Dado el modelo geoeléctrico y la distribución de la fuente del campo, resolver la ley de distribución del campo potencial se denomina problema de modelado directo de la exploración eléctrica. Es una base importante para el cálculo de problemas de inversión eléctrica y la interpretación de ellos. datos de observación. En el problema de modelado directo, la distribución de resistividad del subsuelo es limitada y su tarea es calcular la resistividad aparente obtenida a partir de observaciones lineales sobre el cuerpo geológico. El modelado directo es en realidad parte de la inversión, porque es muy necesario comparar el valor de resistividad aparente teórico del modelo calculado mediante la rutina de inversión con el valor de observación real. Existen cinco métodos principales para resolver el valor de resistividad aparente de un determinado. modelo: (1) método analítico; (2) método de diferencias finitas, (3) método de elementos finitos; (4) método de elementos límite; El método analítico puede ser el método más preciso y los resultados obtenidos son de importancia típica. Sin embargo, el método analítico está limitado por una variedad de condiciones y solo puede resolver problemas de distribución de campos eléctricos en geometrías relativamente simples, como esferas o cilindros; comparación de métodos de elementos límite Flexible, pero el número de áreas con diferentes valores de resistividad es limitado, generalmente menos de 10 durante la exploración cercana a la superficie, puede haber resistividades distribuidas arbitrariamente bajo tierra. Por lo tanto, para resolver la ley de distribución del campo eléctrico. condiciones complejas, el método de diferencias finitas y el método de elementos finitos Los métodos son generalmente una opción confiable para subdividir el subsuelo en decenas de miles de celdas de resistividad variable. Por supuesto, el método analítico y el método de elementos límite son muy útiles y pueden usarse solos para verificar la precisión del método de diferencias finitas y el método de elementos finitos.
2.1.1 Problema de valor límite del campo de corriente estable
Todos los problemas de cálculo directo del método de resistividad se reducen a resolver el siguiente problema de valor límite del campo de corriente estable.
2.1.1.1 Problema de valor límite de un cuerpo geoeléctrico tridimensional en un campo de fuente puntual
En este caso, la conductividad y el campo eléctrico del medio subterráneo son funciones del campo tridimensional. espacio, es decir σ=σ(x,y,z) y U=U(x,y,z).
(1) La ecuación diferencial satisfecha por la función potencial U (x, y, z)
Supongamos que en una roca infinita con conductividad σ (x, y, z), Hay una fuente de corriente puntual con corriente I ubicada en el punto A (xA, yA, zA). De la teoría de campo se puede ver que en el dominio activo, se puede definir como
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Utilizando las propiedades de la función delta de Dirac, obtenemos
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La ecuación diferencial satisfecha por la función de potencial de campo de corriente estable U se obtiene de j=σE y E=-▽U:
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Cuando la fuente de energía puntual A (xA, yA, zA) se encuentra en la superficie, la fórmula anterior debe escribirse como
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Para el caso de partición uniforme de roca subterránea, la ecuación ( 2.5) se puede escribir como
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Las ecuaciones (2.5) y (2.6) son las ecuaciones diferenciales satisfechas por los sistemas tridimensionales no uniformes y funciones medianas de roca uniforme dividida U (x, y, z) que se resolverán respectivamente.
(2) Valor límite y condiciones de conexión satisfechas por la función de bits U (x, y, z)
1) Condición de valor límite. Dado que el campo de corriente estable estudiado por el método eléctrico se distribuye por todo el semiespacio subterráneo, para reducir la carga de trabajo de cálculo, al resolver el problema del valor límite, el rango de cálculo generalmente se establece en un área limitada. De esta manera, es necesario asignar un valor conocido a la función potencial U (x, y, z) en el límite Γ del área de solución. Se puede ver que para resolver el problema del campo potencial, también es necesario conocer la distribución del campo potencial en el límite del área estudiada, es decir, la condición del valor límite. Generalmente existen tres tipos de condiciones de valor límite:
a. El primer tipo de condiciones de valor límite
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Donde: Г Representa el límite de la región estudiada Ω g (x, y, z) es una función conocida definida en Γ.
b. El segundo tipo de condiciones de contorno
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En la fórmula: n es la normal exterior de Γ.
c. El tercer tipo de condición de valor límite
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En la fórmula: A es un número positivo conocido.
2) Condiciones de conexión.
En el área estudiada Ω, en la interfaz entre dos rocas con conductividad σ1 y σ2, las componentes normales de potencial y densidad de corriente satisfacen las siguientes condiciones de conexión:
a.
Métodos y tecnologías de exploración eléctrica de alta densidad en la interfaz
b Debido a la continuidad del vector normal de densidad de corriente, existen
alta densidad. métodos y tecnologías de exploración eléctrica
Donde: n es la dirección normal de la interfaz.
