Echemos un vistazo a este problema: sustitución trigonométrica de integrales indefinidas.

Supongamos que x = asinu, entonces:

tanu=sinu/√[1-(sinu)^2]=(x/a)/√[1-(x/a)^2]=x/ √(a^2-x^2),

dx=[a/(cosu)^2]du.

∴∫[1/(a^2-x^2)^(3/2)]dx

=(1/a^3)∫(cosu)^3 [a/(cosu)^2]du

=(1/a^2)∫cosudu

=(1/a^2)sinu C

=(1/a^2)x/√(a^2-x^2) C.

∴∫(el límite superior es a/2, el límite inferior es 0)[1/(a ^ 2-x ^ 2)(3/2)]dx

= (1/ a 2) x/√ (a 2-x 2) |(El límite superior es a/2, el límite inferior es 0)

=(1/a^2)(a /2)/√[a^ 2-(a/2)^2]-0

=(1/a)/√(4a^2-a^2)

=√3/(3a^ 2).