La Historia de las Matemáticas es una herramienta para el aprendizaje y la comprensión de las matemáticas. Si las personas quieren comprender el proceso de desarrollo de conceptos, ideas y métodos matemáticos y establecer una conciencia general de las matemáticas, deben guiarse por la historia de las matemáticas. La teoría de la probabilidad y la estadística matemática también tienen su propia historia de desarrollo y mejora continuos. En la actualidad, nuestro país impulsa la reforma de la educación básica y concede gran importancia a la educación de la historia y la cultura matemática. La aplicación de la historia de las matemáticas en la enseñanza de probabilidad y estadística en las escuelas intermedias puede ayudar a los estudiantes a comprender la relación entre el conocimiento matemático y los métodos de pensamiento únicos de las matemáticas inciertas, mejorando así sus habilidades.
1 Interpretar hechos históricos y promover la comprensión de los estudiantes sobre la definición de probabilidad.
La definición clásica de probabilidad fue dada por Laplace en 1812, y su discusión se limitó a la situación en la que todos los resultados posibles en experimentos aleatorios son limitados e iguales. En la enseñanza, puede combinar el problema de la "asignación de apuestas" para experimentar las características del modelo de probabilidad clásica y profundizar su comprensión de la definición. Tomemos un caso simple de este problema: A y B apuestan, cada uno apostando 30 yuanes, un total de 60 yuanes, en cada juego. Todos son 12. Todos estuvieron de acuerdo en que quien gane primero tres juegos gana todas las apuestas. Ahora, se han apostado 60 yuanes por tres juegos y A 2 ganó 1, pero dejó de apostar por alguna razón desconocida. ¿Cómo se debe dividir equitativamente la apuesta de 60 yuanes entre las dos personas? A primera vista, sintió que la distribución debería basarse en 2:1, es decir, A recibe 40 yuanes y B recibe 20 yuanes. A algunas personas se les han ocurrido otras soluciones. La división correcta debe tener en cuenta la probabilidad de que A y B ganen si continúan apostando sobre esta base. De hecho, el resultado se puede determinar jugando como máximo dos juegos, y estos dos juegos tienen cuatro resultados posibles: A, B, B y B. Las primeras tres situaciones son que A gana al final, y solo la última es que B gana, con una proporción de 3 ∶1, por lo que la distribución justa de las apuestas debería ser 3.
La definición clásica de probabilidad tiene la ventaja de ser calculable, pero también tiene limitaciones obvias. Requiere puntos de muestra limitados. Si hay infinitos puntos muestrales en el espacio muestral, la definición clásica de probabilidad no se aplica. La probabilidad geométrica se introduce cuando los puntos de muestra finitos se extienden a puntos de muestra infinitos. Esto conduce a un método geométrico para determinar probabilidades. Los ejemplos más típicos de aprendizaje de la definición geométrica de probabilidad son el "problema del encuentro" y el históricamente famoso "experimento de lanzamiento de agujas de Buffon": dibuja algunas líneas paralelas en el plano, la distancia entre ellas es igual a A, y coloca una longitud de L (una aguja con L menor que A) se lanza arbitrariamente a este plano. Calcula la probabilidad de que esta aguja cruce cualquier línea paralela. Este problema de probabilidad geométrica se puede resolver mediante operaciones integrales. Debido a que la probabilidad teórica del "experimento de lanzamiento de agujas de Buffon" contiene la constante π, podemos diseñar L y A en la enseñanza, estimar la probabilidad P mediante experimentos estadísticos y luego usar la fórmula del modelo de probabilidad proporcionada anteriormente para encontrar pi. De esta manera, el estudio de la definición geométrica de probabilidad y la definición estadística de probabilidad están vinculados orgánicamente y, al mismo tiempo, los estudiantes pueden experimentar la relación entre la diversidad de métodos para encontrar π y el conocimiento matemático.
Tanto la definición clásica como la definición geométrica de probabilidad requieren que las probabilidades de eventos básicos en experimentos aleatorios sean iguales, pero se encuentra que bajo las mismas condiciones, la relación entre el número n de un evento y el número total de experimentos será estable cuando el número n de experimentos sea mayor alrededor de una constante. Cuanto mayor es n, menos probable es que la relación esté "lejos" de la constante. Esta constante se llama probabilidad del evento. Esta definición está estrechamente relacionada con la estadística y se basa en la estabilidad de la frecuencia, por lo que se denomina definición de probabilidad de frecuencia. El objeto de esta discusión sobre probabilidad ya no se limita a experimentos aleatorios en los que todos los resultados posibles son iguales, por lo que es más general. Basándonos en el experimento estadístico del lanzamiento de monedas a mano por parte de los estudiantes y en referencia a los resultados de muchos lanzamientos de monedas realizados por científicos famosos de la historia, podemos sentir aún más los requisitos de los experimentos a gran escala sobre la probabilidad de frecuencia, así como la aleatoriedad y la estadística. regularidad de las estadísticas de probabilidad.
