Preguntas de prueba adicionales y respuestas de referencia para la Competencia Conjunta Nacional de Matemáticas para Escuelas Secundarias de 2007 (tiempo de examen: 120 minutos, puntuación total 150 puntos) 1. (Puntuación total 50 puntos para esta pregunta) Como se muestra en la figura , en el ángulo agudo △ABC, ABlt; AC , AD es la altura en el lado BC, y P es un punto dentro del segmento AD. Dibuja PE⊥AC a través de P, y dibuja PF⊥AB con el pie vertical E. El pie vertical es F. O1 y O2 son las superficies exteriores de △BDF y △CDE respectivamente. Verificar: La condición necesaria y suficiente para el círculo *** de cuatro puntos de O1, O2, E y F es que. P es el ortocentro de △ABC. (La puntuación máxima para esta pregunta es 50 puntos) Como se muestra en la figura, en cada uno de los tableros de ajedrez rectangulares de 7 × 8, coloque una pieza de ajedrez en cada punto central del cuadrado pequeño. dos piezas de ajedrez están ubicadas en el borde *** o en el vértice *** del cuadrado pequeño, entonces se dice que las dos piezas de ajedrez están conectadas. Ahora saque algunas de estas 56 piezas de ajedrez para hacer el tablero de ajedrez con las piezas de ajedrez restantes. , no hay cinco conectados en línea recta (horizontal, vertical o diagonalmente). ¿Cuántas piezas de ajedrez se deben quitar para cumplir con los requisitos? Y explica la razón. III. (Esta pregunta vale 50 puntos) Supongamos que el conjunto P={1, 2, 3, 4, 5}, para cualquier k∈P y un entero positivo m, registre f(m,k). =, donde [a] Representa el entero más grande no mayor que a. Verificación: Para cualquier entero positivo n, existe k∈P y un entero positivo m, tal que f (m, k) = n. Competencia conjunta Preguntas de prueba adicionales Respuesta de referencia 1. (Esta pregunta tiene una puntuación total de 50 puntos) Como se muestra en la figura, en el ángulo agudo △ABC, ABlt AC, AD son las alturas en el lado BC y P es un punto dentro del; segmento de línea AD. Dibuje PE⊥AC a través de P, y el pie vertical es E, y dibuje PF⊥AB verticalmente. Las condiciones suficientes son F. O1 y O2 son los circuncentros de △BDF y △CDE respectivamente. La condición suficiente para el círculo *** de cuatro puntos en O1, O2, E y F es que P sea el ortocentro de △ABC. Prueba: conecte BP, CP, O1O2, EO2, EF, FO1. ⊥AB, los cuatro puntos B, D, P y F forman un círculo, y BP es el diámetro del círculo. Y debido a que O1 es la superficie exterior del centro de △BDF, O1 está en BP y es el punto medio de BP. . De la misma manera, se puede demostrar que los cuatro puntos C, D, P y E forman un círculo, y O2 es el punto medio de CP. Con base en lo anterior sabemos que O1O2∥BC, entonces ∠PO2O1 =. ∠PCB. Como AF·AB=AP·AD=AE·AC, los cuatro puntos B, C, E y F forman un círculo. Suficiencia: Sea P el ortocentro de △ABC. , entonces la línea *** de cuatro puntos de B, O1, P y E, la línea *** de cuatro puntos de C, O2, P y F, ∠FO2O1=∠FCB=∠FEB=∠FEO1, entonces O1, O2, E, F es un círculo de cuatro puntos Necesidad: Sean O1, O2, E y F un círculo, entonces ∠O1O2E ∠EFO1=180° Dado que ∠PO2O1=∠PCB=∠ACB-∠. ACP, y debido a que O2 es el punto medio de la hipotenusa del ángulo recto △CEP, que es el circuncentro de △CEP, entonces ∠PO2E=2∠ACP Debido a que O1 es el punto medio de la hipotenusa del ángulo recto △BFP, que es el circuncentro de △BFP, por lo que ∠PFO1 =90°-∠BFO1=90°-∠ABP Debido a que los cuatro puntos B, C, E y F forman un círculo, ∠AFE=∠ACB, ∠. PFE=90°-∠ACB Por lo tanto, por ∠O1O2E ∠ EFO1=180°, obtenemos (∠ACB-∠ACP) 2∠ACP (90°-∠ABP) (90°-∠ACB)=180°, es decir es, ∠ABP=∠ACP. Y debido a que ABlt; AC, AD⊥BC, por lo tanto BDlt es el punto de simetría del punto B con respecto a la recta AD, entonces B′ está en el segmento DC y B; ′D=BD. Conecta AB′ y PB′. Debido a la simetría, ∠AB′P=∠ ABP, entonces ∠AB′P=∠ACP, entonces los cuatro puntos A, P, B′ y C forman un círculo. Se puede ver que ∠PB′B=∠CAP=90°-∠ACB Debido a que ∠PBC=∠PB ′B, entonces ∠PBC ∠ACB=(90°-∠ACB) ∠ACB=90°, tan recto.
Las líneas BP y AC son perpendiculares. Según la pregunta, P se establece a la altura del lado BC, por lo que P es el centro vertical de △ABC 2. (La puntuación total para esta pregunta es 50 puntos) Como se muestra en la figura, en cada cuadrado pequeño del tablero de ajedrez rectangular de 7×8 Coloque una pieza de ajedrez en cada punto central. Si el cuadrado pequeño donde se encuentran las dos piezas de ajedrez está ubicado en el borde *** o en el vértice ***, entonces las dos piezas de ajedrez. se dice que están conectadas Ahora saque algunas de estas 56 piezas de ajedrez para que las piezas de ajedrez restantes en el tablero de ajedrez No haya cinco piezas de ajedrez conectadas una tras otra en línea recta (horizontal, vertical o diagonalmente). ¿Deben retirarse las piezas de ajedrez para cumplir con los requisitos? Y explique el motivo. Solución: Se deben sacar al menos 11 piezas de ajedrez para cumplir con los requisitos. El motivo es el siguiente: si hay un cuadrado en la i-ésima fila y la j-ésima columna, registre este cuadrado como (i). , j). El primer paso es demostrar que si se toman 10 piezas de ajedrez en cualquier momento, las piezas de ajedrez restantes deben tener una continuación de cinco piezas, es decir, las cinco piezas de ajedrez están conectadas en secuencia en línea recta (horizontal, direcciones vertical y diagonal). Utilice la prueba por contradicción. Suponga que se pueden sacar 10 piezas de ajedrez, de modo que las piezas de ajedrez restantes no tienen una continuación de cinco piezas. primeros cinco cuadrados de cada fila, y se debe sacar una pieza de cada uno de los primeros cinco cuadrados de las últimas tres columnas. De esta manera, las 10 piezas sacadas no se distribuirán entre la parte sombreada en la esquina inferior derecha. Por lo mismo, por simetría, la parte sombreada en otras esquinas no se distribuirá en las filas 1 y 2, se debe quitar una de cada fila, y solo se podrá distribuir en (1, 4), (1, 5). , (2, 4), (2, 5) De manera similar, (6, 4), (6, 5), (7, 4), (7, 5) deben tener al menos Sacar 2 piezas de ajedrez. 1, 2 y 3, se debe sacar al menos una pieza de ajedrez en cada columna,