2.1.1.2 Problema de valor límite de la sección geoeléctrica en la fuente del campo lineal
En este caso, la conductividad eléctrica y el campo eléctrico de la roca no cambian a lo largo de la tendencia del macizo rocoso (y dirección), es solo una función de las coordenadas (x, z), σ = σ (x, z) y U = U (x, z). En este momento, el potencial U (x, z) satisface la ecuación diferencial parcial bidimensional
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En la fórmula: f = -21σ (x-xA, z-zA); I es la intensidad de corriente por unidad de longitud de la corriente de línea ubicada en A (xA, yA).
En este problema, la función de bits U(x, z) en el límite y la función conocida g(x, z) también satisfacen los valores de límite y las conexiones que se muestran en las Ecuaciones (2.7) a las Ecuaciones (2.11) condición.
2.1.1.3 Problema de valor límite de una sección geoeléctrica bidimensional en un campo de fuente puntual
En este caso, la conductividad del medio no cambia a lo largo del rumbo (dirección y), sólo Es una función de las coordenadas (x, z), es decir, σ = σ (x, z) El campo eléctrico es una función del espacio tridimensional U (x, y, z) y debe satisfacer la ecuación<). /p>
Método y tecnología de exploración eléctrica de alta densidad
En la fórmula: 1= -2Iδ(Y-YA' Y - YA' Z-ZA).
Realizando la transformada de Fourier en ambos extremos de la ecuación (2.13), obtenemos
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En la fórmula: f1, = - 1σ (x -xA, z -ZA); σ=σ(X, z);V=(X, λ, z) λ cuadrado vacío A onda A.
De esta manera, la ecuación diferencial parcial tridimensional (2.13) se convierte en una ecuación diferencial parcial bidimensional (2.14), es decir, el potencial U(x, y, z) en el (x, y, z) espacio tridimensional) se transforma en el potencial de transformación V(x, λ, z) en el espacio bidimensional (x, z). Cuando se resuelve la ecuación (2.14) para varios valores de λ dados, y se obtiene V (x, λ, z), se puede realizar la transformada inversa de Fourier según la siguiente fórmula para obtener el potencial a determinar:
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2.1.1.4 Problema de valor límite en condiciones especiales
(1) Problema de valor límite en dominio pasivo
Para Dominio pasivo, es decir, no hay ninguna fuente de energía (fuente puntual o fuente lineal) en la sección geoeléctrica que se está resolviendo. Las funciones de bits U (x, y, z), U (x, z) y V (x, λ,. z) satisfacer la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz respectivamente:
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( 2) Problema de valor límite para medios uniformemente distribuidos
1) Caso activo. Dado que la conductividad σ del medio en el dominio de la solución es una constante, lo es, por lo que la ecuación (2.6), la ecuación (2.12) y la ecuación (2.14) se pueden escribir respectivamente como
Eléctrica de alta densidad métodos y tecnologías de exploración
p>En la fórmula: 1= -2Ipδ(M-A);
2) Situación pasiva. Dado que la conductividad σ del medio en el dominio de la solución es constante y no hay suministro de energía, la ecuación (2.16), la ecuación (2.17) y la ecuación (2.18) se pueden abreviar como
Eléctrica de alta densidad. métodos y tecnologías de exploración
En resumen, para calcular el problema de modelado directo de la exploración del método eléctrico conductivo, o para resolver el problema del valor límite del campo de corriente estable, es necesario determinar la función potencial desconocida U ( o su función de transformación) según la situación, de modo que satisfaga las ecuaciones diferenciales correspondientes y las condiciones de valor límite dentro del área de solución de distribución σ de conductividad conocida.
2.1.2 Método analítico
Al resolver la distribución del campo potencial en condiciones geoeléctricas simples, se utilizan comúnmente el método de separación de variables y el método de analogía en los métodos analíticos.
(1) Método de separación de variables
El método de separación de variables es un método analítico comúnmente utilizado para resolver problemas de valores límite de campos electromagnéticos. El contenido específico de este método es asumir que. la función de bits a obtener se compone de 2 o Consiste en el producto de 3 funciones que contienen solo 1 variable de coordenadas, y luego sustituye la relación del producto en la ecuación diferencial parcial a resolver. Después de ordenar, mediante la conexión de constantes de separación, La ecuación diferencial parcial original se puede transformar en varias ecuaciones diferenciales ordinarias. Su número es igual al número de variables coordinadas independientes. Después de resolver estas ecuaciones diferenciales ordinarias y determinar las constantes y funciones indeterminadas con valores límite dados (incluidas las condiciones de conexión en los límites), se puede obtener la función de bits indeterminados.