Es fácil ver en la siguiente tabla que la frecuencia fluctúa mucho cuando el número de lanzamientos es pequeño y se estabiliza cuando el número de lanzamientos es grande. Es decir, la frecuencia de las oscilaciones de la cara frontal. alrededor de 0,5 y se estabiliza gradualmente en 0,5.
Estas tres definiciones de probabilidad son definiciones descriptivas. La palabra "posibilidad" se usa en la descripción, y la probabilidad se refiere solo al concepto de "posibilidad", por lo que estas definiciones no son rigurosas en teoría. Debido a la falta de una base teórica estricta, la gente a menudo encuentra algunas lagunas que aprovechar. La más típica es la paradoja de probabilidad propuesta por el matemático francés Bertram en 1889: la longitud de cualquier cuerda en un círculo excede los lados iguales inscritos en el círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo tenga una longitud de lado A? El autor dio tres respuestas diferentes:
La primera solución es cuando el punto medio de la cuerda H está distribuido uniformemente en el diámetro PQ, P=12 (Figura 1);
La segunda solución de La Figura 1, Figura 2 y Figura 3 es que cuando el punto medio H de la cuerda se distribuye uniformemente en el círculo pequeño, P=13 (Figura 2);
La tercera solución supone que el punto medio de la cuerda Este punto H está distribuido uniformemente en un círculo pequeño, P = 14 (Figura 3). La razón fundamental de esta paradoja es que los supuestos equipotenciales de las tres soluciones son diferentes y los espacios muestrales correspondientes también son diferentes. Son tres experimentos aleatorios diferentes. Por lo tanto, en el caso de infinitos puntos muestrales, el espacio muestral y los puntos muestrales deben definirse específicamente, y surge la definición axiomática de probabilidad. Enseñanza
En los últimos años, con el desarrollo de las matemáticas, la gente ha prestado cada vez más atención a la probabilidad subjetiva. La definición subjetiva de probabilidad también se llama definición intuitiva. “Se refiere al juicio cuantitativo que realizan los sujetos cognitivos sobre la posibilidad de una determinada situación a partir del conocimiento, la información y las evidencias que poseen” (Chen Xiru, 2000, 6). La "fórmula de Bayes" propuesta por el académico británico Bayes se considera la primera fórmula que utiliza la probabilidad subjetiva. El problema es que, en la práctica, las probabilidades de muchas cosas a menudo no están disponibles porque no se realiza el proceso bajo consideración. Pero, de hecho, si las personas analizan los datos obtenidos basándose en datos de experiencias pasadas o incluso en requisitos subjetivos u objetivos, estiman un valor óptimo como probabilidad de hipótesis de la población de investigación y finalmente evalúan la probabilidad de hipótesis sobre la base de la corrección de nueva información. , esto es irreprochable. En las actividades económicas modernas cada vez más complejas, cuando algunas decisiones no pueden juzgarse mediante la probabilidad teórica o la probabilidad empírica, es factible aplicar la probabilidad subjetiva a problemas de toma de decisiones económicas como la inversión. Introducir adecuadamente la probabilidad subjetiva en la enseñanza puede enriquecer la comprensión de la probabilidad por parte de los estudiantes.
2. Analizar situaciones históricas y cultivar la intuición probabilística correcta de los estudiantes
El académico británico Wells dijo: “Los métodos de pensamiento estadístico son los mismos que las habilidades de alfabetización, y algún día se convertirán en ciudadanos eficientes. "Pero la estadística de probabilidad es diferente de la rama de las matemáticas que estudia fenómenos deterministas como la geometría y el álgebra, y tiene su propio estilo único en teoría y método. En el estudio de la probabilidad y la estadística, los estudiantes encontrarán muchas teorías matemáticas aleatorias. Debido a que varios fenómenos aleatorios no pueden controlarse estrictamente ni predecirse con precisión mediante "relaciones causales", ni pueden resumirse mediante algunas reglas simples, deben analizarse exhaustivamente a partir de una gran cantidad de observaciones para descubrir las regularidades. Estar capacitado para utilizar correctamente los métodos de pensamiento probabilístico y estadístico.
