En la práctica, existen muchos problemas al resolver ecuaciones lineales de n elementos, como
①
②
Línea y columna La fórmula se puede utilizar para resolver problemas como ecuaciones lineales de n dimensiones como ②.
2
2.1 Definición de disposición 1 Una matriz ordenada que consta de 1,2...n...n se denomina disposición horizontal. El número total de permutaciones de N niveles es
(factorial de n).
Definición 2 En un arreglo, si las posiciones anterior y posterior de un grupo de números están en orden inverso, es decir, el número anterior es mayor que el último número, se denomina orden inverso. El número total de inversos en una permutación se llama número de inversos en la permutación.
Definición 3 La disposición inversa de los números pares se llama disposición par, y la disposición inversa de los números impares se llama disposición impar.
2.2 Determinante
Definición (establecida en enésimo orden): determinante de enésimo orden.
Es la suma algebraica de los productos de n elementos tomados de diferentes filas y columnas, formada por términos, la mitad de los cuales son términos con signos positivos y la otra mitad con signos negativos, lo que indica el orden inverso de la permutación. .
Propiedades de los determinantes de orden 2,3
El determinante del atributo 1 es igual a su determinante transpuesto. ()
De hecho, si recuerdas,
Nota: las filas y columnas de un determinante tienen el mismo estado, por lo que las propiedades del determinante se aplican por igual a filas y columnas.
La propiedad 2 intercambia dos filas () o dos columnas () del determinante, y el determinante cambia de signo.
Por ejemplo
Infiere que si las dos filas (columnas) del determinante son exactamente iguales, entonces.
Prueba: Si se invierten las mismas dos líneas, habrá, así.
Propiedad 3 Todos los elementos de una fila (columna) del determinante se multiplican por un número, que es igual al número multiplicado por el determinante, es decir,
Corolario: ( 1) Los factores comunes de todos los elementos de una fila (columna) se pueden mencionar fuera del símbolo determinante;
(2) Si todos los elementos de una fila (columna) son cero, entonces;
Propiedad 4: Si hay dos filas (columnas) de elementos en el determinante, el determinante es igual a cero.
Propiedad 5: Si todos los elementos de una fila (columna) de un determinante son la suma de dos números, entonces el determinante es igual a la suma de los dos determinantes. Los elementos de esta fila (columna) de estos dos determinantes son uno de los dos sumandos correspondientes, y los elementos de otras filas (columnas) son los mismos que los determinantes originales. Eso es
.
Síndrome: definido por determinante
Propiedad 6 Todos los elementos de una fila (columna) de un determinante se multiplican por el mismo número y se suman a los elementos correspondientes de otra fila (columna) arriba, el valor del determinante permanece sin cambios, es decir,
Un método común para calcular el determinante: use las propiedades 2, 3, 6, especialmente la propiedad 6 para transformar el determinante en un valor superior (inferior). ) determinante triangular , para que el valor del determinante sea fácil de calcular.
2.4 Cálculo de determinantes
2.4.1 Cálculo de determinantes de números
1. Método del triángulo
Ejemplo 1.
Solución: La característica de este determinante es que la suma de los elementos de cada fila (columna) es igual. Según la naturaleza del determinante, el segundo, tercero, cuarto, quinto, quinto, quinto, quinto, quinto, sexto, sexto, sexto, sexto, sexto, séptimo, séptimo, octavo, octavo, noveno, noveno, noveno, noveno. , noveno, noveno, noveno el noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno, noveno
.
Ejemplo 2.
Solución: Este es un determinante numérico de orden inferior, generalmente calculado como un determinante triangular superior (inferior).
2.
2. Método recursivo
El ejemplo 3 calcula el valor del determinante.
Solución Agregue todas las columnas a 1 columna y expanda según 1 columna para obtener la fórmula recursiva.
Continuando usando esta fórmula recursiva, hay
valores iniciales, por lo que
Ejemplo 4 de cálculo.
Solución:
.
, ,
,
3. Inducción matemática
Cuando la suma y son determinantes del mismo tipo, se puede considerar la inducción matemática. Busque la ley. Generalmente, se utiliza la inducción incompleta para encontrar el valor estimado del determinante y luego se usa la inducción matemática para probar el valor estimado. Por tanto, la inducción matemática se utiliza generalmente para demostrar ecuaciones determinantes.