(2) Método de analogía
En el análisis y cálculo de problemas de valores límite, de acuerdo con el teorema de unicidad de la solución del campo potencial, varios campos físicos, independientemente de si sus correspondientes físicos Las cantidades tienen el mismo significado, siempre que tengan ecuaciones diferenciales y valores límite similares, las soluciones obtenidas deben tener una forma completamente similar. Por lo tanto, los resultados del cálculo analítico de un determinado campo potencial se pueden extender a todos los campos potenciales similares.
Además, bajo ciertas condiciones, los métodos analíticos comúnmente utilizados para resolver problemas de valores límite en exploración eléctrica incluyen el método del espejo y el método de transformación conforme.
2.1.3 Métodos de cálculo numérico
Los métodos analíticos solo pueden resolver problemas de valores límite de unas pocas formas regulares. Para la distribución del campo eléctrico en condiciones complejas, a menudo se necesitan métodos de cálculo numérico. En la actualidad, los métodos de cálculo numérico utilizados para la exploración eléctrica incluyen: método de diferencias finitas, método de elementos finitos, método de integral de área, método de elementos límite, etc. Los principios de estos métodos de cálculo numérico se presentarán brevemente a continuación.
2.1.3.1 Método de diferencias finitas
El método de diferencias finitas es un método de cálculo numérico basado en el principio de diferencias. Utiliza el cociente de diferencias de la función en cada punto discreto para reemplazar aproximadamente. Las derivadas parciales de puntos convierten el problema de valor límite a resolver en un conjunto de ecuaciones en diferencias correspondientes. Luego, resuelve los valores de función de las ecuaciones diferenciales (ecuaciones algebraicas lineales) en cada punto discreto para obtener el valor numérico del límite. problema de valor. Ahora tomamos el formato bidimensional de diferencias de pasos iguales como ejemplo para ilustrar el principio y los pasos del método de diferencias finitas.
(1) Discretización y mallado regional
Como se muestra en la Figura 2.1, se utilizan dos grupos de líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas para dividir el subsuelo en cuadrículas cuadradas. las dos líneas de coordenadas son h, entonces las coordenadas (x, z) de cualquier nodo son
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Figura 2.1 Cuadrado bidimensional de pasos iguales Cuadrícula
Cada cuadrado es una unidad, la longitud de su lado es h, lo que se llama tamaño de paso, y los puntos de intersección de la cuadrícula se llaman nodos. Las coordenadas (x, z) de cualquier nodo pueden expresarse como (ih, kh) o simplificarse como (i, k), y el segmento de curva original se reemplaza por una polilínea escalonada. Los nodos dentro de la línea límite se llaman nodos internos y los nodos en el límite se llaman nodos límite.
(2) Discretización de ecuaciones diferenciales y construcción de ecuaciones diferenciales El potencial en un determinado nodo interno (i, k) es U (i, k). Como h es muy pequeño, el nodo (i,). k) puede ser k) El potencial circundante se desarrolla en una serie de Taylor en el nodo:
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En la fórmula: Ux, Uxx... y Uz, Uzz... representan respectivamente La primera derivada, segunda derivada, etc. de U con respecto a x y z.
Suma las dos primeras ecuaciones e ignora los términos de cuarto orden y de orden superior de h. Después de ordenar, podemos obtener
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p>
p>
Se puede obtener el mismo principio
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Sustituya los Uxx y Uzz anteriores en el diferencial que satisface el función mediana U de la roca uniforme en la zona fuente La segunda fórmula de la ecuación (2.19) es la ecuación en diferencias de la función bidimensional U (x, z)
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Para partición pasiva en un medio homogéneo, la ecuación diferencial de la ecuación diferencial (2.20) satisfecha por la función potencial U (x, z) es
Método de exploración eléctrica de alta densidad y tecnología
(3) Ecuación lineal Formación y solución de grupos
Para los nodos de frontera, sus correspondientes ecuaciones en diferencias se pueden dar de acuerdo con las condiciones de frontera.
La suma de las ecuaciones en diferencias (2.26) y (2.27) establecidas por todos los nodos se puede escribir en la siguiente forma matricial:
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y
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En la fórmula: [A] es la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones, que es una función relacionada con la distribución de resistividad {U}; es el vector columna del potencial U, sus componentes son los potenciales en todos los nodos; {F} es un vector constante.
Cuando se dan la distribución de resistividad y las condiciones de contorno, la distribución espacial del potencial se puede obtener resolviendo las ecuaciones lineales (2.28) y (2.29).
La precisión del cálculo del valor potencial {U} tiene una gran relación con el tamaño del paso h. En términos generales, cuanto más fina sea la división de la malla, es decir, cuanto menor sea el valor h, más cerca estará el valor {U} del valor teórico. Sin embargo, el número de nodos también aumenta considerablemente en este momento, por lo que la memoria y el tiempo de cálculo necesarios también aumentan. Una mejor manera de resolver la contradicción entre la velocidad y la precisión de la computadora es usar un tamaño de paso variable, es decir, dividir la cuadrícula más densamente en el área cercana y dividirla escasamente en el área lejana si el impacto es pequeño.
