1 Descripción general
El análisis funcional es una rama de las matemáticas modernas y pertenece a la ciencia analítica. El principal objeto de investigación es el espacio compuesto de funciones. El análisis funcional se desarrolla a partir del estudio de las propiedades de las transformaciones de funciones (como las transformadas de Fourier) y del estudio de ecuaciones diferenciales y ecuaciones integrales. El uso de funcionales como expresiones proviene del cálculo de variaciones, expresando funciones por funciones. Stefan Banach fue uno de los principales fundadores de la teoría del análisis funcional, y el matemático y físico Vito? VitoVolterra ha hecho grandes contribuciones a la aplicación generalizada del análisis funcional.
2 Espacio lineal topológico
Debido a que el análisis funcional proviene del estudio de varios espacios funcionales, las secuencias de funciones tienen diferentes tipos de convergencia en el espacio funcional (como la convergencia punto por punto , uniformidad Convergencia, convergencia débil, etc.), lo que indica la existencia de diferentes topologías en el espacio funcional. El espacio funcional es generalmente un espacio lineal de dimensión infinita. Por lo tanto, el análisis funcional abstracto estudia espacios lineales generales (de dimensión infinita) con cierta topología.
La definición de espacio lineal topológico es un espacio lineal con una estructura topológica tal que la suma y multiplicación del espacio lineal se convierten en un espacio de mapeo continuo.
Espacio de Banach
Este es el espacio lineal topológico más común y ampliamente utilizado. Por ejemplo, el espacio funcional continuo en un intervalo cerrado finito y el espacio funcional diferenciable de k-ésimo grado en un intervalo cerrado finito. ¿O para todo número real p, si p? 1. ¿Cuál es un ejemplo de espacio de Banach? ¿Funciones medibles de Lebesgue para las cuales todas las integrales de valor absoluto convergen a potencias de p? el espacio que crea. (Ver Espacio Lp)
En el espacio de Banach, una parte considerable de la investigación involucra el concepto de espacio dual, es decir, el espacio formado por todos los funcionales lineales continuos en el espacio de Banach. El espacio dual de un espacio dual puede ser diferente del espacio original, pero siempre se puede construir un homomorfismo de un espacio dual desde un espacio de Banach a su espacio dual.
El concepto de diferenciación se puede generalizar en los espacios de Banach. Los operadores diferenciales actúan sobre todas las funciones y el diferencial de una función en un punto dado es una aplicación lineal continua.
Espacios de Hilbert
Los espacios de Hilbert se pueden clasificar completamente mediante la siguiente conclusión: para dos espacios de Hilbert cualesquiera, si las cardinalidades de sus bases son iguales, entonces deben ser isomorfos. Para un espacio de Hilbert de dimensión finita, los operadores lineales continuos en él son transformaciones lineales estudiadas en álgebra lineal. Para el espacio de Hilbert de dimensión infinita, cualquier morfismo en él se puede descomponer en morfismos de dimensiones contables (base 50), por lo que el análisis funcional estudia principalmente el espacio de Hilbert y sus morfismos de dimensiones contables. Un problema no resuelto en los espacios de Hilbert es si existe un subespacio verdaderamente invariante para cada operador en el espacio de Hilbert. La respuesta a esta pregunta es sí en algunos casos concretos.
3 Operadores
En un espacio funcional específico, realizamos varias operaciones sobre funciones. La operación más típica es derivar una función. Estas operaciones generalmente se denominan operadores. Como mapeo entre espacios topológicos, siempre podemos exigir que el operador sea un mapeo continuo. El estudio de operadores en espacios lineales topológicos constituye una gran rama del análisis funcional.
Operadores lineales y funcionales lineales
El operador más básico es un operador que mantiene la estructura espacial topológica lineal, que se denomina operador lineal. Si el espacio de la imagen es un campo numérico de un espacio lineal topológico (especialmente un espacio lineal topológico unidimensional), entonces dicho operador se convierte en un funcional lineal.
Existen varios teoremas muy básicos e importantes en la teoría de operadores lineales.
