La desigualdad de Cauchy-Schwarzin es una desigualdad básica en matemáticas, que se puede utilizar para encontrar la suma máxima de los productos internos de dos vectores en un valor mínimo del espacio vectorial.
Supongamos que los vectores $a$ y $b$ son vectores compuestos de $n$ números reales, entonces su producto interno es:
$$a\cdotb=\sum_{ i= 1}^na_ib_i$$
La desigualdad de Cauchy se expresa como:
$$(a\cdotb)^2\leq(a\cdota)(b\cdotb)$ $
La condición de esta desigualdad es que los vectores $a$ y $b$ no sean ambos vectores cero, y los vectores $a$ y $b$ estén linealmente relacionados.
La desigualdad de Cauchy se puede utilizar para derivar los valores máximo y mínimo en dos situaciones:
1. Cuando las direcciones de los vectores $a$ y $b$ son las mismas, El producto es el más grande y el valor máximo es $(a\cdota)(b\cdotb)$.
2. Cuando las direcciones de los vectores $a$ y $b$ son opuestas, su producto interno es el más pequeño y el valor mínimo es $-(a\cdota)(b\cdotb)$.
La desigualdad de Cauchy es muy utilizada en matemáticas y física, como álgebra lineal, funciones de variables reales, etc. Al resolver los valores máximo y mínimo del producto interno, la desigualdad de Cauchy se puede utilizar para simplificar el proceso de solución.
Introducción a Cauchy:
El matemático francés Couch-Augustin Louis (1789-1857) nació en París el 21 de agosto de 1838. Su padre, Louis François Cauchy, era un funcionario borbón que ocupó cargos públicos en la tumultuosa vorágine política de Francia. Por motivos familiares, el propio Cauchy pertenecía a la facción ortodoxa que apoyaba a la dinastía borbónica y era un católico devoto.
Su conocimiento de las matemáticas puras y las matemáticas aplicadas es bastante profundo. Muchos teoremas y fórmulas matemáticas llevan su nombre, como la desigualdad de Cauchy, la fórmula integral de Cauchy, etc. En escritura matemática, se le considera cuantitativamente superado sólo por Euler. Escribió 789 artículos y varios libros a lo largo de su vida, los más famosos de los cuales son "Conferencias de análisis" (1821) y "Informe sobre la teoría integral definida" (1827).
Pero no todas sus creaciones eran de alta calidad, por lo que una vez fue criticado como "prolífico y temerario", lo que va en contra del príncipe de las matemáticas (Gauss). Se dice que cuando se publicaron por primera vez las "Actas de la Academia Francesa de Ciencias", había tantas obras de Cauchy que la Academia de Ciencias tuvo que pagar muchos costos de impresión, que excedieron el presupuesto de la Academia de Ciencias. Por lo tanto, la Academia de Ciencias estipuló más tarde que el artículo sólo podría tener hasta cuatro páginas. El artículo más extenso de Cauchy tuvo que enviarse a otro lugar.