1. Dibujar
Dibujar es una habilidad básica para aprender geometría sólida y también tiene una importancia positiva para cultivar conceptos espaciales. Además, en el dibujo es necesario utilizar muchas relaciones de líneas y superficies en el espacio. Por lo tanto, dibujar es el primer paso para resolver problemas de geometría sólida. Hacer buenos dibujos es útil para resolver problemas.
Ejemplo 1 En el cubo conocido, los puntos P, E y F son los puntos medios de los lados AB y BC respectivamente (Figura 1). Haga que la sección transversal del cubo pase por los puntos P, E y f.
Análisis: El dibujo es un punto débil en el aprendizaje de los estudiantes y es difícil dibujar una sección transversal poliédrica. Los estudiantes no saben qué decir cuando ven una pregunta como esta. Algunos estudiantes conectan P, E y F para formar un triángulo, que consideran una sección requerida. De hecho, hacer una sección transversal es encontrar la intersección de dos planos, y solo puedes encontrar dos puntos en la intersección. Al observar las condiciones dadas (como se muestra en la Figura 2), se encuentra que PE es una intersección y debido al plano ABCD//. Según el paralelismo de las superficies, la línea de intersección de la sección y el plano debe ser paralela al PE. f es el punto medio de , por lo que si tomamos el punto medio Q, entonces FQ también es un punto de intersección. Si extendemos la línea de extensión de FQ y hasta un punto M, podemos saber por el Axioma 3 que el punto M es la intersección del plano y el plano, e incluso PM es la intersección del punto K, entonces QK y KP son dos intersecciones. De manera similar, podemos encontrar los dos puntos de intersección de FR y RE (Figura 2).
En segundo lugar, mire las imágenes
Los gráficos a menudo contienen significados profundos. El grado de comprensión de los gráficos afecta nuestra resolución correcta de problemas, por lo que comprender los gráficos es una parte importante de la resolución de problemas.
El ejemplo 2 se muestra en la Figura 3. En un cubo con una longitud de lado a, EF es el segmento de línea en el lado AB, ef = b < a, si q es un punto fijo en la parte superior, p es En la parte superior deslizante, el volumen del tetraedro es PQEF().
(a) es una variable, (b) es una variable con un valor máximo, (c) es una variable con un valor mínimo, no hay un valor máximo y el valor mínimo (d) es una constante.
Análisis: Para resolver este problema es necesario analizar detenidamente las características del gráfico. Hay muchas incertidumbres en este gráfico. La posición del segmento de línea EF es incierta y el punto P se está deslizando, pero ¿podemos encontrar factores estables en esta serie de cambios? ¿Cuáles son las condiciones para encontrar el volumen de un tetraedro?
Observa atentamente la gráfica. ¿Qué lado debería estar en la parte inferior? A través de la observación, encontramos que su forma y posición cambiarán, pero la base EF permanece sin cambios y la distancia de P a EF permanece sin cambios, por lo que su área permanece sin cambios. Luego encontramos que la distancia desde el punto Q a la superficie PEF es constante, por lo que el volumen del tetraedro PQEF también es constante. No tenemos ningún cálculo, el análisis gráfico nos ayuda a resolver problemas.
En tercer lugar, utilice mapas
En el estudio de la geometría sólida, encontraremos muchas conclusiones engañosas. Para demostrarlo, actualmente no podemos completarlo. En este momento, puede considerar construir un gráfico especial para revertir la conclusión. Tal gráfico es un gráfico de contraejemplo. Si tenemos en mente un diagrama de contraejemplo de este tipo, puede ayudarnos a emitir juicios rápidos.
Ejemplo 3 Determina si la siguiente proposición es correcta: la base es un triángulo equilátero, y una pirámide triangular con ángulos diédricos iguales formados por dos lados adyacentes es una pirámide triangular equilátera.
Análisis: Esta es una pregunta en la que los estudiantes tienden a cometer errores. Todo el mundo piensa que la proposición es correcta, pero en realidad es incorrecta, pero no pueden dar un ejemplo para ilustrarla por el momento. La clave del problema es que los ángulos diédricos son iguales, lo cual es difícil de solucionar. ¿Podemos considerar usar una pirámide triangular regular para obtenerla mediante deformación?
Como se muestra en la Figura 4, sea el ángulo del vértice del triángulo isósceles PAB del lado de la pirámide triangular recta y sea el ángulo de la base, dibuje una bisectriz, PA y E se intersectan, y EC está conectado . Se puede demostrar que es un triángulo isósceles, por lo que AB = BE. De la misma manera, EC = AB. Entonces, △EBC es un triángulo equilátero y una pirámide triangular que cumple con los requisitos, pero no es una pirámide triangular equilátera.
