Antes de esto, el espacio en el que nos centramos era básicamente un espacio compuesto de espacio funcional o secuencia. Se establecieron conceptos como espacio de distancia, espacio normado, espacio de producto interno y espacio de Hilbert.
Utilizar métodos de investigación matemática como analogía, asociación e inducción para extender la estructura algebraica y las características geométricas del espacio de dimensión finita al espacio de dimensión infinita.
Muchos problemas matemáticos, como la traslación y la rotación en la geometría analítica de la escuela secundaria, son solo transformaciones lineales (operaciones).
La diferenciación y la integración en matemáticas avanzadas también son operaciones lineales y tienen muchas propiedades operativas similares a las transformaciones lineales en el espacio (rotación, estiramiento, traslación de vectores, etc.).
Lineal Las ecuaciones, las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones integrales pueden considerarse operaciones lineales (o transformaciones lineales o asignaciones lineales) en un espacio específico.
A estos los llamamos operadores lineales, que son uno de los conceptos básicos más importantes en el análisis funcional. Tratamos a todos los operadores lineales acotados (como integrales, matrices, etc.) como espacios lineales y les damos una norma para convertirse en un espacio lineal normado. Los operadores lineales se consideran elementos en el espacio normado.
El espacio de operadores lineales es el objeto principal del análisis funcional lineal. Estudiar las propiedades de las operaciones lineales en el marco de espacios de operadores lineales para resolver problemas de análisis, álgebra y geometría.
Al analizar las características esenciales de los operadores lineales acotados en espacios normados, podemos obtener algunas conclusiones profundas:
Las operaciones que satisfacen las propiedades se denominan operadores lineales. Por lo tanto, las operaciones diferenciales y las operaciones integrales son ambas operadores lineales.
Definición 1: Sea un espacio normado, un subespacio lineal y un mapeo desde hasta, que satisfaga:
donde (es un campo numérico), el mapeo se llama desde hasta operador lineal. El dominio nombrado.
Nota 1: Generalmente, es un subconjunto adecuado de . Si es así, se denomina operador lineal de arriba hacia abajo.
Nota 2: Si (número),. Estos operadores lineales se denominan funcionales lineales.
Es decir, el funcional lineal (o) es un operador lineal desde el espacio normado hasta el campo numérico.
Nota 3: Desde la perspectiva de las señales y los sistemas, el espacio es en realidad el espacio de entrada del sistema (señal de entrada), y el espacio es el espacio de salida del sistema (señal de salida) o el espacio después de la transformación. (acción); los operadores lineales son sistemas lineales.
Definición 2: Sea un operador lineal de a. Si hay una constante que la hace se llama operador lineal acotado.
Si un funcional lineal es acotado, si tiene una constante, entonces
se llama funcional acotado. Debido a que el funcional se asigna a un número, la norma del número está representada por su valor absoluto.
Nota 1: La acotación del operador lineal acotado significa que el "factor de ampliación" después del mapeo no excede una constante. (El tamaño de un elemento se mide mediante una norma)
Nota 2: Dado que el producto interno puede producir normas, el espacio del producto interno también es un espacio normado, por lo que se refiere a los operadores lineales acotados en el espacio normado. y La discusión sobre funcionales acotados todavía se mantiene en los espacios internos de productos.
Nota 3: Los operadores lineales acotados asignan conjuntos acotados a conjuntos acotados (entrada acotada, salida acotada).
Definición 4: Sea un espacio normado y un operador lineal de a. Si es así, se dice que es continuo en ese punto.
Teorema 5: Sea un espacio normado y un operador lineal de a. Si es continua en ese punto, es continua en ese punto.
Nota 1: Para operadores lineales, un punto de continuidad es un punto de continuidad.
Nota 2: La continuidad del operador lineal significa:
Las operaciones extremas y las operaciones lineales se pueden intercambiar en orden.
Teorema 6: Supongamos que es un espacio normado y un operador lineal de a, entonces es continuo si y sólo si está acotado.
