Considerando que la raíz es positiva, se puede expresar como P/Q (P y Q son números enteros positivos primos relativos).
Entonces P^3+aP^2Q+bQ^3 = 0.
P^3 = Q^2
Si p no incluye el factor aP-bQ, entonces la ecuación no se puede establecer, entonces sea p = (AP-bq) r.
Entonces (AP-bq) 2 * r 3 = q 2.
Del mismo modo, q también debe contener un factor (aP-bQ).
Es contradictorio con P y Q, por lo que la raíz no se puede escribir en la forma P/Q incorrecta.
Lo mismo ocurre con las raíces negativas. Simplemente cámbielo a -p/q.
(Este enfoque es similar a demostrar que √2 es un número irracional.)
(b) Demuestre que el conjunto {log2 n: n∈N} es un número entero o un número irracional.
Certificado:
Cuando n = 2^k, log2n es un número entero.
En otros casos, utilizando la prueba por contradicción, suponga que log2 n puede ser expresado como P /Q(P, Q es un entero positivo relativamente primo).
Entonces n q = 2 p.
n se puede expresar como 2 r * t (r, t son números enteros, lo que hace que 2, t sean primos relativos).
Entonces 2 rq * t q = 2 p.
Pero como 2 y T son primos relativos, no se puede establecer la ecuación. Obtenga el certificado.
(Puede que la escritura no sea muy clara, pero son matemáticas muy simples y estas dos preguntas son teoría de números).