Palabras clave: Poisson, Helmholtz, Lejeune de Bessel
Según el teorema matemático: a Una función sobre el tiempo y el espacio siempre se puede descomponer en el producto de una función relacionada únicamente con el tiempo y otras dos funciones relacionadas únicamente con el espacio, es decir. La separación de variables se puede utilizar para descomponer una función compleja en dos funciones unarias y así simplificar el problema. Por lo tanto, la separación de variables es un método importante para resolver problemas en matemáticas y física.
El método de separación de variables se ha utilizado muchas veces en electrodinámica: al calcular el potencial eléctrico se da una ecuación de Poisson; la ecuación de Helmholtz en resonadores y guías de ondas: haces gaussianos en el espacio óptico, etc. Una de las mismas formas de resolver estos problemas es separar variables. Aquí hay dos formas específicas de abordar estos problemas.
Ya sea un haz gaussiano, un solitón óptico o una ecuación de Poisson, su esencia es la ecuación de Helmholtz. Derivemos la solución general de Laplace.
(1). En el sistema de coordenadas cartesiano
La ecuación unificada de la ecuación de Poisson es, donde, siempre que la solución general de la solución se agregue a la solución especial de Poisson, podemos obtener la solución general de la ecuación de Poisson. A continuación, resuelve la ecuación de Laplace utilizando el método de separación de variables.
, reemplazar, obtener:
, es decir, ambos lados de esta fórmula se reemplazan por,,
. El lado izquierdo de esta fórmula es una función aproximadamente y la fórmula de la derecha es solo una función aproximadamente. Si ambos lados son iguales, sólo hay una posibilidad. Ambos lados son iguales a una constante o cero. Establezcamos esta constante y luego hagamos la misma declaración. , terminando:
Luego, la ecuación de Laplace se transforma en las seis fórmulas anteriores, su forma es: tomar, tomar: y Noring, por lo que la solución obviamente satisface la ecuación anterior, entonces
(2 )Separación de variables en coordenadas cilíndricas
,
(3).
Bajo, simétrica respecto a los polos.
La propagación de ondas electromagnéticas en guías de ondas y cavidades resonantes satisface la ecuación de Helmholtz. Según la solución anterior, no es difícil saber que la expresión de su solución es similar a (4), por lo que su solución tiene la misma forma que (5).
Del proceso anterior, podemos saber que al resolver problemas, debemos elegir un sistema de coordenadas apropiado para el análisis de acuerdo con la forma específica del problema para que el cálculo sea lo más simple posible. Generalmente, cuando el problema tiene simetría esférica, es más sencillo utilizar un sistema de coordenadas esféricas para resolver el problema. Cuando una guía de ondas no es rectangular, analizarla en coordenadas cartesianas es muy complicado. La ecuación de Laplace del potencial esférico se basa en el sistema de coordenadas esféricas, selecciona el eje polar y utiliza la conclusión de la fórmula (7) para simplificar la solución. Los problemas prácticos suelen tener condiciones de contorno y luego los coeficientes de cada ecuación se determinan en función de los límites. Obviamente, hay 6 coeficientes indeterminados en la ecuación general y, teóricamente, se necesitan 6 límites para determinarlos.
Referencia: Liang. Métodos en Física Matemática, 3.ª edición, 229.236.