1. Existe una definición unificada de teorema (también llamado * * * teorema claro), que describe las propiedades de una familia de operadores acotados.
2.El teorema de Hahn-Banach estudia cómo extender los operadores desde el subespacio a todo el espacio de una manera que mantenga la norma. Otro resultado relacionado son las propiedades no triviales de los espacios duales.
3. Teorema de mapeo abierto y teorema de imagen cerrada.
4. El teorema espectral contiene una serie de resultados, el más comúnmente utilizado da la expresión integral del operador normal en el espacio de Hilbert y juega un papel central en la descripción matemática de la mecánica cuántica.
Operadores no lineales
De manera más general, encontraremos operadores no lineales. El ejemplo más simple son los diferentes funcionales energéticos en varios espacios funcionales. Los operadores no lineales juegan un papel importante en la geometría diferencial y la teoría de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, la superficie mínima es el punto mínimo del funcional de energía.
4 Axioma de Elección
El espacio estudiado por el análisis funcional es mayoritariamente infinito. Para demostrar la existencia de un conjunto de bases en un espacio vectorial de dimensión infinita, se debe utilizar el teorema de Zorn. Además, los teoremas más importantes del análisis funcional se basan en el teorema de Hanbanach, que en sí mismo es una forma del axioma de elección más débil que el teorema del ideal primo booleano.
5 Introducción histórica
Antecedentes
Desde el siglo XIX, el desarrollo de las matemáticas ha entrado en una nueva etapa. Es decir, gracias al estudio del quinto postulado de Euclides, se introdujo un nuevo tema: la geometría no euclidiana. Para la idea general de resolver ecuaciones algebraicas, finalmente se estableció y desarrolló la teoría de grupos; el estudio del análisis matemático estableció la teoría de conjuntos. Estas nuevas teorías preparan las condiciones para resumir los conceptos y métodos básicos del análisis clásico desde un punto de vista unificado. En este momento, al concepto de función se le dio un significado más general. El concepto de función en el análisis clásico se refiere a una relación de correspondencia establecida entre dos conjuntos de datos. Sin embargo, el desarrollo de las matemáticas modernas requiere el establecimiento de una correspondencia entre dos conjuntos arbitrarios.
A medida que se formaron muchos departamentos nuevos de análisis, se reveló que muchos conceptos y métodos de análisis, álgebra y conjuntos a menudo tienen similitudes. Por ejemplo, el método de aproximación sucesiva se puede utilizar para encontrar las raíces de ecuaciones algebraicas y resolver ecuaciones diferenciales. Las condiciones para la existencia y unicidad de las soluciones son muy similares. Esta similitud es aún más prominente en la teoría de ecuaciones integrales. El surgimiento del análisis funcional está precisamente relacionado con esta situación, y algunas cosas aparentemente no relacionadas también tienen similitudes. Por lo tanto, inspira a las personas a explorar la esencia universal y verdadera de estas cosas similares.
El establecimiento de la geometría no euclidiana ha ampliado la comprensión de la gente sobre el espacio. La aparición de la geometría espacial N-dimensional nos permite utilizar el lenguaje de la geometría para interpretar funciones multivariadas en imágenes de espacio multidimensional. De esta forma se muestra la similitud entre análisis y geometría, y existe la posibilidad del análisis geométrico. Esta posibilidad requiere una mayor generalización del concepto de geometría y, finalmente, la expansión del espacio euclidiano a un espacio de dimensiones infinitas.
A principios del siglo XX, las semillas de la ciencia del análisis generalizado aparecieron en los trabajos publicados por el matemático sueco Flitholm y el matemático francés Adama. ¿Más tarde vinieron a crear Hilbert y Hailingzhe? ¿Espacio de Hilbert? Investigación. En la década de 1920, el campo de las matemáticas formó gradualmente el concepto básico de análisis general, es decir, análisis funcional. El estudio de la teoría funcional y de operadores en espacios lineales de dimensión infinita dio lugar a un nuevo tipo de matemática analítica llamado análisis funcional. En la década de 1930, el análisis funcional se había convertido en una disciplina independiente de las matemáticas.
