La ecuación estándar y las propiedades de la elipse son las siguientes:
La ecuación estándar de la elipse:
La ecuación estándar de la elipse es (x-h) ^2/a^2 (y-k )^2/b^2 = 1, donde (h, k) es la coordenada central de la elipse, a es la longitud semiaxial de la elipse en el eje x y b es la longitud semiaxial de la elipse en el eje y. Si a=b, entonces la elipse es un círculo perfecto.
Las propiedades de la elipse incluyen:
1. La elipse es una curva cerrada y la suma de las distancias desde cualquier punto de ella a los dos focos de la elipse es constante. (mayor que 2a).
2. La elipse es simétrica en el eje x y en el eje y respectivamente. Se puede demostrar que el foco de la elipse es equidistante del centro de la elipse en el eje x y en el eje y. eje y.
3. La excentricidad de una elipse se define como c/a, donde c es la distancia desde el foco de la elipse al centro. La excentricidad es menor que 1 y mayor que 0.
4. La suma de las distancias desde el foco geométrico de la elipse hasta los puntos de la curva es una constante, que se denomina "longitud focal de la elipse".
5. La ecuación tangente de la elipse es yy1 = -2a^2(x-x1), donde (x1, y1) es un punto de la elipse.
6. La ecuación paramétrica de la elipse es x=h a*cosθ, y=k b*sinθ, donde θ es el parámetro.
Propiedades y características de las elipses:
1. Teorema del radio focal:
La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los dos focos es igual a la longitud de la elipse La longitud del eje es 2a, es decir, PF1 PF2 = 2a, donde P es un punto de la elipse y F1 y F2 son los dos focos respectivamente.
2. Ecuaciones paramétricas y teorema del coseno:
La ecuación paramétrica de la elipse es x = h a*cosθ, y = k b*sinθ. Según el teorema del coseno, suponiendo que las coordenadas del punto P en la elipse son (x, y), y las coordenadas del foco F1 son (c, 0), existe una relación c = ae, donde e es la excentricidad de la elipse. Combinado con ecuaciones paramétricas, se puede derivar la relación entre las coordenadas xey de cualquier punto de la elipse y la excentricidad e de la elipse, obteniendo así la expresión algorítmica de e.
3. Área y perímetro de la elipse:
Área: La fórmula del área de la elipse es A = πab, donde a es el semieje mayor de la elipse y b es el semieje mayor. -eje menor de la elipse.
Perímetro: No existe una fórmula analítica concisa para la circunferencia de una elipse, pero se puede calcular un valor aproximado utilizando métodos de integración numérica.
4. La intersección de una elipse y una recta:
La intersección de una elipse y una recta se puede resolver combinando simultáneamente la ecuación de la elipse y la ecuación de la recta, y resolviendo los valores de x e y. Generalmente, una elipse y una línea recta tendrán dos puntos de intersección, pero en casos especiales puede haber solo uno o ningún punto de intersección.
5. Excentricidad y forma de la elipse:
La excentricidad e de la elipse determina la forma de la elipse Cuanto más cerca está la excentricidad de 0, más cerca está la elipse de a. círculo; la excentricidad Cuanto más cerca está de 1, más alargada es la elipse. Cuando la excentricidad es igual a 1, la elipse se convierte en una parábola.
6. La propiedad de convergencia focal de la elipse:
La elipse es una curva de convergencia focal, es decir, para la recta tangente que pasa por cualquier punto de la elipse, la recta tangente es igual al ángulo formado por los dos focos.