Li Xiaodong
Al construir modelos de probabilidad apropiados y utilizar las propiedades, teoremas y fórmulas de probabilidad para demostrar algunas desigualdades de uso común, ilustra las ventajas. de métodos probabilísticos La eficiencia, simplicidad y practicidad de las ideas en la resolución de problemas. Resumen: Este artículo expone la aplicación de métodos de probabilidad en la prueba de desigualdades, demuestra el ingenio y la superioridad de la aplicación de probabilidad, proporciona nuevas herramientas para resolver algunas desigualdades y amplía las ideas de la prueba de desigualdad.
Palabras clave: método de probabilidad; variable aleatoria; distribución de probabilidad
1 Introducción
La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas que se utiliza para demostrar que algunas desigualdades. son muy factibles e importantes. El famoso académico matemático Wang Zikun señaló en la literatura [3]: "El uso de métodos de probabilidad para probar ciertas desigualdades en el análisis matemático o resolver otros problemas es una de las direcciones de investigación importantes de la teoría de la probabilidad, según este artículo. Construya modelos de probabilidad apropiados en función de sus respectivas características y seleccione propiedades y teoremas de probabilidad apropiados.
2 Utilice la propiedad de probabilidad "Cualquier evento, existe".
Para un tipo de desigualdad, se puede utilizar el siguiente pensamiento probabilístico para probarlo: encontrar todas las variables independientes en la desigualdad para que correspondan a la probabilidad de un evento aleatorio.
El ejemplo 1 demuestra: Si, entonces.
Demuestre que dos eventos son independientes entre sí, los hay
[4]
porque
por lo tanto
es decir
3 Utilice "" para demostrar la desigualdad
Según la definición de varianza de variables aleatorias
Ueyuki
Suponiendo que el Ejemplo 2 es cualquier número real, esto demuestra:
Se demuestra que, según la definición de expectativa matemática, la conclusión se transforma en una variable aleatoria discreta y su distribución de probabilidad es
reglas
,
Permitir
Es decir,
En términos generales, cuando un lado de la desigualdad son dos series, el cuadrado del producto es (dónde), y el otro lado es una serie con otro Cuando la suma de los productos cuadrados de una serie o (dónde), se puede usar la siguiente idea de probabilidad para probar: Construya una variable aleatoria discreta de modo que que su distribución de probabilidad es
o
Luego use la desigualdad de expectativas matemáticas para probar desigualdades
4. existe" para demostrar desigualdades.
De acuerdo con las propiedades de las expectativas matemáticas y "si las variables aleatorias son independientes entre sí, existen", podemos obtener
Porque, por lo tanto
Ejemplo 3 prueba:
Se demuestra que si la conclusión se transforma en variables aleatorias y son independientes entre sí, entonces la distribución de probabilidad de
es
reglas
,,,
Porque
por lo tanto
eso es
.
5 Utilice la desigualdad de Cauchy-Schwarz [5] para demostrar la desigualdad.
Considere la función cuadrática de variables reales
Porque para todo, la hay, entonces la ecuación cuadrática o no tiene raíces reales o solo tiene una raíz múltiple, por lo que sabemos su discriminante. no es positivo, es decir,
es decir
Supuesto del ejemplo 4, demuestre:.
Se demuestra que la distribución de probabilidad de la suma de variables aleatorias es
la distribución de probabilidad es
la distribución de probabilidad es
regla
,,
Por, por
es decir
.
6 Usa la monotonicidad de la probabilidad para demostrar la desigualdad
Conociendo, y luego por la aditividad finita de la probabilidad, obtenemos
De la no negatividad de probabilidad también se puede conocer, entonces esta es la monotonicidad de la probabilidad: para un evento, si, entonces hay.
Ejemplo 5 Supuesto, es decir, prueba:
La prueba supone que los eventos,,, son independientes entre sí, y
,,,
Porque
De la monotonicidad de la probabilidad
Porque,,, son independientes entre sí, entonces
Por lo tanto
y
De la misma manera; de manera similar
Incorpore las tres fórmulas anteriores a la fórmula para obtener el producto final.
7 Resumen
Como se puede ver en los ejemplos anteriores, la clave para utilizar métodos de probabilidad para probar ciertas desigualdades es establecer un modelo de probabilidad basado en la forma específica de la desigualdad. y luego usar las propiedades relevantes de la teoría de la probabilidad y demostrar el teorema. Por un lado, esto puede proporcionar una base de probabilidad para el aprendizaje de matemáticas avanzadas y comunicar las conexiones entre diferentes disciplinas y aspectos. Por otro lado, las ideas para la resolución de problemas son novedosas y únicas, lo cual es un aspecto de la aplicación de métodos de probabilidad en otras ramas de las matemáticas. Además, también se pueden aplicar métodos probabilísticos.
Referencia
[1] Wang Zikun, Fundamentos de la teoría de la probabilidad y su aplicación[M]. Beijing: Science Press, 1979.
[2] Yan, Liu Xiufang, Teoría de la probabilidad y estadística matemática [M Beijing: Higher Education Press, 1990].
[3] Sheng Shu, Xie Shiqian, Pan, Teoría de la probabilidad y estadística matemática [M] Beijing: Higher Education Press, 2001.
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