A continuación, consideramos el operador lineal acotado como un elemento para formar un nuevo espacio lineal, es decir, un espacio compuesto por todos los operadores lineales acotados (como operaciones integrales y operaciones matriciales).
Estudiar las propiedades de los operadores lineales desde la perspectiva del espacio normado.
Definición 7: Sea un espacio normado, que represente todos los operadores lineales acotados desde hasta.
Si, recordemos a Jane.
Las operaciones lineales (suma, multiplicación numérica) se pueden realizar de forma natural. Para cualquier suma, definición:
Debido a que las operaciones de suma y multiplicación son cerradas, se convierte en un espacio lineal.
A continuación, consideramos los operadores lineales acotados como elementos en el espacio y definimos la norma de los operadores lineales acotados en el espacio.
Definición 8: Supongamos que es un operador lineal acotado en el espacio normado, es decir, existe de tal manera que
forma
una norma llamada operador lineal número .
Teorema 10: Supongamos que es un operador lineal acotado en un espacio normado, entonces:
En particular, en ese momento, también se puede definir la operación de multiplicación (expresada como):
p>
Obviamente también es un operador lineal, y:
Además, existen:
Teorema 11: Supuesto. Para cualquiera, defina:
Es una función acotada en .
Nota: Cualquier funcional acotado en a se puede escribir en la forma anterior, es decir, el funcional acotado en a se puede determinar mediante los elementos en .
La función acotada en un espacio de dimensión infinita se proporciona a continuación.
Teorema 12: Supongamos que es una función continua, para cualquier definición:
Es una función acotada.
Nota 1: La norma del funcional lineal se puede probar.
Nota 2: En particular, si , la integral definida es una funcional acotada en .
Nota 3: No todos los operadores lineales están acotados. Por ejemplo, un operador diferencial muy importante es un operador ilimitado. Por ejemplo, para diferenciar tenemos:
Sin embargo, es ilimitado.
Nota: El operador diferencial es un operador lineal ilimitado muy importante. Aunque el operador diferencial no está acotado, es un operador lineal cerrado. Los operadores lineales cerrados también tienen la buena propiedad de "cuasicontinuidad".
La distancia del operador puede ser inducida por la especificación del operador:
Por lo tanto, también es un espacio de distancia ( elemento La estructura de distancia se define en el espacio). Con la distancia, podemos discutir la convergencia de las columnas de elementos en el espacio y luego la integridad del espacio.
Obviamente, el problema de la convergencia de secuencias de operadores según la norma se puede encontrar en.
Definición 1: Establecer, si
Entonces la secuencia del operador lineal acotado converge al operador lineal acotado de acuerdo con la norma.
Teorema 2: La convergencia de una secuencia de operadores lineales según la norma en el espacio es equivalente a la convergencia consistente de una secuencia de operadores lineales en la esfera unitaria (la velocidad de convergencia no tiene nada que ver con el valor) .
La convergencia uniforme es una explicación intuitiva. Si todos los puntos más grandes convergen, entonces otros puntos deben converger. Esto está determinado por la definición de la norma del operador, que toma el factor de amplificación máximo (par de operadores Valores diferentes. tienen diferentes aumentos).
Además, la convergencia de la secuencia de operadores bajo la norma es equivalente a la convergencia uniforme en el conjunto acotado.
Los operadores lineales pueden definir otros métodos de convergencia en el espacio además de la convergencia de normas (o convergencia uniforme).
Definición tres: entorno. Si es correcto, se llama convergencia punto por punto (las diferentes velocidades de convergencia pueden ser diferentes) o convergencia fuerte.
Nota: La convergencia por norma hacia (convergencia uniforme) puede conducir a una fuerte convergencia hacia y viceversa.
El espacio compuesto por operadores lineales acotados es un espacio normado, por lo que se puede discutir su integridad.
Un espacio normado es completo si y sólo si las columnas del espacio convergen.
Teorema 5: Supongamos que es un espacio normado y un espacio, entonces el espacio del operador lineal acotado es un espacio (espacio normado completo).