La Figura 2.2 es un ejemplo de simulación directa de diferencia finita de pseudosección de resistividad aparente de exploración eléctrica de alta densidad en 2-D utilizando diferentes dispositivos. La Figura 2.2a es el modelo geológico y la Figura 2.2b es Wenner (Wenner). ) dispositivo, la Figura 2.2c es la pseudosección de resistividad aparente obtenida por el dispositivo polo-polo, la Figura 2.2d es el dispositivo dipolo-dipolo La resistividad aparente de la pseudosección.
La Figura 2.3 es un ejemplo de modelado directo de diferencia finita de pseudosección de resistividad aparente de levantamiento eléctrico de alta densidad en 3D. La Figura 2.3a muestra una red de medición de electrodos de 5 × 15 (es decir, 225 electrodos). un modelo geológico tridimensional con cuatro prismas cuadrados incrustados en un medio modelo con una resistividad de 50Ω·m. La imagen muestra un corte horizontal a través del cuerpo geológico. La Figura 2.3b es un corte horizontal del valor de resistividad aparente de un dispositivo polo-polo. Tenga en cuenta que en el centro de la rejilla hay un cuerpo de baja resistividad con una resistividad de 10 Ω·m desde una profundidad de 1,0 a 3,2 m. , la anomalía de baja resistencia se debe a que la distancia entre los polos es inferior a 4 m; sin embargo, si la distancia entre los electrodos es superior a 6 m, el prisma de baja resistencia se convierte en una anomalía de alta resistencia, lo que se debe a la sensibilidad negativa entre. los electrodos C1 y P1 en el área cercana a la superficie se produjo un fenómeno de "giro anormal".
2.1.3.2 Método de los elementos finitos
El método de los elementos finitos es un método de cálculo numérico basado en el principio de variación e interpolación. Cuando se utiliza este método para resolver problemas de campo actual estable, primero se utiliza el principio de variación para transformar el problema de valor límite a resolver en el problema de variación correspondiente, que es el llamado problema de valor extremo del funcional. Luego, de manera similar al método de diferencias finitas, el área de solución continua se discretiza, es decir, el área de solución se divide en algunas unidades de cuadrícula conectadas entre sí en los nodos de acuerdo con ciertas reglas, y luego la ecuación de variación se discretiza aproximadamente en cada unidad, y derivar un sistema de ecuaciones lineales de alto orden con el valor potencial de cada nodo como una cantidad desconocida. Finalmente, resuelva este sistema de ecuaciones y calcule el valor potencial de cada nodo para caracterizar la distribución espacial del campo de corriente estable. .
(1) Problema de variación del campo de corriente estable
Como se puede ver en la discusión anterior, el cálculo del campo de corriente estable se puede atribuir a la resolución del problema del valor límite de la ecuación diferencial parcial satisfecho por el potencial eléctrico (2.5) a la ecuación (2.20). Para utilizar el método de elementos finitos para encontrar la solución numérica al problema de valores límite anterior, primero se convierte al problema de variación correspondiente, es decir, se construye la expresión funcional correspondiente.
1) Situación de fuente puntual tridimensional. De acuerdo con el problema de valor límite del campo de corriente estable antes mencionado, el cálculo del campo de corriente estable tridimensional de la fuente puntual se puede reducir a resolver el siguiente problema de valor límite:
Figura 2.2 A 2- D método eléctrico de alta densidad utilizando diferentes dispositivos Ejemplo de simulación directa de diferencias finitas de pseudosección para exploración de resistividad aparente
Figura 2.3 Un ejemplo de simulación directa de exploración eléctrica de alta densidad tridimensional (la red de medición es 15×15)
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En la fórmula: Γ2 es el límite terrestre del área de la solución Ω1 son los límites restantes del área de la solución Ω; .
El problema de variación equivalente al problema de la ecuación (2.30) es
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Por cierto, el problema del valor límite La ecuación (La condición de frontera en 2.30) no aparece en el problema de variación (2.31), porque según el principio de variación, esta condición de frontera se cumplirá naturalmente.
2) Caso bidimensional de fuente lineal. De manera similar al caso tridimensional de fuentes puntuales, en condiciones geoeléctricas bidimensionales, el problema del valor límite del campo de corriente estable es
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su variación equivalente El problema es
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En la fórmula: S es un área de solución bidimensional (en un plano) Г=Г1 +; Г2 constituye el límite completo del área de solución S Wire.
De manera similar al caso tridimensional, la equivalencia de la ecuación (2.32) y la ecuación (2.33) se puede probar aplicando variación y también se puede ver que la condición del valor límite en la ecuación (2.32) está cambiando La ecuación de la subpregunta (2.33) también se satisface naturalmente.