En la enseñanza, a menudo encontramos que muchos estudiantes a menudo se limitan a la forma de pensar en matemáticas deterministas y no pueden establecer una intuición de probabilidad correcta. Hay muchos malentendidos en el aprendizaje de probabilidad y la resolución de problemas. De hecho, para los profesores, mantener el rigor lógico de los cursos de probabilidad y estadística y centrarse en cultivar las habilidades de intuición probabilística de los estudiantes son cuestiones importantes que deben abordarse. Deje que los estudiantes experimenten la estrecha conexión entre la probabilidad y las cosas reales lo antes posible. Un agudo sentido de la aleatoriedad en la realidad es una condición necesaria para desarrollar intuiciones probabilísticas correctas. Por ejemplo, al estudiar la "pregunta del cumpleaños", el maestro puede presentar primero la siguiente información histórica: Hasta ahora ha habido 42 presidentes en la historia de Estados Unidos, incluido Polk el día 11 y Harding el 29. Ambos cumplen años el día 11, Adams. y Adams.
El "problema del cumpleaños" puede resultar muy confuso: dos personas de cada 50 tienen el mismo cumpleaños, y se podría pensar que es sólo una coincidencia. De hecho, es casi seguro que al menos dos personas cumplen años el mismo día. Podemos calcularlo usando métodos de probabilidad. Para simplificar, no recordamos los años bisiestos y un año cuenta como 365 días. Entonces, la probabilidad teórica de este problema es 1-A50-A50?365?36550?≈ 0,97. La probabilidad de que esto suceda no es tan pequeña como la mayoría de la gente piensa intuitivamente, pero sí bastante grande.
Este ejemplo nos dice que la "intuición" común no es muy confiable e ilustra efectivamente la importancia de estudiar las leyes estadísticas de los fenómenos aleatorios. La intuición errónea en este ejemplo surge de la intuición subconsciente de la gente de que dos de cada 50 personas tienen el mismo cumpleaños, algunas de las 50 personas tienen el mismo cumpleaños y la probabilidad teórica de este último caso es sólo 65438. ≈ 0,13. Entonces, la probabilidad de que "dos de cada 50 personas tengan el mismo cumpleaños" no es una gran ilusión. En la enseñanza, los estudiantes pueden experimentar el proceso de estimación y verificación de la probabilidad de eventos aleatorios mediante encuestas estadísticas o experimentos de simulación aleatoria, y establecer gradualmente una intuición de probabilidad correcta.
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3. Excave materiales históricos y permita que los estudiantes experimenten el método de pensamiento de probabilidad y estadística.
La probabilidad y la estadística son una parte importante del nuevo plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria. Estudia la regularidad estadística de fenómenos aleatorios y tiene conceptos, métodos y teorías únicos. En la enseñanza, se debe prestar más atención al proceso de experimentos y estadísticas, combinados con ejemplos históricos, para cultivar el pensamiento aleatorio y los conceptos estadísticos de los estudiantes lo antes posible.
3.1 Pensamientos diversos
El núcleo del pensamiento aleatorio es comprender la regularidad estadística oculta detrás de los fenómenos aleatorios, enfatizando la aleatoriedad de las observaciones individuales de fenómenos aleatorios y la regularidad estadística de los fenómenos aleatorios a gran escala. observaciones.relación. Siempre hay una inevitabilidad escondida detrás del azar. Una gran cantidad de fenómenos aleatorios reflejan la inevitabilidad en el desarrollo de las cosas. Es a través del estudio de esta contingencia que el pensamiento aleatorio ha encontrado la inevitabilidad detrás de él, es decir, la regularidad estadística, y a través de esta inevitabilidad podemos comprender y captar los fenómenos aleatorios.
El experimento aleatorio es un método importante en el pensamiento aleatorio. Para estudiar las leyes estadísticas de los fenómenos aleatorios, se han realizado experimentos aleatorios famosos en la historia, como el experimento de lanzamiento de monedas de Buffon y Pearson, el modelo de prueba de placas de Galton diseñado por Galton, etc. Por ejemplo, si lanzamos muchas monedas, la frecuencia de cara es muy cercana a la mitad, es decir, la probabilidad teórica de cara es 12. A este fenómeno lo llamamos que los resultados individuales son inciertos, pero después de repetirlos muchas veces, los resultados son regulares. "Aleatorio" no es sinónimo de "accidental", pero describe una secuencia que es diferente de la certeza, mientras que la estadística de probabilidad es la matemática que describe la aleatoriedad y la regularidad estadística.