Abstraemos operadores lineales en elementos en el espacio de operadores lineales. El propósito de la abstracción es permitirnos ver más claramente algunas características esenciales de los operadores lineales.
Bajo el marco del espacio de operadores lineales, el estudio de las propiedades de las operaciones lineales conducirá a algunas conclusiones profundas, como el principio acotado uniforme, el teorema de mapeo abierto, el teorema del operador inverso y el teorema de la imagen cerrada. Estos tres teoremas y el teorema (el teorema de continuación de los funcionales lineales) pueden considerarse como la piedra angular de la teoría del operador lineal en espacios normados.
Estos tres teoremas describen las importantes propiedades de los operadores lineales en el espacio.
Definición 1: Sea un espacio de distancia. Si cualquier conjunto abierto no vacío es denso, se llama conjunto disperso.
Definición de denso: Es un conjunto de puntos en el espacio de distancia. Si lo es, se llama medio denso.
Nota: No hay puntos interiores en el conjunto disperso. De hecho, si es un punto interior, hay saque de salida, por lo que es denso en el saque de salida.
Definición 2: Si un conjunto se puede expresar como la unión de como máximo varios conjuntos dispersos, es decir,
donde el conjunto disperso se llama primer conjunto de contorno.
Un conjunto que no es el primer conjunto de esquemas se llama segundo conjunto de esquemas.
Teorema 3 (Teorema del contorno): Un espacio de distancia completo es el segundo conjunto de contornos.
Corolario: El espacio es un segundo tipo de conjunto.
Para operadores lineales acotados, se puede obtener que una familia de operadores lineales acotados con puntos acotados debe estar acotada uniformemente.
Teorema 7 (Principio Acotado Uniforme):
Supongamos que es una familia de operadores lineales acotados de espacio a espacio normado. Si es así, sí
Es un conjunto acotado. Pertenece a un conjunto de indicadores.
Nota 1: "Consistencia" significa cierto para todos.
Nota 2: Este teorema establece que si existe alguna existencia tal que
tenga un común, entonces
La proposición negativa de este teorema: si es una familia desde el espacio hasta el operador lineal acotado del espacio normado, entonces existe, por lo que
Esta proposición se llama teorema de resonancia.
Según el Teorema 5 de la sección anterior, si se trata de un espacio o espacio normado, entonces el espacio del operador lineal acotado es un espacio. Es decir, cualquier columna en el espacio converge según la norma del operador (es decir, cuando, la norma del operador).
Primero considere la completitud en el sentido de una fuerte convergencia, es decir, cualquier columna en el espacio converge punto por punto.
Teorema 12: Supongamos que un espacio es completo en el sentido de fuerte convergencia.
Nota: El significado de integridad:
Nota: Es el resultado después de la primera iteración del operador (modelo). .
Se dice que un mapeo es inyectivo si solo existe unicidad para cualquier mapeo dado (que representa el rango del mapeo). En este momento, puede definir un operador desde el rango hasta, llamado operador inverso.
Definición 1 (operador inverso): Sea un operador lineal de espacio lineal a espacio lineal. Si hay un operador lineal en , entonces
Se dice que el operador tiene un operador inverso y el operador inverso se registra como .
Nota 1: La condición necesaria y suficiente para la existencia del operador inverso es que sea un mapeo uno a uno de espacio a espacio.
Nota 2: Si existe, es único.
Nota 3: Se puede demostrar que también es un operador lineal.
Nota 4:.
Teorema 2: Sea un operador lineal de un espacio normado a un espacio normado. Si existe, entonces
hay un operador inverso acotado.
Nota 1: Es un mapeo desde hasta, no necesariamente el espacio completo, ni el espacio completo.
Nota 2: No es necesario tener un límite aquí, justo debajo.
Definición 3: Sea el mapeo de . Si cualquier conjunto abierto en se asigna a un conjunto abierto en , se denomina mapeo abierto.
Teorema 4 (Teorema de Mapeo Abierto): Supongamos que se define de espacio a espacio.