3) Situación bidimensional de fuente puntual. Para condiciones geoeléctricas bidimensionales de fuente puntual, el problema del valor límite del campo de corriente estable resuelto es
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donde
El problema de variación equivalente al problema del valor límite de la ecuación diferencial parcial bidimensional (2.14) es
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Encontrar el potencial de transformación V (x , y, z), el potencial se puede calcular realizando la transformada inversa de Fourier según la siguiente fórmula:
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(2) Discreto regional red de suma Subdivisión de cuadrícula
El método de elementos finitos es similar al método de diferencias finitas, y requiere que la solución continua sea discretizada y mallada. En el caso bidimensional, el enfoque más común es dividir la región de solución en una serie de elementos triangulares que no se superponen, denominándose nodos los vértices de cada elemento. Como se muestra en la Figura 2.4, las reglas para descomponer el área de solución son: los nodos de una unidad solo pueden superponerse con los nodos de unidades adyacentes, pero no pueden convertirse en puntos dentro de los bordes de unidades adyacentes; la conductividad del medio en cada unidad es; constante, en la interfaz (límite interior) de medios con diferentes conductividades o en el límite (exterior) del área de solución, conecte un lado de la unidad triangular entre sí y aproxime la línea límite con la polilínea formada de esta manera; las longitudes de los tres lados (o tres La diferencia entre dos ángulos de vértice) no debe ser demasiado grande cuando el campo eléctrico cambia drásticamente y las derivadas de segundo orden o de orden superior de los parámetros potenciales son grandes, los elementos deben dividirse en más finos; elementos, mientras que donde el campo eléctrico cambia suavemente, los elementos se pueden dividir. Tiene que ser más delgado.
(3) Interpolación lineal
Para calcular la forma integral funcional J(U) en el problema de variación bidimensional (2.33), es necesario conocer la función U valor en el dominio de la solución. Por lo general, el valor de la función de cada nodo se utiliza para realizar una interpolación lineal en cada unidad, y el valor U se calcula unidad por unidad.
Como se muestra en la Figura 2.5, supongamos que los tres nodos de la unidad e-ésima están numerados i, j y m en el sentido contrario a las agujas del reloj, y sus coordenadas se registran como (xi, zi), ( xj, zj)), (xm, zm), los valores de función de nodo correspondientes son Ui, Uj, Um. Supongamos que la función U (x, z) cambia linealmente en cada unidad, es decir,
Figura 2.4 Ejemplo de mallado de elementos finitos
Figura 2.5 Elemento triangular
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En la fórmula: los coeficientes a, b, c se pueden calcular a partir de los valores de función y las coordenadas de los tres nodos de la unidad. Para la unidad e, U en los tres nodos debe satisfacer la ecuación (2.37), por lo que existen
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Resuelva la ecuación anterior de acuerdo con la ley de Clem. , obtenga
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Sustituya la ecuación (2.39) en la ecuación (2.37), se obtiene la expresión de interpolación lineal de la función U dentro de la unidad e:
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En la fórmula:
Alta densidad método eléctrico Métodos y técnicas de exploración
Si la expresión aproximada de U(x, z) se da de esta manera para cada unidad, la función aproximada general de U(x, z) en toda el área de la solución puede obtenerse, esta función es lineal dentro de cada unidad, es decir, es una función lineal por partes. Para dos unidades adyacentes cualesquiera, el valor de la función aproximada en el borde común está determinado únicamente por los valores de la función de nodo de los dos puntos finales. Por lo tanto, la función aproximada general es naturalmente continua en toda el área de la solución.
(4) Discretización de problemas de variación
El funcional en la ecuación del problema de variación bidimensional (2.33), la integral J (U) sobre toda el área de solución, se puede descomponer en la suma de las integrales Je (U) en cada unidad:
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Donde: Je (U) no es difícil de calcular según el método interno Se calcula la fórmula de aproximación por interpolación lineal (2.40) de la función U.
1) Análisis unitario. Según la Ecuación (2.33), y considerando que σ es una constante dentro de la unidad, el funcional de la unidad e se puede escribir como:
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Donde: σe es el valor de conductividad en unidad e; ⅠA es la intensidad de la fuente de corriente.
De la ecuación (2.40), podemos obtener
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Por lo tanto, la ecuación (2.42) se puede expresar como una matriz
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Dónde:
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Métodos y tecnologías de exploración eléctrica de alta densidad métodos y tecnologías de exploración; n Fang Yi Fang A Yuan Xiaomin de A Shu.
Se puede observar en la ecuación (2.44) que [Ke] es la matriz de coeficientes unitarios, la cual es una matriz simétrica, y la expresión general de sus elementos es
Alta densidad Métodos y tecnologías de exploración eléctrica.