El ejemplo 5 calcula el determinante.
Solución: Combinando las propiedades del determinante y las reglas del determinante cuadrático, podemos utilizar la inducción matemática para resolver este determinante.
Cuando,
Supongamos que hay
Entonces, cuando según la primera columna, obtenemos
Así, para cualquier positivo entero, Sí
4. Método de fórmula
El ejemplo 6 calcula el valor del determinante.
Para resolver este problema, usa la fórmula de multiplicación de determinantes para obtener
Dado que el coeficiente es 1, entonces.
2.4.2 Ejemplos de conceptos y propiedades de los determinantes
Se sabe que el ejemplo 7 es uno de los determinantes de sexto orden. Intente determinar el valor y el signo del término.
Según la definición de determinante, la solución es la suma algebraica de los productos de elementos de diferentes filas y columnas. Por lo tanto, el indicador de línea
debe tomarse del orden del 1 al 6, para que se pueda ver de esa manera.
Calcula directamente el número de filas y columnas en orden inverso, ambos.
También sé que este elemento debe marcarse con un signo negativo.
2.4.3 Cálculo del determinante abstracto
Ejemplo 8 Si las matrices de cuarto orden A y B son similares, entonces el determinante () es el valor propio de la matriz A..
La solución es de a a b, se conocen los valores propios de b. Entonces los valores propios son 2, 3, 4, 5. Entonces los valores propios son 1, 2, 3, 4. Hay una fórmula.
2.4.4 Cálculo de determinantes con parámetros
El ejemplo 9 es conocido, búsquelo.
La solución multiplica el -1 de la línea 3 por la línea 1, donde
Por lo tanto...
Prueba de 2.4.5
Pensar y resolver problemas:
①Método de establecimiento de evidencia;
(2) Evidencia por contradicción: como encontrar una contradicción a partir de una reversibilidad;
③Construir un ecuación homogénea e intente demostrar que tiene una solución distinta de cero;
④Intente demostrar el rango de la matriz;
⑤Demuestre que 0 es un valor propio de la matriz A..
2.4.6 Solución de determinante especial
1 Determinante de Vandermond
Definición: El determinante se llama determinante de Vandermond de nivel N.
Ejemplo 10 Calcular el valor del determinante.
Solución Reescribe 1 como, la primera línea se convierte en la suma de dos números, que se pueden dividir en la suma de dos determinantes, es decir,
Recuerda que los dos determinantes son Los Luego, la suma se obtiene mediante el determinante de Vandermonde.
Por lo tanto
Teorema de Laplace
Supongamos que existe una fila cualquiera en el determinante D, y la suma de todas las subexpresiones compuestas por los elementos de esta fila y su algebraico cofactores es La suma de los productos es igual al determinante.
(Entre ellos: ①Subfórmula de nivel: seleccione arbitrariamente filas y columnas en un determinante de nivel. Los elementos ubicados en la intersección de estas filas y columnas forman un determinante de rango en su orden original, llamado determinante de rango La fórmula de rango de la fórmula (2) Fórmula de complemento: después de tachar esta fila y columna, el determinante compuesto por los elementos restantes en el orden original se denomina fórmula de complemento de la fórmula de complemento: Los indicadores de fila y columna de la. Los subfactores de nivel establecido en el medio son los cofactores algebraicos regulares con signo de complemento).
Ejemplo 11: Encuentra el determinante.
Solución: Toma la primera y segunda fila del determinante y obtén seis subfórmulas:
Sus cofactores algebraicos correspondientes son
Según el teorema de La Plath
3 Conclusión
El conocimiento profundo, el pensamiento agudo y el estilo democrático y riguroso del maestro me han beneficiado mucho y serán inolvidables por el resto de mi vida.
La actitud académica rigurosa y el espíritu meticuloso siempre me inspirarán y estimularán a estudiar y trabajar duro.
¡Gracias profesora por tu preocupación, orientación y enseñanza!
Gracias a mis compañeros y amigos por su atención y ayuda.