Demostración del teorema del valor medio de Taylor:
Si la función f(x) tiene una derivada de orden n+1 en el intervalo abierto (a, b), entonces cuando la La función está en este intervalo Cuando , se puede expandir a la suma de un polinomio sobre (x-x.) y un resto.
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f' ''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n+Rn.
Donde Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1), donde ξ está entre x y x., el resto El término se llama resto del tipo lagrangiano. (Nota: f(n)(x.) es la derivada de orden n de f(x.), no la multiplicación de f(n) y x.).
Prueba: Sabemos que f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α (el teorema del incremento finito derivado del teorema del valor medio de Lagrange es limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx).
El error α tiende a 0 bajo la premisa de limΔx→0, es decir, limx→x., por lo que a menudo no es lo suficientemente preciso en cálculos aproximados.
Así que necesitamos un polinomio que sea lo suficientemente preciso y pueda estimar el error: P(x)=AA1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x. )^n. Representar aproximadamente la función f(x) y escribir la expresión específica de su error f(x)-P(x). Supongamos que la función P(x) satisface P(x.)=f(x.), P'(x.)=f'(x.), P''(x.)=f''(x.),… …,P(n)(x.)=f(n)(x.).
Entonces A0, A1, A2,..., An se pueden encontrar en secuencia. Obviamente, P(x.)=A0, entonces A0=f(x.).
P'(x.)=A1,A1=f'(x.);P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!… …P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.
Llegado a este punto, se han calculado los coeficientes del polinomio y obtenemos: P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''( x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.
Aplicación de la expansión de McLaughlin:
1. Ampliar las funciones trigonométricas y=senx e y=cosx.
Solución: Según la tabla de derivadas: f(x)=sinx, f'(x)=cosx, f''(x)=-sinx, f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=senx.
Así se derivó la ley periódica. Calcule f(0)=0, f'(0)=1, f''(x)=0, f''(0)=-1, f(4)=0 respectivamente.
Finalmente, podemos obtener: sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……(Escrito como un infinito serie aquí formulario).
De manera similar, y=cosx se puede expandir.