2) Síntesis general. Sume el Je(U) de todas las unidades según la ecuación (2.41) y sustituya la ecuación (2.44) en la expresión discreta del J(U) funcional de toda el área de la solución con respecto al potencial de nodo:
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De esta forma, la funcional J(U) queda completamente discretizada en una función cuadrática multivariada:
Métodos y tecnologías de exploración eléctrica de alta densidad tecnologías
Entonces, cambie el problema de variación (2.33) al problema de valores extremos de la función cuadrática, es decir,
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Según la teoría del valor extremo de la función, debería haber
métodos y tecnologías de exploración de métodos eléctricos de alta densidad
De la fórmula (2.48), obtenemos
Método eléctrico de alta densidad Métodos y tecnologías de exploración
O expresado en forma matricial
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En la fórmula: , su los elementos son todas matrices unitarias [Ke]; un vector columna cuyos elementos también son la suma de los elementos correspondientes de todos los vectores columna fuente del campo unitario {Ie};
Después de procesar las condiciones de contorno, la ecuación (2.52) debe modificarse para
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Los coeficientes de las ecuaciones (es decir, la matriz de rigidez [ Los elementos de K'] están determinadas por las coordenadas de los nodos y la distribución de conductividad, que también se conocen, por lo que resolviendo el sistema de ecuaciones (2.53) se obtiene el valor potencial de; se puede obtener se puede obtener.
La Figura 2.6 es un ejemplo de modelado directo de la pseudosección de resistividad aparente en un estudio eléctrico de alta densidad 2-D utilizando el dispositivo Wenner β. La Figura 2.6a es la pseudosección de resistividad aparente. La Figura 2.6b es el modelo geológico.
2.1.3.3 Método del elemento límite
El método del elemento límite se basa en la solución básica del problema del valor límite que controla la ecuación diferencial. Primero, se establece la ecuación integral de límite y luego. , en el límite de la región Divide las unidades y realiza soluciones numéricas.
(1) Establecer ecuaciones integrales de límite en formato de resto ponderado
El método de resto ponderado se ha convertido en un método común para resolver ecuaciones de física matemática. En aras de la generalización, el formato de resto ponderado. ahora se usa, controlado por A partir de las ecuaciones y las condiciones del valor de frontera, se establece la ecuación integral de frontera. Utilice los siguientes símbolos
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Las dos ecuaciones anteriores representan respectivamente la integral del producto de las funciones u y v en el dominio Ω y la frontera г , llamados (u, v )Ω y (u, v) г son los productos internos de u y v.
Para operadores diferenciales lineales autoadjuntos, mediante integración parcial, siempre se puede obtener la fórmula del producto interno de la siguiente forma:
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Figura 2.6 Un ejemplo de simulación directa de exploración eléctrica de alta densidad utilizando el método de elementos finitos
En la fórmula: S es el operador de condición de contorno básico y G es el operador de condición de contorno natural.
El problema de valor límite de ecuación diferencial correspondiente de este operador se puede enumerar como
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En la fórmula: g, s son los valores dados correspondientes al operador de límite correspondiente Función definida Г1, Г2 representan el límite de un s o g dado.
Cuando utilice el método del margen ponderado para resolver la ecuación diferencial y las condiciones de contorno correspondientes, seleccione la solución aproximada u en lugar de la solución exacta u0, obteniendo así la función de margen (o error):
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Seleccione la función de ponderación w apropiadamente y utilice la ponderación para acercar el margen a cero, a fin de cumplir con los requisitos de dominio y límites en un sentido general, es decir es decir, supongamos
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Si la función de peso w se establece en el dominio Ω y sus segmentos límite respectivamente
Alta- métodos y tecnologías de exploración eléctrica de densidad
Utilizando la ecuación (2.56) y la ecuación (2.64), la ecuación (2.63) se puede escribir como
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La forma más compacta de esta ecuación es
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En el método del elemento límite, la solución básica del operador se utiliza como función de peso w*, es decir, se utiliza la función singular que satisface la siguiente ecuación:
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Donde: δi es la función de Dick, su la integral en la vecindad del punto "i" considerado es igual a 1, y en otros lugares la integral de es cero, y existen
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Sustituyendo ecuaciones (2.67) y (2.68) en la ecuación (2.66), obtenemos
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En la fórmula: ci es un coeficiente proporcional a la apertura ángulo determinado por el límite de Ω.
Si Bi = 〈f, w*〉, entonces la ecuación (2.69) se puede escribir como
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Ecuación ( 2.70 ) es la ecuación integral de frontera a resolver.