La clave para comprender el pensamiento aleatorio es comprender que la frecuencia de prueba de un evento se desvía de la probabilidad teórica y que la existencia de desviación es normal. Aunque la frecuencia de las pruebas repetidas se estabiliza gradualmente a su probabilidad teórica, no descarta que no importa cuántas veces se realice la prueba, la probabilidad de la prueba sigue siendo una aproximación de la probabilidad teórica y no puede ser igual a la probabilidad teórica. Por ejemplo, en teoría, la probabilidad de que "al lanzar una moneda al azar salga cara" es 12. Sin embargo, 100 pruebas no garantizan que 50 veces sean correctas y 50 veces incorrectas. Los estudiantes seguramente se darán cuenta de esto si realmente realizan el examen. De hecho, en la prueba del lanzamiento de 100 monedas, 50 veces acierta, y la probabilidad de que 50 veces salga mal es solo C50?100?(12)100?≈?8, que es mucho menor que la probabilidad de 50 cuando la moneda se gira una vez. En la enseñanza, debemos evitar que los estudiantes comprendan intuitivamente la probabilidad como una "proporción", para tener una comprensión más profunda de la probabilidad de un evento.
El pensamiento aleatorio también incluye la aleatoriedad del muestreo durante experimentos estadísticos y la aleatoriedad de experimentos de simulación o resultados de muestreo aleatorio. Sólo reconociendo esto podrán los estudiantes comprender verdaderamente la aleatoriedad generalizada en el mundo real y aplicarla activamente a la vida. Existen muchos métodos de muestreo, pero independientemente del método que se utilice para el muestreo, se debe respetar el principio del muestreo aleatorio. Este es un requisito básico para evitar la influencia humana y asegurar la objetividad y autenticidad de la muestra.
3.2 Pensamientos de inferencia estadística
El objetivo principal del curso de estadística es guiar a los estudiantes a comprender las características y funciones del pensamiento estadístico, así como la diferencia entre el pensamiento estadístico y el pensamiento determinista. . Por ejemplo, en una investigación que utiliza muestras para estimar la población, los estudiantes deben darse cuenta de que la información proporcionada por la muestra refleja las características relevantes de la población hasta cierto punto, pero existe una cierta desviación de la población a través del análisis de datos específicos. .
Por otro lado, si el método de muestreo es razonable, por ejemplo, el famoso matemático Laplace estudió los patrones de nacimiento de niños y niñas en Londres, Petersburgo, Berlín y Francia, y los datos estadísticos obtenidos mostraron que en 10 años, la frecuencia de los nacimientos de niños fluctúan alrededor de 2243; los datos de composición por género de la población total de mi país en censos anteriores son muy cercanos a los datos obtenidos por Laplace.
Los científicos han descubierto que no sólo en la vida social humana, sino también en la naturaleza, la reproducción y evolución de la vida obedecen a las leyes de la probabilidad y la estadística. Ya en 1843, el monje checo Mendel reveló por primera vez al mundo los misterios de la naturaleza estudiando las leyes genéticas de los guisantes. Dado que los dos genes del guisante están separados entre sí, no interfieren entre sí al ingresar a la siguiente generación de células híbridas y finalmente se combinan aleatoriamente durante la polinización biológica. Por tanto, esta ley también se denomina "fenómeno de separación". Posteriormente, tras una ardua exploración, Mendel descubrió que cuando se cruzan dos pares de plantas con rasgos diferentes, los genes genéticos de los distintos pares se combinan libremente y tienen iguales oportunidades. Esta es la segunda ley de Mendel, también conocida como "la ley de la libre asociación". Las leyes de separación y combinación libre descubiertas por Mendel son esencialmente la manifestación de las leyes de probabilidad y estadística en el proceso genético.
El proceso del razonamiento estadístico es diferente del razonamiento lógico en matemáticas. Es un método de razonamiento probabilístico y su principio es el "evento de pequeña probabilidad". El principio de los eventos de baja probabilidad sostiene que en un experimento, los eventos de baja probabilidad casi nunca sucederán. Por ejemplo, resolver problemas de prueba de hipótesis es una manifestación de la inferencia estadística. Para una hipótesis, dado un estándar de nivel de probabilidad pequeño, si los datos de muestreo se clasifican y calculan, si el resultado hace que ocurra un evento de probabilidad pequeña (esto es diferente de un evento de probabilidad pequeña), de lo contrario, la hipótesis nula se considera aceptable. La implementación de esta idea de inferencia estadística ilustra completamente la practicidad de la estadística matemática. En la enseñanza, se pueden utilizar ejemplos como los ensayos de eficacia de los medicamentos para centrarse en introducir la idea de inferencia estadística.
