales. La teoría general de la relatividad múltiple de Riemann de Einstein nos dice que la gravedad no es una fuerza real, sino un fenómeno geométrico que refleja la distorsión del espacio. Para un investigador, al estar en este espacio, no puede sentir directamente la distorsión del espacio. Pero puede determinar si hay distorsión espacial midiendo su propio espacio, y el estándar de medición es el llamado métrico. La medición es una propiedad intrínseca. Un espacio métrico se llama espacio de Riemann. La definición específica es la siguiente: Una variedad de Riemann es una variedad diferencial con una métrica de Riemann. En otras palabras, hay un campo tensor de segundo orden covariante definido positivo simétrico en esta variedad, es decir, hay un definido positivo de segundo orden. matriz en cada punto. Una vez dadas las medidas, podemos construir una teoría del cálculo como en el análisis matemático. El espacio euclidiano tiene una métrica natural DS^2 =(DX_1)2...(DX_N)2. Su matriz es la matriz identidad. Las subvariedades en el espacio euclidiano inducen naturalmente una métrica. En la geometría diferencial de curvas y superficies, consideramos las curvas y superficies como subvariedades en el espacio tridimensional, por lo que naturalmente se les da una estructura métrica. Una vez dada la métrica de Riemann, podemos determinar de forma única una conexión simétrica (es decir, no flexible) y mantener el producto interno de Riemann. Este contacto se llama contacto de Riemann. Usando esta conexión, podemos definir diferenciales covariantes y derivadas covariantes de campos vectoriales, estableciendo así el cálculo diferencial en variedades. En el espacio euclidiano, la conexión es 0, por lo que este es el diferencial de una función vectorial en el sentido habitual. La métrica de Riemann también resume el concepto de curvatura de Riemann. La curvatura de Riemann refleja el grado de curvatura de la variedad y es una propiedad intrínseca, lo que significa que esta propiedad no tiene nada que ver con el gran espacio en el que se encuentra la variedad. Una variedad con curvatura constante que desaparece se llama variedad de Riemann plana. El espacio euclidiano es la variedad plana más común.
El gran matemático Gauss estudió por primera vez la curvatura en la superficie, la curvatura gaussiana, y descubrió que esta curvatura es intrínseca, aunque su definición no lo es. Este es un descubrimiento muy notable.