1) Problema del campo potencial del cuerpo geoeléctrico tridimensional del campo fuente puntual. Supongamos que el medio rocoso circundante y el cuerpo geoeléctrico tridimensional con resistividad ρ1 y ρ2 respectivamente están distribuidos en los dominios Ω1 y Ω2, y sus funciones potenciales se expresan como U0 (x, y, z) y V0 (x, y, z). ) respectivamente. Una fuente puntual con corriente I está ubicada en A sobre la superficie lisa. La solución exacta de U0 (x, y, z) y V0 (x, y, z) de la función de bits satisface el problema del valor límite:
Control de la ecuación diferencial:
Natural condiciones de contorno:
p>
Condiciones de contorno esenciales:
Cuando las soluciones aproximadas u y v de la función de bits se utilizan para reemplazar la ecuación (2.71) por la ecuación (2.74) y la ecuación de condición de conexión correspondiente (2.10), ecuación (2.11), y tome la función de peso w*=u*, S(w*)=u*, G(w*)= cuando, después de sustituir en la ecuación (2.70) , podemos obtener el problema de valor límite Ecuación integral de límite:
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En la fórmula: u*=1/4πr es la solución básica del ecuación de Laplace;
2) Problema de campo potencial de un cuerpo geoeléctrico bidimensional con campo de fuente puntual. Suponga que la fuente de corriente puntual A con corriente I está ubicada en la superficie lisa. Las resistividades del medio rocoso circundante y el cuerpo geoeléctrico bidimensional distribuido en los dominios Ω1 y Ω2 son ρ1 y ρ2 respectivamente, y la distribución de la función potencial dentro de ellos es. U0 (x, y, z) y V0 (x, y, z), como se muestra en la Figura 2.7. Las funciones de posición tridimensionales U0 y V0 satisfacen el siguiente problema de valores límite:
Control de la ecuación diferencial:
Condiciones de contorno naturales:
Condiciones de contorno esenciales:
Donde: son las funciones conocidas en las fronteras de G1 y G2 respectivamente.
Figura 2.7 Sección geoeléctrica bidimensional del campo de fuente puntual
Al realizar la transformada de Fourier del coseno en las ecuaciones anteriores, la función de bits tridimensional U0 (x, y, z) y V0 (x, y, z) se transforma en funciones de bits bidimensionales u0 (x, y, z) y v0 (x, y, z) y satisface el problema del valor límite:
Diferencial de control ecuación:
Condiciones de contorno naturales:
Condiciones de contorno esenciales:
Donde: λ es la cantidad de la transformada de Fourier (o número de onda).
Cuando se utilizan las soluciones aproximadas u y v de la función de bits para reemplazar las ecuaciones (2.81) a (2.84) y la ecuación de condición de conexión (2.10), las soluciones exactas u0 y v0 en (2.11) son tomado y Cuando los pesos w*, S(w*), G(w*) son de la misma forma en el problema del campo de potencial geoeléctrico tridimensional del campo de fuente puntual, después de sustituir en la ecuación (2.70), la integral de frontera La ecuación del problema de valores en la frontera se puede obtener:
La fórmula es la ecuación de Helmholtz y su solución básica.
3) Problema del campo potencial del cuerpo geoeléctrico bidimensional de campo uniforme. Una sección geoeléctrica dada se muestra en la Figura 2.8. La resistividad del medio rocoso circundante subterráneo es ρ1 y la resistividad del yacimiento es ρ2. Pertenecen a los dominios Ω1 y Ω2 respectivamente, y sus soluciones potenciales exactas están representadas por u0. y v0 respectivamente. Según la ecuación (2.20), las funciones de bits u0(x,z) y v0(x,z) deberían satisfacer el siguiente problema de valores límite:
Ecuación diferencial de control:
Natural condiciones de contorno:
Condiciones de contorno esenciales:
Donde: son las funciones de valor de contorno conocidas en Г1 y Г2 respectivamente.
Cuando las soluciones aproximadas u y v de la función de bits se utilizan para reemplazar las soluciones exactas u0 y v0 en las ecuaciones (2.87) a (2.90) respectivamente, y las funciones de peso correspondientes se toman y se sustituyen en la ecuación (2.70), La expresión integral de este problema de valores límite se puede obtener:
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Donde: es la solución básica del modelo bidimensional de Laplace ecuación.
Figura 2.8 Sección geoeléctrica bidimensional con campo de corriente uniforme y estable
(2) Determine la ecuación discreta y la ecuación básica
Para utilizar el límite ecuación integral (2.70) Para calcular el valor potencial ui a determinar, es necesario discretizarlo en un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Para ello, la frontera Г se divide en muchas unidades pequeñas, llamadas elementos de frontera. Suponiendo que los valores de u y q son constantes en cada unidad y están representados por valores del nodo medio, se denomina elemento constante (Figura 2.9a) si los valores de u y q cambian linealmente en la unidad; , se llama elemento lineal (Figura 2.9a). Si se utiliza una curva cuadrática para aproximar el límite, se llama elemento cuadrático (Figura 2.9c). A continuación se utiliza el método de solución de elementos lineales como ejemplo para ilustrar el método de determinación de ecuaciones discretas y ecuaciones básicas.