4. Utilice ejemplos históricos de modelos de probabilidad para estimular el sentido de innovación de los estudiantes.
Una gran parte de las matemáticas estocásticas se puede describir mediante modelos de probabilidad, como los modelos de probabilidad igual finita (clásicos). modelos de probabilidad), modelo de probabilidad de Bernoulli, distribución normal, etc. La aplicación del método del modelo probabilístico es simular y construir un prototipo realista o modelo abstracto basado en las características específicas de un problema aleatorio para reflejar las leyes inherentes del problema, y luego seleccionar el método matemático correspondiente para responder al modelo matemático obtenido. Muestra el proceso de la práctica a la teoría y de regreso a la práctica. En la enseñanza de estadística de probabilidad, debemos prestar atención a la comprensión y aplicación de los modelos de probabilidad, restar importancia a los cálculos complejos, dejar que los estudiantes experimenten el proceso de resumir modelos de probabilidad específicos a partir de múltiples ejemplos, experimentar las características comunes de estos ejemplos y cultivar la habilidad de los estudiantes. Capacidad para identificar modelos. David S. Moore, profesor de estadística en la Universidad Purdue, dijo una vez: “Aprender combinatoria no nos permite mejorar nuestra comprensión del concepto de azar. Desarrollar la capacidad de utilizar modelos probabilísticos no es mejor que otras disciplinas. debemos evitar los problemas combinatorios, excepto los problemas de conteo más simples. "El uso de modelos de probabilidad para resolver problemas es un método típico de pensamiento inductivo, que no se puede separar de la observación, la experimentación y el razonamiento razonable de las personas. Es la encarnación de la conciencia matemática y los métodos de pensamiento, y ayuda a cultivar la capacidad y la conciencia innovadora de los estudiantes para aplicar teorías matemáticas para resolver problemas prácticos.
Si bien la historia de las matemáticas muestra el proceso de desarrollo del conocimiento matemático aleatorio, la aplicación de métodos matemáticos y el pensamiento innovador de los matemáticos en la resolución de problemas prácticos a menudo inspira a las generaciones futuras. Por ejemplo, utilizar un modelo de probabilidad para calcular π es un ejemplo histórico típico. La historia del cálculo de pi es aclamada como un "símbolo de civilización" para la humanidad. En 1872, el erudito británico William Shanks había calculado el valor de π con 707 decimales. Después de más de medio siglo, el matemático Fagerson tiene dudas sobre los resultados del cálculo de Es decir, la probabilidad de cada número debería ser igual a 110. Con la aparición y aplicación de las computadoras electrónicas, el cálculo de π ha progresado rápidamente. En 1973, el estudioso francés Jean Guy. Este artículo realizó estadísticas interesantes sobre la frecuencia de aparición de cada dígito del primer millón de dígitos de π y concluyó que, aunque la aparición de cada dígito tiene algunos altibajos, básicamente se divide de manera uniforme.
Parece que la idea de Ferguson debería ser correcta, y en la expansión numérica de π, hay: p (0) = p (1) = p (2) = … = p (9) =? 0,1? Pero a veces los modelos probabilísticos son más difíciles de analizar que los deterministas porque contienen factores aleatorios inciertos. En este caso se puede considerar el método de Monte Carlo. El método Monte Carlo es la base de la simulación por computadora y su nombre proviene del mundialmente famoso casino Monte Carlo en Mónaco. Su historia tiene su origen en un método para calcular pi propuesto por el científico francés Buffon en 1777, concretamente el famoso método de Montecarlo para el problema de la aguja de Buffon, que pertenece a una rama de las matemáticas experimentales. La idea básica es establecer primero un modelo de probabilidad de modo que la solución al problema sean los parámetros del modelo u otras cantidades características relevantes. Luego, mediante experimentos estadísticos simulados, es decir, múltiples experimentos de muestreo aleatorio, se calcula el porcentaje de un evento. Mientras haya muchos experimentos, el porcentaje es similar a la probabilidad de un evento. Finalmente, se utiliza el modelo de probabilidad establecido para obtener los parámetros a estimar, es decir, la solución al problema.
Referencia
1 Li Wenlin. Introducción a la Historia de las Matemáticas[M]. Beijing: Prensa de Educación Superior, 2002.
2 Zhang Dan. Estadística y probabilidad[M]. Beijing: Higher Education Press, 2006
3 Zhang Yuannan. La historia de la probabilidad y las ecuaciones[M]. Beijing: Editorial Infantil de China, 2005.
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