La vista de gráficos en el aprendizaje de geometría sólida (2)
Cuarto, mapeo
En el aprendizaje de geometría sólida, podemos construirla cuidadosamente de acuerdo con el Características del tema El modelo geométrico especial correspondiente convierte problemas complejos desconocidos en problemas simples y familiares.
Ejemplo 4 Supongamos que A, B y C son tres líneas rectas en dos planos diferentes, y D es la perpendicular común de A y B. Si es así, entonces la relación posicional entre C y D es () .
(a) Intersección (b) Paralela (c) Planos diferentes (d) Planos diferentes o paralelos.
Análisis: la mejor manera de juzgar la relación de posición lineal en el espacio es construir figuras geométricas apropiadas. La ventaja de este método es que es intuitivo y fácil de juzgar. Según las características de este problema, podemos considerar la construcción de un cubo, como se muestra en la Figura 5. En el cubo, sean AB = A, BC = D. Cuando C es una línea recta, C es paralela a D; cuando c es una línea recta, cyd son planos diferentes, por lo que se elige d;
5. Rompecabezas
Los gráficos básicos del espacio se componen de puntos, líneas y superficies. También se pueden obtener algunos gráficos especiales empalmando gráficos básicos. En el proceso del rompecabezas encontraremos algunos cambios y cosas constantes, a partir de las cuales podremos reconocer las características de esta figura y descubrir el método para resolver el problema a resolver.
Ejemplo 5 Dada una hoja de papel con un triángulo arbitrario, se requiere cortarla en un modelo de prisma triangular rectángulo de modo que su área total sea igual al área del triángulo dado. Por favor diseñe un plan y descríbalo brevemente.
Análisis: Esto es parte de la pregunta sobre geometría sólida en el examen de ingreso a la universidad de 2002. Este novedoso diseño hace que muchos estudiantes que están acostumbrados a hacer pruebas y preguntas de cálculo no sepan qué hacer. Se trata de una cuestión de movimiento, pero no se trata simplemente de un simple movimiento de corte y deletreo, sino, más importante aún, de una "acción" del alma y una "acción" del pensamiento. Afectados por la descripción del título, la gente suele pensar en cómo doblar. La respuesta de referencia también proporciona el método de plegado. Entonces, ¿de dónde viene este método? De hecho, el pensamiento inverso es un buen punto de partida para este problema. Pensamos en: ¿Cómo expandir un prisma triangular rectángulo hasta convertirlo en un triángulo?
Después de expandir un prisma triangular rectángulo, puedes obtener dos partes, A y B. El triángulo dentro de A es congruente con B, y el triángulo fuera de A son tres rectángulos de igual ancho. La pregunta ahora es si B puede dividirse en tres partes y sumarse a las tres esquinas de A para formar un triángulo (Figura C). Debido a que el exterior del triángulo en A es un rectángulo de igual ancho, el vértice del triángulo debe estar en la bisectriz de los tres ángulos del triángulo original. Y debido a que las áreas deben ser iguales, el vértice del triángulo en A debe. estar en la línea que conecta el centro y el vértice del triángulo original en el punto medio (Figura D). Según este diseño, se puede doblar en un prisma triangular recto después del corte.
Sexto, cambia la imagen
Las figuras geométricas están en constante cambio, mostrando el encanto de las figuras geométricas en cambios constantes, cultivando nuestras habilidades en cambios constantes y en cambios intencionales o no intencionales. Ampliar nuestro pensamiento.
Ejemplo 6 Se sabe que en la pirámide triangular, PA = A, AB = AC = 2A, encuentra el volumen de la pirámide triangular.
Análisis: Hay muchas formas de solucionar este problema, pero cortar es una buena opción.
Idea 1 Sea D el punto medio de AB, lo que significa:, entonces queda:
Esta solución es en realidad dividir la pirámide triangular en dos partes, y la base de la La pirámide triangular B-PAD es un triángulo rectángulo y la altura es BD, lo que simplifica enormemente el cálculo. Este método de división también es una estrategia importante para resolver problemas de geometría sólida. Hace que lo complejo sea simple y conocido.
Idea 2: El ángulo entre los tres lados que parten del punto A es 0, por lo que se puede complementar en un tetraedro regular.
Como se muestra en la figura, extienda AP hasta S, haga PA = PS, conecte SB y SC, y haga del tetraedro S-ABC un tetraedro regular con una longitud de lado igual a 2a, y
De los seis aspectos anteriores, podemos ver que en el estudio de la geometría sólida, si podemos comprenderla correctamente, usarla racionalmente y transformar gráficos constantemente, definitivamente podremos llevar nuestro aprendizaje a un nivel superior.
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