Figura 2.9 Tipo de elemento de límite
Debido a que u y q del elemento lineal cambian linealmente en el elemento, al punto de intersección (nodo final) de los dos elementos lineales se le asigna un valor conocido. valor (Figura 2.10). Supongamos que q se conoce en el nodo final de Γ1 y u se conoce en el nodo final de Γ2. Según la aditividad de las integrales, para el nodo "i", la ecuación (2.70) se puede integrar en la suma integral de cada unidad. Гj para obtener la ecuación discreta:
Figura 2.10 Elemento lineal
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Para Para el elemento de línea límite Гj del plano dominio, debido a que u y q cambian linealmente en la unidad, los valores de u y q en cualquier punto de la unidad se pueden determinar con la ayuda de los valores de los nodos finales AND y dos funciones de base de interpolación lineal:
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Donde: ξ es una coordenada adimensional, .
Después de sustituir las ecuaciones (2.94) y (2.95) en (2.93), la integral unitaria se puede escribir como:
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En la fórmula:
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Para escribir la forma de ecuación discreta correspondiente al nodo "i", es necesario combinar dos unidades adyacentes Гj y Las contribuciones de Гj-1 se suman y combinan en un solo término para determinar los coeficientes de uj y qj en el nodo j:
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Entonces , Ecuación (2.93) La ecuación de ensamblaje correspondiente a "i" se puede escribir como:
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Para el elemento de superficie límite Гj del dominio espacial Ω, se supone que el elemento triangular Гj Las coordenadas de los tres vértices son (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3), luego las coordenadas (x, y, z ) de cualquier punto del triángulo son
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Dado que se supone que los valores u y q cambian linealmente en cada unidad, la unidad se puede determinar con la ayuda de los valores de los nodos finales del triángulo y la función de base de interpolación lineal u y q en cualquier punto dentro de:
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En la fórmula: φk=ξk.
Por lo tanto, la integral unitaria en la ecuación (2.93) se puede escribir como
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donde:
Usando la ecuación (2.103) , ecuación (2.104), correspondiente al nodo i, la ecuación (2.93) se puede escribir como:
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Para la ecuación (2.99) y la ecuación ( 2.105), si se registran, las ecuaciones anteriores se pueden escribir en las siguientes formas más compactas:
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Igual que la solución de elemento constante, si todas "i" Juntando los puntos, la ecuación (2.106) y la ecuación (2.107) constituyen ecuaciones algebraicas lineales de orden N y orden M respectivamente, que pueden expresarse como ecuaciones matriciales
Métodos de exploración eléctrica de alta densidad y tecnologías
Para integrales de línea hij y gij, use la cuadratura gaussiana de cuatro o siete puntos y use el método de eliminación gaussiano para resolver las ecuaciones lineales (2.108) para obtener el potencial bidimensional que se encontrará . Para el problema de fuente puntual bidimensional, el potencial bidimensional U (x, λ, z) debe someterse a la transformada inversa de Fourier para obtener el valor potencial tridimensional requerido U (x, y, z). Finalmente, según el tipo y tamaño del dispositivo del método de resistividad utilizado, el valor anormal de resistividad aparente se calcula según la fórmula ρs=K△UP1P2/I.
2.1.3.4 Método Integral de Área
Figura 2.11 Diagrama esquemático del uso del método integral de área para resolver el campo potencial
El método integral de área parte del concepto de acumulación carga y resuelve la ecuación integral, un método de cálculo numérico para determinar la distribución espacial del campo eléctrico. Como se muestra en la Figura 2.11, en un medio semiinfinito con una resistividad de ρ1, hay un cuerpo geológico tridimensional con una resistividad de ρ2 enterrado. De la analogía entre el campo electrostático y el campo de corriente estable en la teoría de campos, Se puede saber que para resolver el campo de corriente estable, podemos utilizar la distribución superficial de la carga acumulada en la interfaz de resistividad. Para ello, supongamos que el potencial U (M) de un determinado punto subterráneo es el potencial normal producido. A saber
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Ua (M) es el potencial anormal generado por la carga acumulada en la superficie del cuerpo geológico en el punto M:
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En la fórmula: σ (Q) es la densidad del área de carga acumulada en cualquier punto Q de la superficie S del yacimiento subterráneo.
Es el potencial anormal generado por la carga acumulada en la superficie del yacimiento del espejo en el punto M. Existen
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Por lo tanto, cualquier punto subterráneo La expresión potencial de M (2.109) se puede escribir como
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Se puede observar que de acuerdo con la condiciones de contorno, se puede encontrar la distribución superficial de la carga acumulada. Calcule el valor potencial usando la fórmula.