Estado de la investigación
El análisis funcional actualmente incluye las siguientes ramas:
Softanalysis tiene como objetivo expresar el análisis matemático en el lenguaje de grupos topológicos, anillos topológicos y espacios vectoriales topológicos. .
La estructura geométrica del espacio de Banach está representada por una serie de obras de Jean Bourgain.
Geometría no conmutativa, entre los principales contribuyentes en esta dirección se encuentra Alain Connes, parte de su trabajo se basa en los resultados de la teoría ergódica de George Mackey.
Las teorías relacionadas con la mecánica cuántica se conocen en sentido estricto como física matemática. Desde una perspectiva más amplia, como la describe Israel Gelfand, abarcan la mayoría de los tipos de problemas de la teoría de la representación.
6 Características y Contenido
La característica del análisis funcional es que no sólo resume los conceptos y métodos básicos del análisis clásico, sino que también los geometriza. Por ejemplo, ¿se pueden considerar diferentes tipos de funciones? ¿Espacio funcional? de puntos o vectores, entonces, ¿qué obtuvimos al final? ¿Espacio abstracto? Este concepto general. Incluye no sólo los objetos geométricos discutidos anteriormente, sino también diferentes espacios funcionales.
El análisis funcional es una poderosa herramienta para estudiar la física moderna. El espacio n-dimensional se puede utilizar para describir el movimiento de un sistema mecánico con n grados de libertad. De hecho, se necesitan nuevas herramientas matemáticas para describir un sistema mecánico con infinitos grados de libertad. Por ejemplo, la vibración de una viga es un ejemplo de sistema mecánico con infinitos grados de libertad. En términos generales, la transición de la mecánica de partículas a la mecánica del continuo requiere la transición de un sistema con grados de libertad limitados a un sistema con grados de libertad infinitos. La teoría cuántica de campos en la física moderna pertenece a un sistema con infinitos grados de libertad.
Así como estudiar un sistema con grados de libertad limitados requiere la geometría y el cálculo del espacio N-dimensional como herramientas, estudiar un sistema con infinitos grados de libertad requiere geometría y análisis del espacio infinito, que es la base de análisis funcional. Contenidos básicos. Por lo tanto, el análisis funcional también puede denominarse coloquialmente como la geometría y el cálculo de espacios de dimensiones infinitas. El método básico del análisis clásico, es decir, utilizar objetos lineales para aproximar objetos no lineales, se puede aplicar completamente al análisis funcional.
El análisis funcional es el método más importante en matemática analítica. ¿joven? Una rama del análisis clásico, integra las perspectivas de la teoría de funciones, la geometría y el álgebra para estudiar funciones, operadores y teorías de límites en espacios vectoriales infinitos. En las décadas de 1940 y 1950, se había convertido en una materia matemática con teoría completa y rico contenido.
Durante más de medio siglo, el análisis funcional ha extraído sus objetos de investigación y algunos métodos de investigación de materiales proporcionados por muchas otras disciplinas, formando muchas ramas propias importantes, como la teoría del espectro de operadores, el álgebra de Banach, la teoría topológica del espacio lineal, la teoría de funciones generalizadas, etc., también promueve eficazmente el desarrollo de muchas otras disciplinas analíticas. Tiene importantes aplicaciones en ecuaciones diferenciales, teoría de la probabilidad, teoría de funciones, mecánica continua, física cuántica, matemáticas computacionales, teoría de control, teoría de optimización y otras disciplinas. También es una herramienta básica para establecer teorías de análisis y regulación positiva de grupos, y es una de las herramientas importantes y naturales para estudiar sistemas físicos con infinitos grados de libertad. Hoy en día, sus perspectivas y métodos han penetrado en muchas disciplinas de la ingeniería y se han convertido en uno de los fundamentos del análisis moderno.
El análisis funcional se utiliza ampliamente en ecuaciones de física matemática, teoría de probabilidades, matemáticas computacionales, mecánica continua, física cuántica y otras disciplinas. En la última década, el análisis funcional se ha utilizado de forma más eficaz en la tecnología de ingeniería. También penetra en diversas ramas de las matemáticas y juega un papel importante.